CC BY
7
Библиографический список
1. Чешкова М.А. Конформное соответствие ортогональных 2-поверхностей в E4 // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 1995. N26. С.108-112.
2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т.2. 414 с.
3. Чешкова М.А. К геометрии пары ортогональных n-поверхностей в E2n // Сибир. мат. журнал. 1995. N1. С.228-232.
M.A. C h e s h k o v a ON A PROPERTY OF ORTHOGONAL SURFACE IN E4
In a Euclidean space E4 are considered two smooth 2-surfaces M, M and dif-feomorphism f:M^ M . The case is investigated, when tangent 2-planes in appropriate points peM, f(p) e M are orthogonal. The mapping Q:TM^T1M, where QX=dfX, XeTM is defined.
Theorem. If two orthogonal surfaces M, M in E4 have flat connections and principal normals of surfaces M, M are 2-dimenstional, then ц= -Q^, where ц, ц - vectors of middle normals of surfaces M, M .
УДК 514.75
ДВЕ ПРОЕКТИВНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА НЕГОЛОНОМНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Ю.И.Ш е в ч е н к о
(Калининградский государственный университет)
В проективном пространстве рассмотрена неголономная поверхность или распределение плоскостей. Показано, что проективное пространство и распределение являются голономными гладкими многообразиями.
С распределением ассоциировано обобщенное расслоение линейных реперов. Применение способа Лаптева задания групповой связности к обобщенному расслоению привело к проективной связности классического типа. Выделен класс проективных связностей, названных каноническими. Оснащение распределения по Картану индуцирует каноническую проективную связность Лаптева.
Совершен переход от обобщенного расслоения к главному расслоению так называемых центролинейных реперов и соответствующей связности. Каноническая и центролинейная связности образуют два непересекающихся класса проективных связностей. Произведено композиционное оснащение распределения, состоящее в задании полей плоскостей Картана и нормалей 2-го рода. Доказано,
что композиционное оснащение индуцирует центролинейную связность. Последняя охарактеризована с помощью параллельного перенесения нормали 2-го рода, когда она смещается в гиперплоскости, натянутой на эту нормаль и плоскость Картана. Индуцированная линейная подсвязность интерпретирована проектированием смежных нормалей 2-го рода друг на друга из центра - нормали 1-го рода, порожденной плоскостью Картана.
1. Голономность распределения. Отнесем п-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу R={AI} (1,Д,К= 0,п), деривационные формулы вершин которого имеют вид:
ал, = ю (1)
причем пфаффовы формы ю ^ удовлетворяют уравнениям Картана
Бю^ = юК лйК- (2)
Это структурные уравнения линейной группы ОЬ(п+1), действующей неэффективно в пространстве Рп. Условие проективности ю|=0 выделяет специальную линейную группу, изоморфную проективной группе ОР(п), действующей эффективно в пространстве Рп.
Рассмотрим неголономную поверхность №п или распределение 1-го рода [1] т-плоскостей Рт. Через каждую точку А пространства Рп проведем плоскость Рт. Получится п-мерное семейство №п центрированных т-плоскостей р* = (А, Рт), где А е Рт. Произведем специализацию репера R, помещая вершину Ао в точку А, а вершины Аа (а,Ъ,с=1Тт) в соответствующую плоскость Рт. Это - репер нулевого порядка Rо. Из формул (1) следуют уравнения стационарности центриро-
и ТЛ*
ванной плоскости Рт
ю 1 =0, ю^ =0 (Цк,/= 1,п; а, Р = т + 1,п), причем 1-я подсистема фиксирует точку А. Запишем дифференциальные уравнения распределения №п в репере Rо
юа = Ла ю1 (ю1=ю 0) . (3)
Из уравнений (2) вытекает, что базисные формы ю1 удовлетворяют структурным уравнениям
Бю1 = ю > лб1, (4)
где
9' =ю1 -51 ю (ю = ю 0). (5)
Дифференцируем эти формы внешним образом
Б91 = юк лю^ лй 1 -51 юк лй (ю] =ю0). Подставляя выражения форм ю • из равенств (5), получим
=9к л 9 к +ю к л 9}к,
где
91к =-51ю к -5 к ю ^ (6)
т.е. формы 9 ^ симметричны по нижним индексам . Найдем
Б9=0 к л (-5 5ю!) + 01 л (-5 кю!). Введем в правую часть формы 9 ^ с помощью равенств (6).
