CC BY
4
С.Ю. Волкова
Список литературы
1. Волкова С.Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов ^-распределения / ВИНИТИ РАН. М., 2001. № 343-В2001.
2. Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Проблемы геометрии: Итоги науки и техники / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. Т. 10. С. 55—74.
3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий: Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
4. Столяров А.В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1996. № 6. С. 9—14.
S. Volkova
INTRODUCTION OF NORMAL CONNECTIONS ON S-DISTRIBUTION
The normal connections, induced in the bundles of normals of 1-st type of Л-subbundle for the given S-distribution [1], equipped in Norden — Cartan's sense, are considered.
УДК 514.75
А.В. Вялова
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ В ПУЧКЕ СВЯЗНОСТЕЙ 2-ГО ТИПА
НА ТОЧЕЧНО-ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В n-мерном проективном пространстве Pn точечно-плоскостная поверхность Sh+r представляется как вырожденное многообразие троек (A, Lh, Tm), причем точка A
25
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
(А е Ьь С Тт) и касательная плоскость Тт описывают ш-мерн^1е семейства, а образующая Ьь — г-мерное семейство (г = ш - Ь). Произведено композиционное оснащение поверхности Бь+г, состоящее в задании полей трех плоскостей. Описаны параллельные перенесения оснащающих плоскостей вдоль фиксированной плоской образующей в пучке связностей 2-го типа.
В работе индексы принимают следующие значения: I,... = 1,п; и,... = 1,т; а,... = т + 1,п; и = (а,1); а,... = \,к; I,... = к + \,т.
С поверхностью Sh+r ассоциируем главное расслоение G(Sh+r), базой которого является сама поверхность, пространством расслоения — проективная группа GP(n), а типовым слоем — подгруппа стационарности G С GP(n) тройки (A, Lh, Tm), причем dim G = n(n-m+1)+mr+h2. Проекция Ti:GP(n) ^ Sh+r относит произвольному элементу группы GP(n) ту тройку (A, Lh, Tm), которая остается неподвижной под действием этого элемента.
Групповая связность Г в главном расслоении G(Sh+r) задается по Г.Ф. Лаптеву [1] с помощью поля объекта связности:
у _ / у у у a у a yi yi у a у a у у
1 — { 1 ab'1 ai'1 be1 bi '1 ja'1 jk'1 ib '1 ij '1 ia'1 ij'
у у у a у a у а у а у i yi 1
1 aa'1 ai'1 ab '1 ai'1 fa'1 fi '1 aa'1 aj }
Объект связности Г содержит 3 простейших и 15 простых подобъектов, из которых выпишем следующие:
1 — {Tab. 1bc }' 12 - {Fib, 1b' Fja }' 1 — {1]a' 1ab ' 1]b. 1bc' 1ja
у _у yi у a yi i у _у у a yi ya у a у a yi •>
1 4 — { 1 aa: 1 fa' 1 ja}' 1 5 — { 1 ab ' 1 OH' 1 fa' 1 bc' 1 ib '1 ja }'
Г — {Г Г Г ra 1 1a ra ra 1 }
1 6 — t 1 ia' 1 ab' 1 aa' 1 ab' 1 aa' 1 fa' 1 ib, 1 bc' 1 ja}'
Произведем композиционное оснащение поверхности Sh+r, состоящее в задании на ней полей трех плоскостей [2; 3]
Ph-\ ■ A ® Ph-\ — Lh' Pm-h-\ ■ Lh ® Pm-h-\ — Tm' Pn-m-\ ■ Tm ® Pn-m-\ — Pn ,
причем оснащающие плоскости определены совокупностями точек
26
А.В. Вялова
Са = А + ¿аА, С, = А, + + Я, А, Са = Аа + ХааАа + ЛаА, + ^А.
Объект Л = {Ла,Ла°,Л ,Лаа,Ла ,Ла } является оснащающим квазитензором поверхности Sh+r и содержит 3 простейших
{Ла}, { Л,}, {Ла } и 3 простых {Л,Ла} , {¿а, Л а, Л а } , {ЛаЛа } подобъекта.
Рассмотрим параллельные перенесения оснащающих плоскостей вдоль фиксированной образующей Lh [4] в пучке связностей 2-го типа. Для этого найдем выражения для дифференциалов точек Са, С1, С а, подставляя вместо дифференциалов компонент оснащающего квазитензора Л их выражения через ковариантные дифференциалы [5]. В получившиеся выражения подставим охват компонент объекта связности из
пучка 2-го типа [5] и полагая, что сС = 0,
(1)
^С, =С + (Ж +Лапъ)Съ + (УЛа + taЪжъ)A,
С =С + (ж/-Л>аА>а С +А>аСа + 2 2 + (УЛа + )Са + (П + Гшжа) А,
2
ЗСа = С + (п?а + Ла^Па )Ср + (У Ха+ ?тПа )С, + 22 +(а а+ТОъЖЬ)Са + ( Па+т аЖа)А,
где З = d/ , г, V = д/ , „, ж = а/ и введены следующие
с =0 с =0 с =0 ^
обозначения:
tл=лл-ЛаЛ й=Ль-Лаал*ъ+Л¿¿А+ЗЛ,
tia = ¿а — Ла^а + Л]Ла А,'а, КЛ = ЛаЬ — Л"рЛа^Ъ + ЗЬ Ла , (2) t оа = Лаа — Ла ЛрА]а, ^аа = Лаа — Ла ЛрАа' Т0а = tia — ¿Ъоа, Таа = t аа — Лаа + ЛЬЛг tаа , ТаЪ = ^аЪ — Л0 ^аЪ ' (3)
а = УЛ — ¿аУла, аа = ул, — Л,УЛЛ,
а = у л—лула + лалул„.
