CC BY
7
Ю.И. Попов
3. Попов Ю.И. Регулярные гиперполосы Hm(Л) аффинного пространства / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1998. Деп. в ВИНИТИ 16.11.98, №3341-В98.
4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. С. 49 - 94.
5. Попов Ю.И. Общая теория гиперполос аффинного пространства / Калинингр. унт. Калининград, 1998. Деп. в ВИНИТИ 16.11.98, №3342-В98.
Yu. Popov
INVARIANT EQUIPMENTS OF HYPERSTRIP Нт(Л)
Special class of regular hyperstrip Нт(Л), equipped by (r+1)-dimensional planes Л, is considered. The giving for the hyperstrip is produced and existence theorem is adduced. It is shown, in differential neighbourhood of order t, where t - order for field of TA-virtual normals of the 1-st kind , to the hyperstrip Нт(Л) one can join: bunch of Cartan's planes, bunch of normals of the 2-nd kind for characteristics distribution, and in neighbourhood of order t+1 - normalisation for hyperstrip in the Norden-Timofeev's sence.
УДК 514.75
А.В. Скрягина
(Калининградский государственный университет)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ОСНАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В проективном пространстве Pn плоскостная m-поверхность рассмотрена как семейство Mr пар образующей Lh и ее 1-й дифференциальной окрестности Tm+hr. Произведено композиционное оснащение плоскостной поверхности, состоящее в задании полей обобщенной нормали 2-го рода Pr(h+1)-1, дополняющей образующую Lh до касательного пространства Tm+hr, и обобщенной плоскости Картана Pn-m-hr-1, дополняющей касательное пространство Tm+hr до объемлющего Pn. Это оснащение индуцирует в ассоциированном расслоении пучки связно-стей 1-го и 2-го типов. Найдены и геометрически охарактеризованы условия их совпадения. Введены и использованы специальные случаи обобщенных нормализации 2-го рода и оснащения Картана.
Продолжим изучение плоскостной поверхности Sm, представленной как r-мерное многообразие Mr пар плоскостей (Lh, Tm+hr). Оснащающие плоскости Pr(h+1)-1, Pn-m-hr-1 задаются совокупностями точек:
Bp = Ap +AapAa +ApA, Ba = Aa +AaaAa +ApaAp + AaA; (a,... = 1,h; p,... = h +1,m + hr; a,... = m + hr +1,n; i = h +1,h + r).
Композиционное оснащение плоскостной поверхности определяется полем квазитензора Л = (Лар ,Лр ,ЛР ,ЛРР ,ЛР) на базе Мг. Внося формы связности в дифференциальные уравнения компонент квазитензора Л, получим
улар =УЛаР&, УЛр = Ул/, улР = Ур, УЛР =УЛР&, УЛр=ур, (1)
где слева стоят ковариантные дифференциалы компонент оснащающего квазитензора Л [1], а справа - коэффициенты при базисных формах - ковариантные производные, выражающиеся через компоненты объекта групповой связности
Г = {Га1, Га, ГШ Гф~> ГРь Гpi, Гр, ГР, ГРР, ГР } по формУлам:
УЛР = ^ - - ЛрГЫ - ЛрГ1° - Г_рп УЛр = Лpi + ЛдГ^ - ЛрГ - Грп
ул=Лр+лг-Лрг-Лргра-Лрга-гр, (2)
УЛР = ЛР +ЛтГРп - ЛРГф - ГР, УЛр = ЛР + ЛтГР - ЛРГаi - ЛРГр1 - ГР ■ Они удовлетворяют дифференциальным сравнениям [1], позволяющим положить УЛар = 0, УЛр = 0, У Л = 0, У ЛР = 0, УЛР = 0 в формулах (2) и получить следующие соотношения:
2
2
Г = Л + ^^ - ЛрГЫ - ЛрГР' ГРi = Лpi + - ЛрГаi, 2 2
ГР = Лы - ЛРрЛр1 + ГТРЛ - ЛРрЛГ + Га i (ЛРЛЛр - ЛР), ГРр = ЛРЫ + ЛрГТ - ЛР Гр, (3) 2
ГР = ЛР-ЛРЛ+ЛРГГ+Г (ЛРЛр - ЛР)-ЛРЛГ+Га (ЛРЛр - р,
где символ «2» над компонентами объекта связности Г обозначает принадлежность связности пучку 2-го типа. Дадим
Определение 1. Пучком связностей 2-го типа назовем множество групповых
2
связностей, определяемых объектом Г, компоненты которого удовлетворяют
соотношениям (3), причем компоненты подобъекта Г1= {ГаЬГР,ГР ,Гр ,ГР}
являются параметрами пучка.