Б9 ;к = 9 ;к л 9; - 9 ¡к л 91 - 91 , л 9 к + ю1 л 9 'к1, где 9 ^ = 0. Формы ю1 являются базисными для пространства Pn и распределения поэтому справедлива
Теорема 1. Проективное пространство Pn и неголономная поверхность или распределение являются голономными [2] гладкими многообразиями. Продолжая дифференциальные уравнения (3), получим
АЛ« - 5«юа = Л«,ю ^ ^ АЛ« - 5«юа = 0, (7)
где Л«аИ ] = 0, а дифференциальный оператор Л действует следующим образом:
АЛ« = ёЛ«1 - Л«91 - Л« ю ь + Лра1 ю«. Запишем сравнения (7) для фундаментального объекта 1-го порядка Л« распределения NSn подробнее
ЛЛ«Ь + Л<аью = 0, ЛЛдр + Лаарю - Л«аЬШрЬ - 5«юа ■ 0, где, например,
АЛ; = аЛ«аЬ -Л«аС ю Ь -Л«ь ю С +ЛРаЬ ю« . Значит, фундаментальный подобъект Л«ь образует тензор.
Структурные уравнения (4) представим в виде:
Бюа =ю ь л 9^ + ю«лю ^, (8)
Ош«=шРл(9«-А<арша) + Ы«ьюа люь, (9)
где N аь = Л"аЬ] - тензор неголономности [3]. Если N« = 0, то распределение называется голономным [3]; обозначим его Sn . В этом случае из структурных уравнений (9) видно, что система дифференциальных уравнений ю« =0 вполне интегрируема. Она выделяет из голономного распределения Sn m -поверхность Sm как семейство касательных плоскостей Р^. Голономное распределение Sn расслаивается [3] на (и-т)-мерное многообразие ^-т m-мерных семейств центрированных плоскостей Р^, одним из которых является поверхность Sm.
Структурные уравнения (8) показывают, что система юа /а=0 = 0 вполне интегрируема на поверхности Sm и фиксирует плоскость Р^.
2. Проективная связность классического типа. Из уравнений Картана (2) с учетом уравнений (3) распределения следует, что формы ю А (А, В,
С= 0,т) удовлетворяют структурным уравнениям [3]
• А = ю С л ю А + ю1 л ю А
где
БюА = юС люА +ю1 люА, (10)
юА =ЛаВ1 ю А (Л^ =5«).
Уравнения (4,10) аналогичны структурным уравнениям главного расслоения линейных реперов, но таковыми не являются, т.к. формы ю1 = {ююа,юа} и
юА = {юа, юа, юа, ю} имеют общую часть юа.
Определение 1. Обобщенным расслоением Ьт2+т+1+(т)(Рп) [4] линейных реперов, принадлежащих плоскостям Рт распределения №п, назовем гладкое многообразие со структурными уравнениями (4,10). Типовой слой Ьт2+т+1+(т)=ОЬ(т+1) - линейная группа, действующая неэффективно в плоскости Рт, причем (т)=&тОЦт+1) п Рп - размерность пересечения слоя и базы.
Применим к расслоению Ьт2+т+1+(т)(Рп) способ Лаптева [5] задания связности в главном расслоении. Рассмотрим формы [3]
юа=ю А -п & ю1, (11)
где П& - некоторые функции. Возьмем внешние дифференциалы форм (11)
Бю& = юС лю& +ю1 л (ёП& -П&91 +ю&1). Подставим выражения форм ю & из равенств (11)
йю£ = ю£ л юС + юВ л пСю] + пВ! ю1 л ю£ + + пС ю' лпА]ю] + ю' л (с1пА -пА-9] +юА).
Во 2-м и 3-м слагаемых вернемся к исходным формам
Б ю& = юВ л (»А + ю' л (АП + ю А) - П С П А- ю' л ю], (12)
где
АП & = ёП & -П 91 -П&1 ю в + П С. ю А. Задавая поле объекта проективной связности (ср. [3,с.69])
АП А. +ю & =П А^, (13)
преобразуем уравнение (12) к виду [3]:
А ^В']1
где
Бю& = юВ л юА + Г^А!ю' л ю], (14)
Кву = ПВ[у ] - ПВ[1П&] ' (15)
причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках. Продолжая уравнения (13), получим
АП А'] - П Ак 9 к - псаю В] + ПВ' ю А] + ЛВ юА - 0 (Ла0ч = 0).
