CC BY
4
1. Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.
2. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос. Калининград, 1983.
3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
A. Eliseeva
TANGENT EQUIPPED HYPERSTRIPS Hm IN THE AFFINE SPACE An
Tangent equipped hyperstrips in the affine space are investigated. Fields of equipping planes generates adjoint field of planes aboute asimptotic bunch of tensors for the hyperstrip. Bunches of Blaschke's normals of the 1-st kind are adjoined in the interior manner. Two biectios Bompiani - Pantasi are determined between normals of the 1-st and 2-nd kind. Interior affine connections of hyperstrip and normal characteristical center-affine connection are introduced. These connection curvature tensors are found. The sings of connection equiaffinety are cleared up.
УДК 514.75
О.М. Жовтенко
(Калининградский государственный университет)
ИНДУЦИРОВАННЫЕ ГРУППОВЫЕ СВЯЗНОСТИ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В проективном пространстве рассмотрено семейство плоскостей, причем размерности семейства и плоскости произвольны. С помощью способа Лаптева задана групповая связность в расслоении, ассоциированном с семейством. Групповая связность содержит проективную связность. Показано, что в случае неголономности пространства параметров объект кривизны проективной связности является тензором лишь в совокупности с объектом проективной связности и фундаментальным объектом 1-го порядка семейства. Произведено оснащение Бортолотти семейства плоскостей и доказано, что оно индуцирует 2 типа групповой связности в ассоциированном расслоении. Найдены условия совпадения этих типов.
Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп, отнесенное к подвижному реперу {А, Л:}, инфинитезимальные перемещения которого имеют вид:
аА = 0А + ю1А1, =0А1 + ю11А1 + ю:А (¡ДК = 1,п)[.
Инвариантные формы юю;, ю: проективной группы ОР(п) удовлетворяют структурным уравнениям
Бю^ = ЮК л юК + (б^ЮК + бК) А ЮК , Бю: = А , Бю* = Ю1 А Ю^ .
В проективном пространстве Рп исследуем г-мерное семейство Бг (1<г<(ш+1)(ш-1)) т-мерных плоскостей Ьш (1<ш<п). Произведем специализацию подвижного репера {А, Аа, Аа}, помещая вершины А, Аа на плоскость Ьш, причем индексы принимают значения: а,Ъ,е = 1,ш, а, в, у = ш +1, п. Система уравнений семейства Бг в параметрической форме имеют вид:
а *ап 1 а *ап 1 /14
ю = Л10 , юа = Ла10 . (1)
Базисные формы 01, заданные в некоторой области г-мерного пространства параметров Бг [1], удовлетворяют структурным уравнениям
Б01 =0J а 01 (у,к = п +1, п + г) (2)
Продолжая систему уравнений (1), получаем
ЛЛа - Л>а =л(а0J, ЛЛа - Л1"юа = Л^0.
Дифференциальный оператор Л действует следующим образом:
лл^1 = ала -л^-л>Ъ +лва1юа.
Совокупность функций л = {л®, Лаа1} является фундаментальным объектом
1-го порядка семейства Бг.
Дифференцируя уравнения (2) внешним образом и применяя обобщенную лемму Картана [2], найдем
Б01= 0к А 0к + 0к А 01к, 01к А 0'' А 0к = 0.
Если пространство параметров голономно, то формы 0^к симметричны
по нижним индексам, если же -неголономно [3], то они несимметричны по нижним индексам.
С семейством Бг ассоциируется главное расслоение 08(БГ) со структурными уравнениями (2) и следующими:
Бюа = юа люаа + 01 л ю?, Бюа = ю^ лиь + 01 л юа1, (3)
Бюь = юЬ л юС + (оьюс + 8Сюа )л юс + 01 л юЬ1, (4)
Ша у а . а . а
р=юрлюу+0рюа лю +0 лЮр;,
Ша а а . в а . а
а = юа л юа + юа л юр + юа л ю ,
°юа =юалюа +юРалюр '
где
®а =Л1 , Юа; = ЛЫ- 5аЛ1 Юа, Юа; = Лш Юа, ®|}1 = -Лш-Л1(5р®у + ^^^р )
Базой главного расслоения 08(БГ) служит семейство Бг (точнее, область пространства параметров ), а типовым слоем - 8-членная подгруппа стационарности 08 (8=п2-пш+ш2+п+ш) плоскости Ьт. Расслоение 08(БГ) содержит подрасслоение проективных реперов (2) - (4) с той же базой, типовым слоем которого является проективная группа 0Р(ш)с08с0Р(п), действующая на плоскости Ьт.