Теорема 1. Композиционное оснащение плоскостной поверхности Мг полями плоскостей РГ(н+1)-1, Рп-т-Иг-1 индуцирует в расслоении 0(МГ) пучок групповых связностей 2-го типа.
В пучке групповых связностей 2-го типа можно выделить единственную связность. Охваты параметров пучка найдены в работе [1], а остальные компоненты объекта связности определяются соотношениями (3), в которые подставлены охваты параметров. Таким образом, связность 2-го типа задается объектом 02 0 0 0 0 0 02 02 02 02 02
Г = {ГР, ГР, Га„ Гр, ГРР, Гр, ГРр, Гр, ГР, Гр}, где символ «02» означает, что
из пучка 2-го типа выделена связность путем охвата совокупности параметров
0
Г!, которая в этом случае обозначена через Г .
Запишем дифференциалы точек Вр, Вр, подставляя вместо дифференциалов компонент оснащающего квазитензора Я их выражения через ковариантные дифференциалы с учетом (3):
2 2
= (...) рв9 +лрррБа + (уя; + хрег )ла+(уяр+хрр )л, 2
^Бр = (...)Р Бт+(УЯрр+гррег )БР+(пр + тре )ла+(Пр + Трег )л,
(4)
где
хр =ЯР -ЯРЛЯР +Ялр1 +ЯрЛ, tр=Яр-яРрЛря
р =Ярр-ЯрЛрЯЯ, Харг= Яр г Ярлрг+ЯрлрргЯад - Яр%л - Яр%л, (5)
Хрг = Ярг + ЯдЯрЛрг - ЯрЛрг - ЯЯрЯдЛрг - ЯрЯдЛ1 ,
тр = хр-ЯРрХ?р, Тр= Хр-ЯрХр, (6)
пр =УЯр-ЯРрУЯРр, Пр = У Яр - ЯрУЯр. (7)
Дифференцируя величины (5), получим
лхр = о, лхр + хр^р + хрыр = о,
(8)
лр + хр^р + - о, лрг + ХрРр - 0, ЛХрг + харРа - о,
т.е. объект Х = {Хр, р, Хар, ХарЬ Хр}, компоненты которого удовлетворяют сравнениям (8), является тензором, содержащим три простых [2] подтензора {Хрр}, {ХарЬ Хр}, {аы, , хр}. Компоненты объекта Т = {Та, Ты} удовлетворяют следующим сравнениям:
ЛТр+ Трр^р - 0, лтр + Трар - 0,
т.е. объект Т является тензором.
Определение 2. Композиционное оснащение назовем специальным, если тензор 1 равен нулю, т.е.
х = о х = о хр- = о ха- = о Л = о (9)
р 1 рг "' р р 1 рг У-')
Обобщенную нормализацию 2-го рода, задаваемую полем плоскостей РГ(ь+1)-1, назовем специальной, если выполняются равенства: хр1 = о, хар^ = о.
Обобщенное оснащение Картана, задаваемое полем плоскостей Рп-т-ьг-1, называется: 1) специальным - в случае р = о, хар = о, хрр = о; 2) полуспециальным - в случае хрр = о; 3) комбинационным - в случае Трр = о, Тр = о.
Замечание. Специальность обобщенного оснащения Картана равносильна его полуспециальности и комбинационности.
Из формул (4) и определения 2 вытекают следующие утверждения. Теорема 2. В случае неспециальной обобщенной нормализации 2-го рода
(хрг Ф о, харг Ф о) оснащающая плоскость Рф+1)-1 переносится параллельно в под-
о2 о о о2 о2
1а 1
д1, Г ,Г рИ
связности Г2 = {Го,Гр,Гр1,Гр} при любом смещении, т.е. параллельное перенесение свободно вырожденное.
Теорема 3. В случае специальной обобщенной нормализации 2-го рода
(¿р, — 0, — °)оснащающая плоскость Рф+1)-1 переносится параллельно в под-02
связности Г2 лишь тогда, когда она смещается в плоскости Бортолотти Р„-н-1.
Теорема 4. В случае неполуспециального и некомбинационного обобщенного оснащения Картана оснащающая плоскость Р„-т-иг-1 переносится параллельно в
02 ° ° 02
псевдосвязности уъ — {Г?,ГТ,Гр } и в линейной комбинации групповой связно-02
стиГ, определяемой формами (7), при любом смещении.
