ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ ПЛОСКОСТИ БОРТОЛОТТИ ВДОЛЬ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ ПЛОСКИХ ОБРАЗУЮЩИХ ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.В. Вялова

УДК 514.75

А.В. Вялова

(Российский государственный университет им. Иммануила Канта)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ ПЛОСКОСТИ БОРТОЛОТТИ ВДОЛЬ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ ПЛОСКИХ ОБРАЗУЮЩИХ ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В п-мерном проективном пространстве Рп рассматривается плоскостная поверхность как г-мерное семейство Бг плоских образующих Ьь. Осуществляется оснащение Бортолотти плоскостной поверхности, которое состоит в присоединении к каждой образующей Ьь проективно дополнительной плоскости Рп-ы. Путем внешнего дифференцирования ковариантного дифференциала оснащающего квазитензора строится псевдотензор, при обращении которого в нуль перенесение оснащающей плоскости является абсолютным. Получены условия существования параллельных перенесений плоскости Бортолотти вдоль однопараметри-ческих семейств плоских образующих.

В работе индексы принимают следующие значения:

I,... = й; I = (а,£); а,... = й; £ = (1,а);

1,... = И + 1,ш; а,... = т + 1,п. Уравнения т-мерной плоскостной поверхности, рассматриваемой как г-мерное семейство Бг (г = т — Ь) плоских образующих Ьь, имеет вид:

а л а 1 1 *1 1 а л а 1

ю , юа , юа = Л-ю .

1 " а а^ а а

35

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Здесь базисные формы ш1 удовлетворяют структурным уравнениям:

Эш1 = ш J л е1, (е1, = ш' - л', ша + л>*„).

4 J а) J а у

С поверхностью Бг ассоциируется главное расслоение 01(БГ), базой которого является сама поверхность, пространством расслоения — проективная группа ОР(п), а типовым слоем — подгруппа стационарности О! с ОР(п) образующей плоскости. Проекция щ : ОР(п) ^ В относит произвольному элементу группы ОР(п) ту плоскость Ьь семейства Бг, которая остается инвариантной под действием этого элемента.

Замечание. Если плоскость Ьь рассматривать как множество точек, то под действием единицы е группы ОР(п) остаются инвариантными все точки пространства Рп, а значит, и любая плоскость. Если же Ьь рассматривать как элемент многообразия Грассмана 0г(Ь,п), то е оставляет неподвижной только образующую плоскость Ьь, подгруппой стационарности которой является группа 01, причем е £ Оь

В ассоциированном расслоении способом Лаптева задана [ 1 ] групповая связность Г = {Г,а, Гш, Г,*, Г, Г£, Г, Ц } .

Производится оснащение Бортолотти плоскостной поверхности, которое состоит в присоединении к каждой плоскости Ьь (п—Ь—1)-мерной плоскости, не имеющей общих точек с плоскостью Ьь, т. е. Ьь ФРП_Ь-х= Рп . Оснащение Бортолотти

определяется полем квазитензора А = {А,*,А^}. Внося компоненты формы связности С = ш-Г,ш1 в дифференциальные уравнения компонент оснащающего квазитензора А , получим [1]

УХа = У,Х^ш1, УХ^ = У,Х^ш1, (1)

А.В. Вялова

причем Ук = {Ука§, Ук§} — ковариантный дифференциал, а V;к = {У;ка§, У;к§} — ковариантные производные оснащающего квазитензора к относительно связности Г.

Компоненты внешнего дифференциала от ковариантного дифференциала Ук имеют вид:

БУка§ = Ук4 л Юа + Укь4 лЮа -Укал лй5 + М^ю1 лю1, ЭУк§ = Ука§ л Юа - Укп л Ю£ + М^ю1 л ю1, (2)

причем компоненты объекта М = { М^, Мщ} выражаются через компоненты объекта кривизны

линейным образом:

Я = групповой связности Г

М§1) = Я§11 + к§Я +кЬ§ЯЬу -кпЯ)

М§1) = Я§1) - + ЧЯа11. (3)

Объект М, компоненты которого удовлетворяют следующим сравнениям по модулю Ю1:

Мох ]) + М*Юа - Мкийка - 0, Ш'К л к) + ы1]кюа - МфЮ" - 0,

АМа(,)(]) + Ма1]Юа - МкЮ - 0, М]Хк) + М>а - М*к< - 0, (4)

является псевдотензором [2]. Здесь, например,

дМ1Шк) = см^ -М№ю! - Макв) -Мщв1к.