Групповую связность в ассоциированном расслоении 08(БГ) зададим по Лаптеву [4] с помощью новых слоевых форм
юа = юа - Га101, юь = юь - гы01, юа = юа - Га101, (5)
Юа = Юр -Гра10\ ©а = Юа -Гш0Юа = Юа -Га10^ (6)
Дифференцируя внешним образом уравнения (5), (6) и применяя теорему Картана-Лаптева [5], получим систему уравнений для компонент объекта групповой связности Г = {Га1, Г^, ГГа, Гра, ^, Га1}, содержащего
подобъект проективной связности Г0 = {Га1, Г1а1, ГГа}, компоненты которого удовлетворяют уравнениям:
АГа - Гаа юа + ю? = Га0^, АГа1 + Г*юа + юа1 = Г^,
I \ ■ (7)
АГаа +5а (Гаюс -Г1сюс )+гы юа -Гаюа + ю^ = Г^,
С учетом (3) - (5), (7) получим структурные уравнения для форм проективной связности (5)
Бюа = ю л юа + Я^О1 л 0\ Бсоа = л юь + К-щО1 л 0\
^ = юа л юс + 5Ьюс л ю + 5сюа л ю + ±4^0 л
(8)
бю?=юс л юа+оаю„ л юс + оаюк л юс+о1 л оj,
где компоненты объекта кривизны проективной связности имеют вид:
Rlj =Г[чГГь[1 Гj], Ralj =Га [у] - Га [lГbj], Rblj = Гb[lj] - Гь[1 Гcj] - Г[1 Гbj] - 5bГc[lГj].
Альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках. Воспользовавшись уравнениями (7) и их продолжениями, найдем дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны
Я0 = {яаДЬуДау} проективной связности Г 0
ЛЯ* - ЯЬуШЬ - га©И - 0, ЛЯау + + Гак- 0,
ЛЯЬу - + ЯЬуШа - ГЬк©¡кх^] - 0,
где символ - означает сравнение по модулю базисных форм 01.
Теорема 1. Объект кривизны Я0 проективной связности Г0 является тензором, если пространство параметров Sr голономно, и образует тензор лишь в совокупности с объектом проективной связности Г0 и фундаментальным объектом Л, если Sr неголономно.
Произведем оснащение Бортолотти [6] семейства плоскостей Бг, т.е. к каждой плоскости Ьш присоединим (п-ш-1)-мерную плоскость Рп-т-1, не имеющую общих точек с плоскостью Ьш. Зададим плоскость Рп-ш-1 точками
Ба = Аа + А* + ^А , причем
Л*а + ^а®* + ® а = 1, Л*а + *а®а + ®а = 01.
Продолжая эти уравнения, найдем дифференциальные уравнения для пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора
* = К,}
- ®* + *а®а + - ^«а - 0, ЛХа1 - Хш Юа + Ха®а1 - Хр®а - 0.
Теорема 2. Оснащение Бортолотти семейства Вг индуцирует два типа групповой связности в ассоциированном расслоении 03(ВГ).
Доказательство. Фундаментальный объект Л семейства Бг и оснащающий квазитензор X охватывают компоненты объекта связности Г по формулам [7]
0 0 0 0 . . Га =ХааЛ?, Г*1 =ХаЛ", ГЬ = -8 Ь Л? Ха , Г£ =-Л" Хар -Л! ^Ху + 8?Хр),(10) 1 1 Га1 = МРа1, Га = Маш, МРа1 = Х^ + А^Л? .