Теорема 5. В случае комбинационного обобщенного оснащения Картана (Т=0) оснащающая плоскость Р„-т^г-1 переносится параллельно в комбинации
02
групповой связности Г, определяемой формами (7), лишь тогда, когда она смещается в плоскости Бортолотти Р„-н-1.
Теорема 6. В случае полуспециального обобщенного оснащения Картана
(¿Р — 0) оснащающая плоскость Р„-т^1 переносится параллельно в псевдосвязности 02
у3 лишь тогда, когда она смещается в обобщенной нормали 1-го рода Р„-т-и(Г-1).
Следствие (к теоремам 4, 5). Если обобщенное оснащение Картана специальное, то оснащающая плоскость Рп-т-ьг-1 переносится параллельно в групповой
02
связности Г тогда и только тогда, когда она неподвижна, т.е. параллельное перенесение - связанно вырожденное.
Пучок 1-го типа [1; 3] совпадает с пучком 2-го типа, если выполняются соотношения:
Лр — ЛрЛдЛТ-хрЛ-лалр, к« — ЛРрЛргЯг,
л —лрлрк, кр, —лл-лил+ЛрЛрдл,
Лр1 — -ЛдЛР Лр1 + ЛрЛр1 + ЛРЛдЛРг + ЛрЛдЛд,
которые дают подробную запись соотношений (9). Поэтому справедлива
Теорема 7. Пучки групповых связностей 1-го и 2-го типов совпадают лишь тогда, когда композиционное оснащение специальное, т.е. обобщенная плоскость Картана Р„-т-нг-1 и плоскость Бортолотти Р„-и-1, содержащая обобщенную нормаль 2-го рода Рф+^ь неподвижны.
Доказательство. Покажем справедливость утверждения при условии (9). Дифференциалы точек Вр и Вр можно представить в виде:
ЛВР — (...)дрВд+Л^ва+Ар+Гр^Л, ава — (...)«БТ+С&Бр + Г^Лр + ТЫ&А.
Плоскости Рп-т-ьг-1=[Ва] и Рп-ь-1=[Вр,Ва] неподвижны тогда и только тогда, когда ¿р, — 0, — 0, р — 0, ТрР — 0, Тр — 0, а эти равенства с учетом замечания эквивалентны равенствам (9).
Список литературы
1. Скрягина А.В. Пучок связностей 1-го типа на плоскостной поверхности как семействе пар образующей и ее первой дифференциальной окрестности // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2001. С. 25 - 28.
2. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
3. Скрягина А.В. Пучок связностей 1-го типа на плоскостной поверхности // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2001. Т. 12. С. 58 - 59.
A. Skriagina SPECIAL EQUIPMENT OF PLANE SURFACE
The plane m-surface as a family Mr of couples of generator Lh and it's first differential neighborhood Tm+hr is considered in the projective space Pn. Composition equipment of plane surface is made (i.e. generelized normal of the 2-st genus Pr(h+1)-1: Lh ф Pr(h+1)-1=Tm+hr and generelized Cartan's plane Pn-m-hr-1: Tm+hr Pn-m-hr-1=Pn). It is schown,that the equipment of the surface induces in the associated bundle the bunches of the first and second types. A geometric characteristic of their coincidence is found. Special cases generelized normalization second genus and Cartan's equipment are defined and used.
УДК 514.756.2
А.В. Столяров
(Чувашский государственный педагогический университет)
НОРМАЛИЗОВАННОЕ КОНФОРМНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Изучаются конформные и аффинные связности, индуцируемые невырожденной нормализацией п-мерного собственно конформного пространства Сп.
Индексы принимают следующие значения: Я,^, р = 0, п +1; ¡, ], к, I, s, ^ = 1, п. 1. Рассмотрим собственно конформное пространство Сп; отнесем его к подвижному полуизотропному [3] реперу Я = {АЯ}, состоящему из точек А0,Ап+1 и
п гиперсфер А, проходящих через эти точки. Если скалярные произведения (АЯАМ) элементов выбранного репера обозначить через , то [1; 2]
0 0 1
Sl/Л = 0 Sij 0 g ■fell g
1 0 0
(1)
причем в собственно конформном пространстве Сп матрица
Sl/л
является не-
вырожденной и положительно определенной. Любую гиперсферу Р еСп можно представить в виде линейной комбинации элементов репера:
Р = х0 Ао + х'А, + хп+1Ап+1.
