Кривизна 2-го типа, индуцированная на распределении плоскостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 514.75

О. М. Омельян

КРИВИЗНА 2-ГО ТИПА, ИНДУЦИРОВАННАЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОСКОСТЕЙ

В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Построена кривизна групповой связности 2-го типа, индуцированной композиционным оснащением распределения плоскостей. Доказано, что неподвижность пары плоскости Картана и гиперплоскости Бортолотти в случае голономного распределения влечет обращение в нуль тензора кривизны 2-го типа.

In many-dimensional projective space the plane distribution is considered. The curvature of group connection of 2-nd type, induced by composite clothing of plane distribution, is constructed. It is proved, that a immovability of Cartan's plane and Bortolotti's hyperplane in case of holonomic distribution attracts the vanishing of curvature tensor of 2-nd type.

Ключевые слова: проективное пространство, распределение плоскостей, групповая связность, тензор кривизны, композиционное оснащение.

Key words: projective space, plane distribution, group connection, curvature tensor, composite clothing.

© Омельян О. М., 2014

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 10. С. 71 -75.

В работе индексы принимают следующие значения:

72

I,... = 1,n; i,... = 1,m; a,... = m + l,n.

1. В n-мерном проективном пространстве Pn будем рассматривать распределения NSn [1; 2] m-мерных центрированных плоскостей Pm, которое определяется уравнениями a a = Л", ю1, причем компонентах фундаментального объекта 1-го порядка распределения удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм ю1:

дл; - 5 a ai - 0; ДЛ, = dAa, - Лj ю j - AalK af + Л, a¡,

где 5a — обобщенный символ Кронекера.

Ранее было произведено [3; 4] композиционное оснащение распределения NSn, состоящее в задании на нем аналогов плоскостей Картана и нормалей 2-го рода Нордена, а именно:

Cn-m-i: Pm © Cn-m-1 = Pn, Nm-i: А © Nm-1 = P'm , причем оснащающие плоскости определены совокупностями точек

Ba=Aa+ X\ Ai+ X aA, Bi=Ai+ Xi A.

Объект X = {X\, X a, Xi} является оснащающим квазитензором, содержащим 3 подквазитензора X'a, {X a, X a} и X i. Выражения для дифференциалов точек Ва и Bi имеют вид

dBa = (...) iBb + t, ю 1 Bi + ( tai -X tai ) Ю1 A, dBi = (...) j Bj + (...) a Ba + t, Ю1 A,

где компоненты тензора t = {ta,, taI, t,} неспециальных смещений [3] являются функциями от фундаментального объекта 1-го порядка Л1 = {Л} распределения NSn, оснащающего квазитензора X и совокупности его пфаффовых производных X' = {Xa,,XaI,X,,}, т. е. t = t(Л1,X,X'). Тензор t содержит ряд простейших, простых и составных подтензоров, причем равенство нулю тензора t геометрически означает неподвижность пары плоскостей (Cn-m-1, Pn-1), где Pn-1 представляет собой гиперплоскость Бортолотти, натянутую на плоскость Картана Cn-m-1 и нормаль 2-го рода Nm-1.

2. С распределением NSn ассоциируется главное расслоение [2] G(Un), базой которого является область Un проективного пространства Pn, описанная центрами плоскостей Pm* , а типовым слоем — подгруппа стационарности G центрированной плоскости Pm. В этом расслоении приемом Ю. Г. Лумисте [4] задана групповая связность с помощью формы ю=ю-Гк юк, причем ю = {a>'j,(üi, <~b ,a'a ,ю a} . Компоненты объекта

связности Г = {Г^jk, Гр, ria , Гы , Гь" , ГЩ, Г1ь , rai , Цл } , удовлетворяют дифференциальным уравнениям [2], в частности,

ДГ)к +ю]к =Г'к1 юI, ДГЛ -Гjkюk +ю'ja =Г]ЛюI, ... (1)

Объект групповой связности Г содержит ряд подобъектов [2]. Компоненты объекта кривизны К = {К'^к1,К'^ка,К'^аЬ,...} групповой связности Г выражаются [2] через компоненты объекта Г, их пфаффовы производные и компоненты фундаментального квазитензора Л1 , например,

К' = Г' - Г' Л" - Г" Г' К' = Г' - Г1 Г'

¡к1 ДИ] !а1 ЧИ] ¡[к1- б1 ]'1 ¡[аЬ]

1 (2) 2(

Ri = ± (F Лh )F

jka jka ijak ij[kL /a]'

причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках, поэтому R'j(k/) = 0, R](ah) = 0. Объект кривизны R связности Г является тензором и содержит ряд подтензоров, соответствующих подобъектам объекта связности Г.

3. В работе [3] было доказано, что распределение NSn и его композиционное оснащение индуцируют в расслоении G(NSn) групповую

02 0 . 02 0 02; 02 связность 2-го типа Г = {Г.К , F.j, Г^ , Faj, FaI }, с компонентами, определяемыми, в частности, по формулам

Г\ = ЛakXi _SiXk _SkX., Г2.. = X. + Л"XkXk _2X.X.,

jk .k a . k k .' i. i. i. a k l] /о \

02 . .