1
Объект Г
0 0 0 0 1 1 У"^ р а а р
1' Ь1' а1' Р1' а1' а1
> назовем объектом связности 1-го
типа. Компоненты Га и Га1 можно охватить иначе, с помощью формул (10) и продолженного оснащающего квазитензора {*, Хаа1, Ха1}:
0 2
Гш - ^ai + ^р ГЬ ^а Г1 , Гш = ^ai + ^p Гш ^a Ци •
В результате получим объект связности 2-го типа
2
г-
0 0 0 0 2 2 У"^ р a а р
i' bi' ai' pi ' ai ' ai
Определение. Оснащение Бортолотти называется специальным, если пфаффовы производные компонент оснащающего квазитензора X имеют вид:
Ха1 =ХаХрЛв +ХааХрЛРа1, Ха = Х^Лв + Х1аЛарЛРы. (11)
а ai
Дифференциальные сравнения для пфаффовых производных Ха1 и X совпадают с дифференциальными сравнениями правых частей равенств (11) соответственно. Следовательно, введенное определение корректно.
Теорема 3. Связности 2-х типов совпадают тогда и только тогда, когда оснащение Бортолотти специальное.
Действительно, равенства (11) являются необходимыми и достаточным условиями совпадения двух типов охватов.
0
2
0
Библиографический список
Остиану Н.М. Об инвариантном оснащении семейства многомерных плоскостей // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1996. Т. 2. С. 247-262.
Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладких многообразиях // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139-189.
Шевченко Ю.И. Оснащения голономного и неголономного гладких многообразий. Калининград, 1998. 82 с.
Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюз. мат. съезда. Л., 1964. Т. 2. С. 226-233.
Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. 248 с.
Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Ca-gliari. 1993. № 3. P. 81-89.
Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. № 9. С. 124-133.
M. Zhovtenko
INDUCED GROUP CONNECTIONS OF PLANES FAMILY IN THE PROJECTIVE SPACE
The family of planes in the projective space is considered. Dimensions of the family and plane are arbitrary. Group connection is given by means of Laptev's way in the bundle associated with the family. Group connection includes the projective one. It is shown, that in the case of non-holonomicity of parameter space the projective connection curvature object of the 1-st order. Botolotti's equipment is tensor only with projective connection object and fundamental object of plane family is made. It is proved that it induces 2 types of group connection in the associated bundle. The coinsidence conditions of the types are found.
УДК 514.75
Н.Н. Иванищева
(Калининградский государственный университет)
АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ, ПОРОЖДЕННАЯ НЕКОТОРЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР
Изучается дифференцируемое отображение f: Pm^R(Q) проективного пространства Pm в многообразие гиперквадрик R(Q) проективного пространства Pn. В [1] получена порожденная в Pm отображением f аффинная связность Г, определяемая метрикой в R(Q). В настоящей работе найдена еще одна аффинная связность у, которая является аналогом связности Г.Врэнчану [2] точечного соответствия. Изучены некоторые свойства связности у, в том числе найдены связи между характеристическими направлениями отображения f и фокальными многообразиями семейств гиперквадрик с одной стороны и свойствами геодезических связности у.
Система величин у |к = VaßL Л^1К (а, ß,... = 0,n, I, J,... = 1,m) является аналогом объекта связности Г. Врэнчану точечного соответствия.
Теорема 1. Формы О1 =О0о, Ojc = OK - 8KО0 +YklО0 удовлетворяют уравнениям структуры пространства аффинной связности
DO1 = ОТ лО1т + ^SIfL0K л OL, DOK =ОК л Ol + 1jRIiLTOl л ОТ,
где SIKL и RIKLT равны нулю.
Следствие. Связность у является локально аффинной [3].
Теорема 2. Направление, определенное в точке Р, будет характеристическим направлением для отображения f: Pm^R(Q) в том и только в том случае, если геодезическая l: R^Pm связности у, имеющая это направление, является инфлексионной в точке Р.
