CC BY
3
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
УДК 514.75
А.В. Вялова
(Калининградский государственный университет)
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ В ПУЧКЕ СВЯЗНОСТЕЙ 2-го ТИПА НА ТОЧЕЧНО-ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В n-мерном проективном пространстве Pn точечно-плоскостная поверхность Sh+г рассматривается как вырожденное многообразие [1] троек (A,Lh,Tm), причем точка A (A е Lh с Tm) и касательная плоскость Tm описывают m-мерные семейства, а образующая Lh- г-мерное семейство (г = m - h) [2]. Произведено композиционное оснащение поверхности Sh+г, состоящее в задании полей трех плоскостей. Введены понятия специального и комбинационного оснащений, которые использованы при описании параллельных перенесений оснащающих плоскостей в пучке связностей 2-го типа.
В работе индексы принимают следующие значения:
I,... = 1,п; и,... = 1,т; а,... = т + 1,п; и = (а,1); а,... = 1,Ь; 1,... = Ь + 1,т.
Уравнения поверхности 8Ь+Г в репере = {А,Аа,А1,А а}, где точки А и Аа помещены на плоскую образующую ЬЬ, а точки А1 - в касательную плоскость Тт , имеют вид [3]:
Ша= о, й =А'ш\ ша=Л"ш1, ш*=Л*ш^ + Л"ша.
Объект Л = {Aaj, Л" = Л™, Л^} является фундаментальным объектом многообразия Sh+г.
36
А.В. Вялова
С поверхностью Sh+r ассоциировано главное расслоение G(Sh+r), базой которого является сама поверхность, а типовым слоем - подгруппа стационарности G с GP(n) тройки
(A,Lh,Tm), причем dimG = n(n -m +1) + mr + h2.
Базисные формы ю3, ю1 удовлетворяют структурным уравнениям
Dra1 = юJ ли' (и1 = ю' - Л':ю3), Draa = юъ лю" + ю' ли".
j v j j aj /' ъ i
Групповая связность Г в главном расслоении G(Sh+r) задана по Г.Ф. Лаптеву [4] с помощью поля объекта связности:
р_су р pa pa pi pi pa F^ ^ ^ F F pa pa pa pa p 1 pi |
1 = {1 ab, Fai, bc, Fbi, ja,1 jk,1 ib,1 ij , Fia, 1 ij , Faa,1 ai,1 ab, 1ai, Fpa, Fpi, Faa, iaj}.
Объект связности 1 содержит 3 простейших [5] и 15 простых подобъектов, из которых выпишем следующие:
1 = {Fbc, Fbi, Fab, Fai}, F2 = {Fib, Ц , Fbc, Fbi, Fja , Fjk},
F = {F 1 1 F Fa Fa Fa Fa F1 F1 }
x3 _ liia>iij>iab>iai>ibc>iK>iib>iij >ija'ijk/>
F = {F1 F1 Fa Fa F1 F1 }
1 4 ~ V1 aa'1 aj'1 pa'1 P"1 ja'1 jk/'
_/г-1" г-1" г"1' г"1' T^a pa a pa p->a p->a p->i p->i ^
1 5 = {1 ab ,1 ai,1 aa ,1 aj,1 pa ,1 pi,1 bc ,1 bi,1 ib ,1 ij ,1 ja ,1 jk }.
Произведено композиционное оснащение поверхности Sh+r, состоящее в задании на ней полей трех плоскостей
Ph-1 : A ® Ph-1 = Lh , Pm-h-1 : Lh ® Pm-h-1 = Tm,
P T ffi P = P
n-m-1 • m n-m-1 n'
причем оснащающие плоскости определены совокупностями точек
Ca = Aa + XaA, с' = a' + XaAa + X'A,
Ca = Aa + Xa Aa + Xa Ai + XaA.
Объект X = {Xa, Xa, X', Xaa, X'a, Xa} является оснащающим квазитензором поверхности Sh+r и содержит 3 простейших
37
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
и 3 простых Я, , Яаа, }, (Х;, Х^ } по-
добъекта.