Альтернируем по индексам 1, ]
АПВ[у] -ПВ[1 юС] +ПС[1 юв] - 0. (16)
Найдем сравнения для 2-го слагаемого в формуле (15)
АПС[1 ПА] +юВ[1 ПА] +ПС[1 юА] - 0.
Вычитая из сравнений (16), имеем [3]
А ЯВй- 0. (17)
Теорема 2. Применение способа Лаптева задания групповой связности к обобщенному расслоению линейных реперов Lm2+m+l+(m)(Pn) приводит к про-
странству проективной связности Рт2+т+1+(т) ,п со структурными уравнениями (4,14) и тензором кручения-кривизны ЯВ, выражающимся по формуле (15) че-
рез объект проективной связности П & и его пфаффовы производные. Сравнения (17) запишем подробнее
А Я^ - Я^ю- 0, А Я0и + Я0ию а - 0,
А^ - ^юь - 0, АЯЬи + Я^ю + ЯЬдюс - Я0у-юь - 0. (18)
Теорема 3. Тензор кручения-кривизны проективной связности содержит четыре подтензора: ^ {Я°у,Я0уЬ {ЯЬи,Я0iJ}, {Я0и, ЯЬи}, первый из которых является тензором кручения [3] проективной связности. Выпишем структурные уравнения с тензором кручения Бюа = юь л (юь -5Ьсо) + Я0ую1 лю^ Если проективная связность без кручения: Я^ =0, то система дифференциальных уравнений ооа = 0 вполне интегрируема и фиксирует точку некоторого т-мерного гладкого многообразия Мт. Эта система преобразуется к виду:
(5 Ь -П0ь)ю ь = П0а юа, откуда в общем случае можно выразить формы юь через формы юа, что даст
дифференциальные уравнения (п-т) - поверхности Хп-т, рассматриваемой как семейство точек. Верно и обратное.
Теорема 4. Пространство проективной связности Рт2+т+1+(т) ,п не имеет кручения тогда и только тогда, когда проективное пространство Рп расслаивается на т-мерное многообразие Мт (п-т)-поверхностей.
3. Оснащение Картана. Запишем дифференциальные уравнения (13) объекта проективной связности П & в виде следующих сравнений:
АПА -ПАю ь +ю А - 0,
АП &а-П&а ю а А - 0, АП Ас - 0. Подобъект П & объекта П & образует тензор, поэтому его обращение в нуль инвариантно. Положим [3]
П Ас =0, (19)
тогда дифференциальные сравнения для остальных компонент упростятся
АП Ас + П Ас ю + ю Ас - 0, АП &а + ю А - 0,
АПВа + ПАа® - ПАсюа - П&а® ь + ю Аа - 0. (20)
Определение 2. Если компоненты П & объекта проективной связности П
0
равны нулю, то объект П& назовем каноническим и обозначим П& .
Определение 3. Оснащением Картана распределения №п будем называть присоединение к каждой плоскости Рт (п-т-1)-мерной плоскости Сп-т-1, не пересекающейся с ней.
Зададим плоскость Картана Cn-m-1 точками
Ba= Aa, (21)
причем функции удовлетворяют сравнениям
A А* + © A - 0. (22)
о
Объект канонической проективной связности П ^ охватывается фундаментальным объектом Ла и оснащающим квазитензором по формуле [3,с.73]
а
П В! = Я£Л"И, (23)
проверяемой с помощью соотношений (7,19,20,22).
Теорема 5. Оснащение Картана распределения №п индуцирует каноническую проективную связность с объектом (23) - связность Лаптева. Из формул (1) с помощью выражений (21) найдем
А
'A _ © A AB ^ © ABa
А B
dAA =© A Ab +© ABa ,
где ю а - формы связности Лаптева. Отсюда следует
Теорема 6. Связность Лаптева характеризуется [3,с.73] проекцией на плоскость Рт смежной с ней плоскости Pm+dPm из центра Сп-т-1. В символической записи
a Nn-m-1
П Ai : Pm+dPm ^ Pm.