Если М=0, то из структурных уравнений (2) видно, что дифференциальные уравнения Ука§ = 0, Ук§ = 0 вполне интегрируемы и задают абсолютное параллельное перенесение (см.,

37

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

например, [3]) плоскости Бортолотти Рп_ь_! . Объект М назовем псевдотензором параллельности [4].

Вполне интегрируемая система уравнений ш1 = 0 фиксирует некоторую плоскую образующую Ьь плоскостной поверхности Бг. Возьмем описанное плоскостью Ьь одномерное семейство плоских образующих р:Ьь ерсВ с дифференциальными уравнениями ш1 = р'ш, где параметрическая форма ш удовлетворяет внешнему уравнению Эш = шлш1 , которое позволяет найти дифференциальные уравнения на коэффициенты р1:

ёр1 +р -р1 ш; =р! ш. (5)

Из структурных уравнений (2) видно, что система дифференциальных уравнений вдоль однопараметрического семейства плоских образующих УАа^ / = 0, УА^ / = 0 интегрируема. Система УАа^ / = 0, УА^ / = 0 приводится к системе

(п—ь)(ь+1) линейных однородных уравнений с г переменными

р1

У1Аа^р1 = 0, У1А^р1 = 0.

Обозначим к = гап§(У;А^, У;А^) , тогда из системы следует, что существует (г—к)-мерное подсемейство Бг-к семейства Бг, так как г<(п—ь)(ь+1). Вдоль однопараметрических подсемейств семейства Бг-к плоскость Р можно переносить параллельно. В зависимости от ранга к возможны следующие случаи:

к = г — система (5) имеет только нулевое решение, т. е. однопараметрическое семейство плоских образующих вырождается в плоскую образующую Ьь и параллельное перенесение невозможно;

А.В. Вялова

2) 0 < k < г — система (5) имеет (г - к) -мерное пространство решений, т. е. есть однопараметрические семейства плоских образующих, вдоль которых параллельное перенесение осуществлять можно, и однопараметрические семейства, вдоль которых переносить нельзя;

3) к = 0 — уравнения системы (5) обращаются в тождества,

поэтому система удовлетворяется при любых значениях р1 , т. е. Br-k= Br, и плоскость Бортолотти можно параллельно переносить вдоль любого однопараметрического семейства плоских образующих, иными словами параллельное перенесение осуществляется вдоль семейства Br.

Замечание. Параллельное перенесение плоскости Бортолотти в пучке связностей 2-го типа [5] можно проводить вдоль плоскостной поверхности Br.

Список литературы

1. Скрягина А.В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный оснащением Бортолотти плоскостной поверхности // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2000. С. 25—28.

2. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

4. Полякова К.В. Тензор параллельности и абсолютные параллельные перенесения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 80—83.

5. Скрягина А.В. Вырожденные параллельные перенесения в пучках связностей на плоскостной поверхности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 83—87.

A. Vyalova

39

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

PARALLEL DISPLACEMENTS BORTOLOTTF S PLANE ALONGONE-PARAMETRICAL FAMILIES OF PLANE GENERATORS OF THE PLANE SURFACE

In n-dimensional projective space Pn the plane surface is considered as r-dimensional family Br of the plane generators Lh. Bortolottis clothing of the plane surface, consisting in adding to each generator Lh projectively supplemental plane Pn-h-i, is made. By means of exterior differentiation of covariant differential of clothing quasitensor we build the pseudotensor, under vanishing of which the displacement of the clothing plane is absolute. The existence conditions of parallel displacements of Bortolotti s plane along one-parametrical families of the plane generators are obtained.

УДК 514.7

А.И. Долгарев

(Пензенский государственный университет)

АНАЛОГ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОДУЛЯРНОГО ПРОСТРАНСТВА С РАСТРАНОМ

Рассмотрен одуль Ли преобразований одулярного 3-мерного пространства с растраном. Установлено, что он является 2-ступенно разрешимым, а также расширением растрана 1-мерным линейным пространством.

Аффинное пространство определяется в аксиоматике Г. Вейля на линейном пространстве. Линейное пространство над полем R действительных чисел является коммутативным действительным одулем Ли. Одули на произвольной алгебраической структуре введены Л.В. Сабининым в 1977 году [1]. Действительные одули на группах Ли называются одулями Ли. Определение 3-мерных одулей Ли можно найти в [2]. Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получаем вейлевское одулярное про-