Fai = Xai _X]iXa _ЛhlXa(Xh +XhXk) + 2XiXaX. _XaXi.

Построим кривизну, порожденную групповой связностью 2-го типа, то

02

есть получим охваты компонент тензора кривизны R объектом групповой

02

связности Г . Из выражений (2), определяющих компоненты тензора кривизны R, видно, что для этого сначала нужно найти охваты пфаффовых

производных объекта Г. Используя дифференциальные уравнения (1), вы-

02

ражения (3) и им аналогичные для компонент объекта связности Г , найдем, что его пфаффовы производные охватываются следующим образом:

02

Г. = (Л] +Л;Лhk)XaX/ +X]]k +Л°(X'AX, +XaX/k)_2XikX] _2XiX]k,

02

F = (Л. + Л л; )Xh Xk +X]a +Л] (XhaXk +Xh Xka) _2XM X] 2XiX .a, (4)

02

Fiah =Л ihKX. +X iah + Лш (X.Xch + XcX.h ) XaXih XiXah + 2(X.XaX ih +

+XXX + XXX*),...

Возвращаясь к формулам (2), определяющим тензор кривизны R, ви-

02

дим, что для получения выражений охватов компонент тензора R необходимо: 1) найти альтернации соответствующих пфаффовых производных (4), учитывая симметрии компонент Л^К фундаментального объекта 2-го порядка Л2 = {Л1, №iJK } и пфаффовы производные 2-го порядка XijK,X'ajK,XaIj компонент квазитензора X распределения NSn по двум последним индексам; 2) вычислить свертки соответствующих компонент

73

74

02

объекта Г и Л1, а также найти альтернированные свертки соответствую-

02

щих компонент объекта связности Г . Таким образом, выражения охва-

02

тов для компонент тензора кривизны Я имеют следующий вид:

02 О I ^ 02 О ; Ъ ' ' I Ъ '

Я'Щк = ЯЩк X, -Кук]X ы, Я'аЪ = Я'аЪ X у, Ящ = ЯаЩк - ЯЩ ^ ~ЛПк] Х'аЪ'

02' О л ' 0 ' 02 О Ъ о I к Ъ к

Я'аЪс = ЯаЪс Х'а - Ярс , Яа'; = Яа'; Хъ - Якщ ХаХI - Л['Щ] (ХаЪ - ХкЪХа Ь (5)

02 0 й 0 ; ' ЯаЪс = ЯаЪс Xй - Я'Ъс ХаX;,...

Выражения охватов для остальных компонент тензора кривизны

определяются по формулам, аналогичным (5), но имеют более громозд-

02

кий вид. Итак, мы построили кривизну 2-го типа Я, индуцированную композиционным оснащением распределения ЫБп.

Замечание 1. Из формул (5) видно, что в выражения охватов компо-

02

нент тензора кривизны 2-го типа Я входят компоненты тензоров кривизны индуцированных линейных связностей, охваты которых были найдены в работе [5].

Теорема 1. В случае голономного распределения (Лащ = 0 ) при равенстве

О '

нулю тензоров кривизны индуцированных плоскостной Ящкь и нормальной

0 а 02

Кщ линейных связностей тензор кривизны 2-го типа Я обращается в нуль.

Замечание 2. Охваты компонент тензоров кривизны индуцированных линейных связностей представляют собой функции компонент тензора неспециальных смещений Ь, оснащающего квазитензора X и фундаментального объекта Л 1-го порядка распределения ЫБп. Теорема 1 равносильна следующему утверждению: Теорема 2. Неподвижность плоскости Картана и гиперплоскости Бор-

толотти ^ = 0) в случае голономного распределения влечет обращение в нуль

02

тензора кривизны 2-го типа Я = 0.

Замечание 3. В работе [6] введены обобщенные тождества Риччи

0 ' 02

для компонент объекта кривизны {Я';к1,Ящк} центропроективной под-

0 . 02

связности {Г к , Г';} и показано, что они выполняются лишь в случае голономного распределения.

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности I // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 49-94.

2. Омельян О. М. Нетензорность объекта кривизны групповой связности на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. № 33. С. 74 - 78.

3. Омельян О. М. Четыре индуцированных связности на распределении плоскостей : междунар. конф. по геом. и анализу. Пенза, 2003. С. 63 — 69.

4. Омельян О. М. Пучки связностей 1-го и 2-го типов, индуцированные композиционным оснащением распределения плоскостей // Движения в обобщенных пространствах. Пенза, 2005. С. 94 — 101.

5. Омельян О. М. О кривизне 1-го типа, индуцированной на распределении плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. Вып. 39. С. 110—116.

6. Омельян О. М. О тождествах Риччи для центропроективной кривизны 2-го типа на распределении : тезисы докл. междунар. конф. «Геометрия в Одессе — 2009». Одесса, 2009. C. 63.

Об авторе

Ольга Михайловна Омельян — ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

75

Olga Omelyan — high instructor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]