4. Центролинейная связность. Перейдем от обобщенного расслоения Ьт2+т+1+(т)(Рп) к соответствующему главному расслоению. Записывая структурные уравнения (10) подробнее и удаляя общую с уравнениями (4) часть - уравнения (8), получим
ОюЬ = юь люа + ю1 Ь (^Ь =Лаыюа -5аюьх
Бю = ю! лю , Оюа = юа лю+юЬ люь + ю1 лю(24)
Уравнения (4,24) являются структурными уравнениями главного расслоения СЬт2+т+1(Рп), базой которого служит пространство Рп , а типовым слоем - группа СЬт2+т+1^0Ь(т+1), действующая неэффективно в центрированной плоскости Р* .Формы [6,с.227]
©b = ©b/ in, ©Я =©я/ in, © = © / in
'и — Ш|, / 1 „ , ш „ — 1_и „ / 1 „ , ш 1_и/ 1 „
ь ь ю1 = 0 ' а а ю1 = 0 ' ю1 = 0
являются базисными формами группы СЬт+т+1. Группу СЬ т +т+1 назовем цен-тролинейной, а СЬт2+т+1(Рп) - расслоением центролинейных реперов. Центролинейная группа СЬт2+т+1 возникает в проективно-дифференциальной геометрии поверхности [7, с.184], но не совпадает с проективно-дифференциальной группой РБ ^ [7, с.177].
Групповую связность в расслоении центролинейных реперов СЬт2+т+1(Рп) зададим по Лаптеву с помощью форм
ю Ъ = ю Ъ _ Га ю1, ю а = ю а - Га1 ю1, ю = ю - Г ю1. (25)
Внешние дифференциалы этих форм имеют вид:
Б ю ь = ю ь а со С + ю1 А (ДГьа1 + О Ь1>-Гьс1 ю1 л Гса ю J,
° ю а = ю а л«» + ю а аю Ь - (Га! Г + ГаЬ ГЬ]К л + (26)
+ ю| а (ДГа| +Га| ю + ГаЬ
ю Ь Г| ю а + ю а|),
Бю = ю1 а (ДГ; ). Согласно теореме Картана-Лаптева [5] для задания связ-
>ии 2
пространстве Рп
ности в расслоении СЬш2+ш+1(Рп) нужно задать поле объекта Г = (Г£, Га{, Г ) на
дГьа1 + О ь = ГДю -, ДГ1 + ю 1 = Г ю , (27)
Ь1 ^ "Ы - А Ъу^ >ДА 1 ^ _ А 1- ' ДГа! + Га! ю + Га ю Ь - Г1 ю а + ю 0 = Га|]ю] ■
Бюа = юс а 0°а + яаию1 а ю], Бю = яию| а ю1, (28)
Уравнения (26) примут вид:
>Ь а юС + яЬ|]ю а ю , Бю = яI]
Бюа = юа А ю + юЬ А юь + Я^ю1 А ю] ,
где
Яа = г а — ГС Га я = Г Я = Г -ГГ-ГЬ Г (29)
ЯЬ1] = Г Ь[|]] Г Ь[| Г с]]' яI] =1[1]]' Яа1] = Г а[1]] Г а[| Г ]] Г а[| Г Ь]] ■ (29)
Продолжая дифференциальные уравнения (27), получим
ДГа — ГЬке5 — ГаОЬ] + А§|П; + л^юв — 5аю0 — 8аю0] - а,
Д ГЯ|] + Га|] ю — ГЬ|О Ь] — Гак е 5 + ГЭ| ю] + ГаЬ]Ш Ь + ГаЬ ю ° — — Гу ю а — Г| ю 0] + л-а|]юв - а, ДГ|] - Гк е 5 - а,
откуда в соответствии с формулами (29) найдем
ДЯаУ - а, ДЯ|] - а, дяа|] + я^ю + я>ь — ячюа - а. (зо)
Теорема 7. Объект кривизны центролинейной связности Я = {ЯЪ-, ЯЯа1-} является тензором, содержащим 3 подтензора: Я щ, Я у, {Я ^, Я у}. Из сопоставления сравнений (18) и (30) вытекает
Теорема 8. Дифференциальные сравнения для тензоров кручения-кривизны ЯЩ с нулевым кручением (Я^ = 0) и центролинейной кривизны Я совпадают.
Найдем условия совпадения объектов проективной связности П Щ и центролинейной связности Г . Запишем дифференциальные уравнения (13) для компонент объекта ПЩ ={ П^, П^, П0, П0 } в виде сравнений
ДПЪ, — П0,юЪ +юы - 0, ДПа — Паю + 5вюв - а, ДПа + Па ю + ПЬ|юЬ — Па^а + юа - а, Д^| + П0|юа + 5вюв - а. (31)
Полагая
П& =Г£, П0 = Га., П0. = Г. (32)
и сопоставляя соотношения (27) и (31), получим
П ¿¡=5 а. (33)
Наоборот, из условия (33) следует возможность равенств (32).