(4)
27
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Объект t = {tab, t%, tia, С, ?т, tm} является тензором, содержащим три простейших {tab}, {t^} , {t'aa} и три простых
{tib, tia} , {taab'taa} , {С 'L,tаа} подтензора. Объект Т также является тензором и содержит три простейших подтензора
{Taa}, {Ta}, {Tab} .
Определение. Композиционное оснащение точечно-плоскостной поверхности Sh+r назовем abcdef-специальным в случае обращения тензора t в нуль:
a) tab = 0,b)tb = 0,c)tab = 0,d)fCa = 0,
e) t a = 0, f)tia = 0.
В случае выполнения части условий в названии специального оснащения будут упоминаться только соответствующие буквы. Если в условии фигурируют линейные комбинации (3) левых частей некоторых условий (5), то назовем композиционное оснащение комбинационным и обозначим прописной буквой условия, содержащего первое слагаемое комбинации [6].
Из формул (1) и определения следуют следующие результаты: Теорема 1. Оснащающая плоскость Ph г переносится па-
2
раллельно в пучке групповых подсвязностей Г вдоль фиксированной образующей тогда и только тогда, когда она смещается в плоской образующей Lh в случае a -неспециального композиционного оснащения (tab Ф 0) .
Теорема 2. Оснащающая плоскость Pm_h_x переносится параллельно вдоль фиксированной образующей тогда и только тогда, когда она смещается:
а) в плоскости Pn h = Pm_h_r ® P_m_i © A, причем перенесение
2
производится относительно пучка групповых подсвязностей Г2 в случае b-специального композиционного оснащения (tCb = 0) ;
б) в плоскости Бортолотти Pn_h_ 1 = i © P„_m_i, причем перенесение осуществляется в пучке групповых подсвязностей
28
А.В. Вялова
2
Г3 в случае а/-специального композиционного оснащения
(С = 0,гш = 0).
Теорема 3. Оснащающая плоскость Рп_т_х переносится параллельно вдоль фиксированной образующей тогда и только тогда, когда она смещается:
а) в плоскости Рп г = Рк1 ® Ри_т_х Ф А, причем перенесение
осуществляется относительно пучка групповых подсвязно-
2
стей Г4 в случае ё-специального композиционного оснащения
(С = 0);
б) в плоскости Р , причем перенесение осуществляется
2
в пучке групповых подсвязностей Г5 в случае С-комбина-ционного оснащения (Т а = 0) ;
в) в гиперплоскости Рп1 = РА1 Ф х Ф Р„_„,_^ причем перенесение производится относительно пучка групповых подсвязно-
2
стей Г6 в случае Е-комбинационного оснащения (Т^ = 0);
г) в нормали 1-го рода А.П. Нордена Рп_т = Рп_т_х Ф А, причем перенесение осуществляется в пучке групповых под-
2
связностей Г6 в случае сё-специального композиционного оснащения (^ = 0, ^ = 0);
д) в плоскости Рп_г_х = Рн_х Ф Р„_т_1, причем перенесение
производится относительно пучка групповых подсвязностей
2
Г6 в случае ё-специального композиционного оснащения (*аа = 0) и Е-комбинационного оснащения (Тш = 0);
е) в плоскости Бортолотти РИ_АЧ , причем перенесение
2
осуществляется в пучке групповых подсвязностей Г6 в случае СЕ-комбинационного оснащения (Т а = 0, Т аа = 0) .
29
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Замечание. Все результаты, полученные для пучка связно-стей 2-го типа, будут справедливы и для связности 2-го типа.
Список литературы
1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.
2. Шевченко Ю.И. Оснащения плоскостной поверхности, рассматриваемой с трех точек зрения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1993. Вып. 24. С. 112—123.
3. Skriagina (Вялова) A. The structure of equipment of centered plane surface // New geometry of Nature. Kazan, 2003. Vol. 1. P. 197—200.
4. Вялова А.В. Параллельные перенесения оснащающих плоскостей вдоль фиксированной образующей в пучке связностей 1 -го типа на точечно-плоскостной поверхности // Тезисы докл. междунар. конф. «Геометрия в 0дессе-2004. Дифференциальная геометрия и ее приложения». Одесса, 2004. С. 16—18.
5. Скрягина (Вялова) А.В. Композиционное оснащение плоскостной поверхности // Междунар. конф. по геом. и анализу: Сб. ст. Пенза, 2003. С. 87—93.
6. Вялова А.В. Параллельные перенесения в пучке связностей 2-го типа на точечно-плоскостной поверхности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2004. Вып. 35. С. 36—42.
A. Vyalova
THE PARALLEL DISPLACEMENTS ALONG GENERATOR IN THE BUNCH OF CONNECTIONS OF THE SECOND TYPE ON THE POINT-PLANE SURFACE
In n-dimensional projective space Pn point-plane surface Sh+r as degenerated family of triples (A, Lh, Tm), where point A (AeLh с Tm) and tangent plane Tm describes m-dimensional families, generator Lh — r-dimensional family (r = m-h), is considered. Composition equipment of surface Sh+r, consisted in setting fields of three plane, is made. The parallel displacements the equipping planes along fixed generator Lh in the bunch of connections of the second type are described.
30
