О ВЫРОЖДЕННЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЕРЕНЕСЕНИЯХ В СВЯЗНОСТЯХ, ИНДУЦИРОВАННЫХОСНАЩЕНИЕМ БОРТОЛОТТИ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

11. Столяров А.В. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства // Изв. вузов. Математика. 2002. N° 11. С. 61 - 70.

12. Akivis M.A., Goldberg V. V. Conformal differential geometry and its generalizations. USA, 1996.

A. Stolyarov

THE INTERIOR GEOMETRY OF FLAT NETS IN A CONFORMAL SPACE

In the work the geometry of a flat nets given in a conformal space is investigated; also the interior geometry of the orthogonal Chebyishev's and geodesic nets and «-conjugated systems is studied in detail.

УДК 514.75

О.М. Хрусталева

(Калининградский государственный университет)

О ВЫРОЖДЕННЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЕРЕНЕСЕНИЯХ В СВЯЗНОСТЯХ, ИНДУЦИРОВАННЫХ ОСНАЩЕНИЕМ БОРТОЛОТТИ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ

Рассмотрено оснащение Бортолотти семейства плоскостей в проективном пространстве. Приведены три типа групповой связности, индуцированной этим оснащением. Описаны параллельные перенесения в связностях трех типов, которые оказались свободно и связанно вырожденными.

В проективном пространстве Pn исследуется г-мерное семейство Bг (1«^+^^^)) m-мерных плоскостей Lm (1<m<n) [1]. Произведена специализация подвижного репера Aa, Aa}, при которой вершины A, Aa помещены на плоскость Lm, причем индексы принимают значения: а, Ь, с = 1, т;

136

О.М. Хрусталева

а,р,у = т + 1,п. Система уравнений семейства Бг в параметрической форме имеет вид:

в = Лв5 = Л)в\ (1)

Базисные формы в1, заданные в некоторой области г-мер-ного пространства параметров 8г, удовлетворяют структурным уравнениям

Б01 = 0] л 0) (и,к = п + 1,п + г) (2)

С семейством Бг ассоциируется главное расслоение О(Бг). Базой главного расслоения О(Бг) служит семейство Бг, а типовым слоем - подгруппа стационарности О (&ш О=п2-пш+ш2+п+ш) плоскости Ьш. Расслоение О(Бг) содержит подрасслоение проективных реперов с той же базой, типовым слоем которого является проективная факторгруппа ОР(ш), действующая на плоскости Ьш. Групповая связность в главном расслоении О(Бг) задана объектом связности Г = {га1,г ¡„Г а,Г в,Г а,Г ы}, причем формы связно-

сти имеют вид:

Г а' ~ь = шъ - Г ы

~а = ш - Г Я \ аы = В - Гаы0 \ 5а = «а - Г ¡в1

вва = ша - Г%0\ 5 = < - г"в1, Ша = ша - Г шв\

(3)

в = - Гр0 , ша = ша ............

Произведено оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей [1]. Оснащающая плоскость Рп-ш-1 определена совокупностью точек Ба=Аа+ЯааЛа + Ха А. Ковариантные дифференциалы УХа, УХа компонент оснащающего квазитензора Х = (Ха, Ха} имеют вид:

у да=<к - х;ш/а + хыа+хаша+

в . (4)

УХа = ^Ха - Хв5в + К.5а + 5а

Ранее [1] было доказано, что оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей индуцирует два типа групповой связно-

1 2

сти с объектами Г и Г в ассоциированном расслоении О(Бг).

137

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

В первом случае компоненты объекта связности

1 Г 0 0 0 0 1 1 1

Г = \га, Гаы, Г^, Г%, Г^, Га1 | охватываются посредством

оснащающего квазитензора Х = (Х%, Ха} и фундаментального объекта первого порядка Л = {Л*,А«} семейства Вг по формулам [2]:

0 0 0

га=кла, га1=ха, гаы=лаалы,- ¿алак, (5)

0

п=- лаа1 ха - А' (¿аР\+),

1 1

Г т = -хрмрш, гаа = -х;мвш, м в = хаЛв + хаА. (6)

Во втором случае компоненты объекта связности

2 Г 0 0 0 0 2 2 1

Г = \га, Га, Гот, Г^ц, га, Гы > охватываются с помощью

компонент оснащающего квазитензора X и их пфаффовых производных по формулам (5) и следующим [1]:

2 0 0 0 2 0 0 Гат = Хаа + харГв-ХЬГаы-хаГа, Га = Ха + ХрГв-ХааГаГ (7)

3 Г 0 0 0 0 Третий тип связности с объектом Г = < Г°, Г^, Гот , Гai,

3 3 |

Га, Гш > может быть получен путем охвата компонент Г а

Гш- только с использованием пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора. А именно: функции Га и Гш- охватываются следующим образом:

3 3

Г"т = - Кп, Га1 = - Ха1 . (8)

138

О.М. Хрусталева

Замечание 1. Связность 1-го типа является средним

1 12 3

арифметическим связностей 2-го и 3-го типов: г = — (Г + Г).