Теорема 9. Проективная связность является центролинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие (33).
Условия (19) и (33) не совместны, поэтому классы канонической и центролинейной проективных связностей не пересекаются.
5.Композиционное оснащение. Рассмотрим оснащение, учитывающее наличие точки А в центрированной плоскости Р ^, описывающей распределение
Шп.
Определение 4. Композиционным оснащением [8] распределения №п цени тл ^ с» тч ^
трированных плоскостей Р т называется присоединение к каждой плоскости Р т двух плоскостей: 1) плоскости Картана Сп-т-1; 2) нормали 2-го рода [3] - (т-1)-плоскости Кт-1, принадлежащей плоскости Р ^ , но не проходящей через ее центр А.
Плоскость Сп-т-1 задается квазитензором АА = {А^,Аа}, для компонент которого сравнения (22) принимают вид:
ААаа+юа = о, ААа+Ааю + А> а +юа = 0. (34)
Подквазитензор Ааа определяет нормаль 1-го рода [3] - (п-т)-плоскость Н>т: Р * П Н>т=А. Плоскость ^-1 зададим точками Ва=Аа+АаА, причем
ААа +А аЮ + Ю а =Аа.Ю (35)
Теорема 10. Композиционное оснащение распределения N8 п индуцирует центролинейную связность в расслоении СЬт2+т+1(Рп).
Доказательство. Дифференциальные уравнения для обобщенных символов Кронекера 5 а, 5а имеют вид:
А5а -5аю + 5аюа= 0, А5а-5аю + 5аюа= 0. (36)
Фундаментальный объект Ла распределения NSn и композиционно оснащающий квазитензор {Ааа, Аа, Аа} охватывают компоненты объекта центролинейной связности Г по формулам
А
' Ы ЛЬ| Аа + АЬ АI , А| = А| 51 Аа Аа
А
^Э! =Л а| Аа + А а А ь--| ч--1 -а
проверяемым с помощью соотношений (3, 7, 27, 34-36).
6. Параллельное перенесение. Введем формы (25) центролинейной связности в дифференциальные уравнения (35)
УА а = У 1А а ю\ (38)
а а I = Лаь | Ааа + АЬ АЭ, А| = А| - 5аАааАа,
А
Аа = Л- Аа + А а А ь АЬ (Аа =5 ? Ааа -5 а), (37)
где
УА а = ёА а "А ЬС0 аЬ + А а ю + ю а, У, А а = А а, + А ь ГЬ "А а Г1 - ^ - ковариантный дифференциал и ковариантные производные квазитензора Аа
и и "1-' /—^ с»
относительно центролинейной связности 1. С помощью структурных уравнений (28) найдем внешний дифференциал от ковариантного дифференциала УАа
БУАа = УАа аю - УАь а юЬ + Т^ю1 а юЦ , (39)
где
Таи = *ац +Аа«,] " Аь*-Из соотношений (30, 35) следует, что объект Тау образует тензор с дифференциальными сравнениями
АТа,+Та,Ю = 0.
В пространстве Рп линия р (точнее, направление), проходящая через точку А , задается дифференциальными уравнениями
ю1 =р1 ю, (40)
причем Б ю = ю а ю1 • Из структурных уравнений (39) видно, что система дифференциальных уравнений УА а = 0 вполне интегрируема вдоль любой линии р. Определение 5. Будем говорить, что плоскость ^-1 переносится параллель-
и и 1 и -1-1
но в центролинейной связности 1 вдоль линии р, если ковариантный дифференциал УА а задающего плоскость квазитензора А а обращается в нуль вдоль р.
Система уравнений параллельного перенесения УАа /р=0 с учетом уравнений (38,40) принимает вид:
У1А а р1 = 0. (41)
Здесь т линейных однородных уравнений с п неизвестными р1. В общем случае неизвестные р1 определяются из системы (41) с произволом дап-т, т.е. в точке А существует (п-т)-мерное направление Пп-т, вдоль одномерных направлений которого можно осуществить параллельное перенесение плоскости Кт-1. Если Тау=0, то параллельное перенесение возможно вдоль многомерного направления Пп-т . В связи с этим назовем Тау тензором одномерных перенесений, а Пп-т направлением параллельности.