Найдем дифференциалы точек Ca, Q, Ca, подставляя вместо дифференциалов компонент оснащающего квазитензора X их выражения через ковариантные дифференциалы [6]. В по-лучившеся выражения подставим охват компонент объекта связности из пучка 2-го типа
dCa =0Ca + [» + (j -XX +Xj -Xa Xb)»1 + X a »X +
+ (av ^a* +5jx a)»jci +a>'ca + (v xa + tau ®")a,
dC1 = 0C; + [»i + (-X-aASk - X^ + X^A^ + 5kX>k - XjaAOa»a]Cj +
(1)
+[(a«+Xa A«)»j+Aaa »a]Ca+(V Xa+tau »u)Ca+(Q+тш »u)A,
dca =6ca + (»a +xuaßui»1 + x^ »a)cß + (v x^ + tau »^c +
+ (¿¿aa + T1 »u)Ca + (Q a + Tau OA.
Здесь введены следующие обозначения:
a1 = Xa1 + jbAai - Xj Aa1 + XaXuAa - ^a^j AaiXb - XaAa1 + XaXbXb - XaX1
ab = Xab - XaXb, tib = Х1ь - XaAab + XOxjTb + 5bX1,
a=X1 -XaA+XaXkAa-Xb x^-Xb X^X^ -X1 Xa,
1j = X 1j + XaXkA1j- XaA1j - XaXk Ak,j + XkXaXa Aaj - XaXaA<Üj - X1Xr 1a = X1a - XaATa + XjXaA<1a , ta1 = Xau - XaXßAb1 - XßXaAlj1, (2) ab = Xaab - XßXaAib + 5bXa, taa = X1aa - XaXßAja , a1 =Xa1 -XaaXßAßa1 -Xjj, t aa = Xaa - X^A^ ,
aj = X1aj + XaAaj - XuaX1ßAßuj + 5jXa;
38
А.В. Вялова
Tj = tij Хa^ij, Tia = tía Хь+и, Tca = taa Xu +aa + Xbх1 + с
(3)
-t\ - A.atj ■•
■-ai 'j ai:
a = vl —xvxa, q a = vxa„ - xa vx„
T = t — X fU +x ^afj Ta = +a — xa+i T1 = +a — xa . j ;
al — Lai ^u1al a jLai, 1ab _ Lab л11ab, Аа1 _ Lai ai'
a =vx — xvx1 — x vxa +xa x vx1
a a i a a a i a a'
(4)
0бъект t = {tai, tab, tj, +1ь , tij, +11,+Сь, OCca, tj tai, taa) является тензором и содержит 3 простейших подтензора {tab}, {tЦ }, {taa } и 9 простых подтензоров {tía, О, {+1ь,+1), {tia,tij, С j
{t ai, t ab, + ш , taj}, {t ab,taa }, {t aa ,t ai, t ai,taj, t ab, }, {taa ,taj}, {t aa, +Сь, O, {tab,tai} • Объект T = {Tm , Tm , Tj, Tb, T¿ , ТСь }
также является тензором и содержит 3 простейших подтензора {Taa } {Tla}, {TCb } и 3 простых подтензора {Ta, Т^}, {Tt] , Тш},
fra rpa л
I ab? aii'
Определение. Композиционное оснащение точечно-плоскостной поверхности Sh+r назовем специальным в случае обращения тензора t в нуль:
a) tía = 0, tij = 0, b)t!b = 0, ta = 0, c)tCb = 0, tC = 0, (5)
d)tCa = 0, tCj = 0, e)tca = 0, tai = 0, f^ = 0, +ш = 0.
Такое оснащение назовем al2bl2cl2dl2el2f12 -специальным. В случае выполнения части условий в названии специального оснащения будут упоминаться только соответствующие буквы. Если в условии фигурирует линейная комбинация (3) левых частей некоторых условий из (5), то назовем композиционное оснащение комбинационным с прописной буквой условия, содержащего первое слагаемое комбинации.
Замечание. Если композиционное оснащение a12b12 -специальное, то оно является A12 -комбинационным. Аналогично, если оснащение c12d12 -специальное, то оно C12 -комбинацион-
39
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ное. Наконец, с^12е12-специальное оснащение является С12Е12 -комбинационным.
Из формул (1) следуют результаты:
Теорема 1. Оснащающая плоскость Рй-1 переносится па-
2
раллельно в пучке групповых подсвязностей Г1 тогда и только тогда, когда она смещается: а) в гиперплоскости Рп_1 = Рй-1 © Рт-к-1 © Рп-т-1, если композиционное оснащение -/12 -специальное; б) произвольно в случае /12 -неспециального композиционного оснащения.