2

Опишем параллельные перенесения оснащающей плоскости Рп-т-1 в связностях трех типов. Рассмотрим дифференциалы точек Ва, Задающих плоскость Рп-т-1,

йБа = дБа + (са + Мад' )БВ+ -ЯС +ГаК +та-Я^Маад' )А +

+-яа со а +Яьх +Яа®а +ш а-яамае) Аа.

Подставим выражения й Яаа и й Яа через ковариантные дифференциалы уяа и УЯа из формул (4) и формы связности (3), в результате получим

йБа=(...) а Ба + та+(ЯааГа, -ЯаГ а+г т -ЯМ а е )А+

+(УЯа+(Яьага+Яага -Яага+га -хмае)Аа.

Из этого выражения следует, что при УЯа =0 и УЯа =0 специальных смещений плоскости Рп-т-1 не выделяется. Значит, произвольное смещение плоскости Рп-т-1 будет одновременно являться ее параллельным перенесением, т. е. параллельное перенесение - свободно вырожденно [3]. При этом исключается случай обращения в нуль выражений при базисных формах д1, т. е. когда

га=-Яаага1+Яа(г а + м аа), га=- ^ - Яа га+Яа (г а + м а).

Подставив в эти выражения формулы (5) охвата компонент объекта связности 1-го типа, получим выражения

Га1 =-ЯМа' Га1 =-ЯаМаа , соответствующие формулам (6)

того же типа связности. Таким образом, справедлива

Теорема 1. В групповой связности Г, не являющейся связностью 1-го типа, параллельное перенесение оснащающей плоскости Pп-т-1 будет свободно вырожденным.

139

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Исследуем параллельное перенесение оснащающей плоскости в связности 1-го типа. Записывая дифференциалы точек

1

Ба с помощью объекта связности Г , компоненты которого удовлетворяют формулам (5, 6), получим

1 1 йВа = (...)£ Вр+УЛаа Ла Л.

Номер над символом оператора ковариантного дифференцирования обозначает действие этого оператора в связности соответствующего типа. Обращая ковариантные дифференциалы в нуль, получим, что оснащающая плоскость будет неподвижной. Таким образом, справедлива

Теорема 2. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп-т-1 будет связанно вырожденным.

Аналогично находим дифференциалы точек Ва с помощью

2

объекта связности Г , компоненты которого удовлетворяют формулам (5, 7):

2 2 ^а = (...Га Вр + (V Ла+ (Ла, -ЛрЫ^а1 )# )А + (V К+ Л ~ )в' )Аа.

Из этого выражения с учетом формул [1], задающих специальное оснащение Бортолотти, вытекает

Теорема 3. При специальном оснащении параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп-т-1 в связности 2-го типа будет таким же, как в связности 1-го типа, т. е. связанно вырожденным.

Теорема 4. При неспециальном оснащении параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп-т-1 в связности 2-го типа будет свободно вырожденным.

Теорема 5. В связности 3-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп-т-1 свободно вырожденно.

Действительно, дифференциалы точек Ва в этой связности имеют вид:

3 3

аВа = (...) раВр + (V ла - лав)Аа + (V Ла - лав1)А.

140

О.М. Хрусталева

Список литературы

1. Жовтенко О.М. Индуцированные групповые связности семейства плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. мно-гообр. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. C. 43 - 47.

2. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Там же. 1978. Вып. 9. С. 124 - 133.

3. Шевченко Ю.И. Оснащения голономного и неголономного гладких многообразий. Калининград, 1998.

O. Khrustaleva

ON DEGENERATE PARALLEL DISPLACEMENTS IN THE CONNECTIONS, INDUCED BOTOLOTTI'S EQUIPMENT OF THE FAMILY OF PLANES

Botolotti's equipment of the family of planes in the projective space is considered. The coinsidence conditions induced group connection of three types are found. Parallel displacements in the connections of three types are described. They are freely and con-nectly degenerate.

УДК 514.75

Д.С. Чернов

(Калининградский государственный университет)

ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ НА НОРМАЛЬНО ЦЕНТРИРОВАННОЙ ТАНГЕНЦИАЛЬНО ВЫРОЖДЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В N-мерном проективном пространстве PN рассмотрена нормально центрированная тангенциально вырожденная поверхность S^m , т. е. тангенциально

141