Дифференциалы точек Ва представим так:
А А ,
с1Ба = У А аА + ю ЬБЬ + (ю а + А а юа )Ба, (42)
А
где У А а - ковариантный дифференциал квазитензора А а в индуцированной ценА А
тролинейной связности Г (37), ю Ь - формы индуцированной линейной подсвяз-
А А
ности, определяемые подобъектом Г а с Г. Из формулы (42) вытекают
Теорема 11. Плоскость Кт-1 переносится параллельно относительно индуци-
А А
и и и 1 "1—г
рованной центролинейной связности Г в направлении параллельности Пп-т,
определяемом полем плоскостей N^1 и объектом Г, тогда и только тогда, когда она смещается в гиперплоскости Вп-1=^-1©Сп-т-1.
Теорема 12. Линейная подсвязность Г Ъ характеризуется проекцией на
плоскость Кт-1 смежной с ней плоскости Nm-l+d Кт-1 из центра - нормали 1-го рода Н>т. Символически
х
Г Ъ1: Nm-l+d №т-1 ———^ Nm-l .
Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ (СПбКЦ).
Библиографический список
1. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С.71-120.
2. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 1994. Вып.25. С.110-121.
3. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара /ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.49-94.
4. Шевченко Ю.И. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 1990. Вып.21. С. 100-105.
5. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. 248с.
6. Остиану Н.М. О некоторых проективно-дифференциальных структурах на дифференцируемом многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1969.Т.2.С.207-246.
7. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии //Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.139-189.
8. Шевченко Ю.И. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI. Прибалт. геом. конф. Таллин, 1984. С.137-138.
Ju.I. S h e v c h e n k o
TWO PROJECTIVE CONNECTIONS ON NON-HOLONOMIC SURFACE
In the projective space non-holonomic surface or distribution of planes is considered. It is shown, that the projective space and the distribution are holonomic smooth manifolds.
Generalized bundle of linear frames is associated with the distribution. Laptev's way of the giving of group connection led to the projective connection of the classical type. Class of the projective connection called canonical, is distinguished. Equipment according to Cartan of the distribution induces the canonical projective Laptev's connection.
We made transition from the generalized bundle to the principal bundle of so-called center-linear frames and to corresponding connection. The canonical and center-
linear connection form two non-intersecting classes of the projective connections. Compositional equipment of the distribution is made, which consists in the setting of Cartan's planes and normals of the 2-nd kind. It is proved, that the compositional equipment induces the center-linear connection. The latter is characterised by means of normal of 2-nd kind parallel displacement, when it moves in hyperplane drawing on this normal and the Cartan's plane. Induced linear subconnection is interpreted by projection of neighbouring normals of 2-nd kind onto each other out of center - normal of 1-st king, generated by the Cartan's plane.
УДК 514.76
f-СТРУКТУРЫ МНОГООБРАЗИЯ d(H)
С.Н. Ю р ь е в а
(Калининградский государственный университет)
Продолжается исследование гиперполосных распределений (Н-распределе-ний) аффинного пространства [1]. Введена f-структура на многообразии ^(Н), ассоциированном с Н-распределением.
Схема использования индексов:
I,J,K= 1,n ; аЪ= 1,n - 1; А,В,С,Б= 1,2n - 1.
1. Оснащающее Н-распределение данного ^-распределения можно рассматривать как расслоенное многообразие ^(Н), базой которого является аффинное пространство An, а слоями - элементы Н-расслоения, причем dim^(H)= =n+(n-1)=2n-1.
Структурные формы этого многообразия можно получить следующим образом. Образующим элементом слоя Н(А), где А - центр ^-распределения, является точка О = А + I аай. При этом структурные формы ДНа точки Х имеют следующее строение:
def
ДНа = dHa + Hb юa . (1)
Внешним дифференцированием равенств (1) находим:
Б(ДНа)= ДНьЛ ю a +ЮкЛНь H nK ю a. (2)
Cледовательно, формы ДНа имеют расслоенную структуру по отношению к базовым формам юк[2]. Система форм {ДНа,юк} вполне интегрируема и образует систему структурных форм многообразия ^(Н).
2. Многообразие ^(Н) примем за базу нового расслоенного многообразия Т(^), где Т(^)- касательное расслоение к ^(Н). Учитывая уравнения (1) и (2), находим, что структурные формы 0А многообразия ^(Н), где