Теорема 2. Оснащающая плоскость Рт-н-1 переносится параллельно тогда и только тогда, когда она смещается а) в плоскости Рп-к = Рт-н-1 © Рп-т-1 © А, причем перенесение про-
2
изводится относительно пучка групповых подсвязностей Г2 в случае Ь12 -специального композиционного оснащения; б) в гиперплоскости Рп-1 , причем перенесение осуществляется в
2
пучке групповых подсвязностей Гз в случае А12 -комбинационного оснащения; в) в плоскости Бортолотти Рп-й-1 = Рт-й-1 © Рп-т-1, причем перенесение производится от-
2
носительно пучка групповых подсвязностей Гз в случае а12Ь12 -специального композиционного оснащения; г) произвольно, причем перенесение осуществляется в пучке групповых
2
подсвязностей Гз в случае а12Ь12 -неспециального композиционного оснащения.
Теорема 3. Оснащающая плоскость Рп-т-1 переносится параллельно тогда и только тогда, когда она смещается: а) в плоскости Рп-Г = Рй-1 © Рп-т-1 © А, причем перенесение произ-
2
водится в пучке групповых подсвязностей Г4, если компози-
40
А.В. Вялова
ционное оснащение - d12 -специальное; б) в плоскости Pn-h,
причем перенесение осуществляется в пучке групповых под-
2
связностей Г5 в случае C12 -комбинационного оснащения; в) в гиперплоскости Pn-1, причем перенесение производится от-
2
носительно пучка групповых связностей Г в случае E12 -комбинационного оснащения; г) в нормали 1-го рода А.П. Нордена Pn-m , причем перенесение осуществляется в
2
пучке групповых подсвязностей Г 5 в случае c12dl2 -специального композиционного оснащения; д) в плоскости Pn-r-l = Ph-1 © Pn-m-1, причем перенесение производится
2
относительно пучка групповых связностей Г в случае d12 -специального композиционного и E12 -комбинационного
оснащения; е) неподвижна, причем перенесение осуществля-
2
ется в пучке групповых связностей Г в случае c12d12e12 -специального композиционного оснащения; ж) произвольно, причем перенесение производится относительно пучка
2
групповых связностей Г в случае c12d12e12 -неспециального композиционного оснащения.
Замечание. Все результаты, полученные для пучка связностей 2-го типа, будут справедливы и для связности 2-го типа.
Список литературы
1. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 179 - 206.
2. Шевченко Ю.И. Оснащение плоскостной поверхности, рассматриваемой с трех точек зрения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1993. Вып. 24. С. 112 - 123.
3. Skriagina A. The structure of equipment of centered plane surface // New geometry of Nature. Kazan, 2003. Vol. 1. P. 197 - 200.
41
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
4. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5 - 247.
5. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000. 113 с.
6. Скрягина А.В. Композиционное оснащение плоскостей поверхности // Междунар. конф. по геом. и анализу. Пенза, 2003. С. 87 - 93.
A. Vyalova
THE PARALLEL DISPLACEMENTS IN THE BUNCH OF CONNECTIONS OF THE SECOND TYPE ON THE POINT-PLANE SURFACE
In n-dimensional projective space Pn point-plane surface Sh+r as degenerated family of triples (A, Lh, Tm), where point A (AeLhcTm) and tangent plane Tm describes m-dimensional families, generator Lh -r-dimensional family (r = m - h), is considered. Composition equipment of surface Sh+r, consisted in setting fields of three planes, is made. The concepts of special and combination equipments, which are used by describing of parallel displacements the equipping planes in the bunch of connection of the second type, are entered.
УДК 512.813.52
А.И. Долгарев
(Пензенский государственный университет)
СЕТЕВЫЕ УРАВНЕНИЯ 3-МЕРНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ОДУЛЕЙ ЛИ
Рассматриваются одули, обобщающие линейные пространства. Это одули Ли, определенные на группах Ли посредством задания внешней операции умножения элементов группы Ли на действительные числа. Сетью одуля называется множество 1-параметрических пододулей и
42
