CC BY
4
С. Ю. Волкова
5. Волкова С. Ю. Нормальные связности на S-распределении, ассоциированные с базисным Л-подрасслоением // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. Вып. 5.
6. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства. Калининград, 2003. Деп. в ВИНИТИ РАН, 29.09. 2003, № 1743 — В2003.
7. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. Чебоксары, 1992.
S. Volkova
DUAL NORMAL CONNECTIONS ON S-DISTRIBUTION, ASSOCIATED WITH BASIS A-SUBBUNDLE
Special class of composed three-part distributions of the projective space (S-distributions) is studied. Normal connections induced in the bundles of the 2-nd kinds normals of equipped in sense of Norden-Bortolotti for the A-subbundle of the given S-distribution are considered.
УДК 514.75
А. В. Вялова
(Калининградский государственный технический университет)
ТЕНЗОР ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ НА ТОЧЕЧНО-ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
На точечно-плоскостной поверхности в проективном пространстве построен объект, не являющийся тензором, но содержащий подтензор, названный тензором неабсолютных перенесений, или тензором параллельности. При сужении базы расслоения, ассоциирован-
27
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ного с точечно-плоскостной поверхностью, построенный объект образует тензор. При обращении этого тензора в нуль параллельные перенесения оснащающих плоскостей вдоль суженной базы расслоения являются абсолютными.
В п-мерном проективном пространстве Pn точечно-плоскостная поверхность Sh+г представляется вырожденным многообразием троек (А, Lh, Тт), причем точка A (Ае Lh с Tm) и касательная плоскость Тп (т = h+г) описывают т-мерные семейства, а образующая Lh — г-мерное семейство.
Уравнения поверхности Sh+г имеют вид [1]:
оа = о, со' = Л'о], оа=Ла.о', оа=Лаоа + Ла.С,
' а а/ ' а аг ' г га г/ '
где индексы принимают следующие значения:
а,... = 1,к; г,... = к + 1,т; а,... = т + 1,п; и,... = 1,т.
Совокупность функций Л1 = (Л"' ,Ла = Лаш,А1].} составляет фундаментальный объект 1-го порядка многообразия Sh+г.
С поверхностью Sh+г ассоциируется главное расслоение О^+г), базой которого является сама поверхность, а типовым слоем — подгруппа стационарности тройки (А, Lh, Тт). Так как базисные формы со" поверхности Sh+г удовлетворяют структурным уравнениям
БС =С ли'. (и/ =о/-А' оа), Бо" = оЬ лоа, +С лоа,
/ К / / а> Ь • '
то можно говорить о поверхности Sh+г как расслоении Lh(Bг) с базой — семейством Вг образующих Lh, рассматриваемых как элементы многообразия Грассмана Gr(h, п), и типовым слоем — семейством точек плоскости Lh. Поэтому многообразие точек фиксированной образующей Lh с Sh+r является суженной базой расслоения О^+г). Групповая связность в главном расслоении О^11+г) задается с помощью поля объекта связности Г = (Га Г Г' Га Г Г Га Га Г' }
V Ьи ' аи э ] ' ¡и ' ¡и ' аи ' аи ' ви ' аи у '
28
А. В. Вялова
Производится композиционное оснащение точечно-плоскостной поверхности, которое состоит в присоединении к каждой точке поверхности трех плоскостей [1]: 1) Ph_x: A 0 Ph_x = Lh; 2) Pm_h_, : Lh 0 Pm_h_, = Tm ; 3) Pn_m_x : Tm 0 Pn-m-1 = Pn, — проективно дополняющих, соответственно, точку до образующей, образующую до касательной плоскости и касательную плоскость до объемлющего пространства. Композиционное оснащение поверхности Sh+r определяется полем квазитензора Я = {Яи, Л", Я"а, Яа } . Квазитензор Я содержит три простейших {Яа},{Я"}, {Яа} и три простых
я , Я ь яа}, яа , Яа} подквазитензора.
Найдены ковариантные производные и ковариантные дифференциалы компонент оснащающего квазитензора Я относительно групповой связности Г. Внешние дифференциалы от компонент ковариантного дифференциала квазитензора Я имеют вид:
тяа = -УЯь л~ + МаиО W, БУЯ = УЯа л~ -УЛ. л~J + М оu л оv,
i i а j i luv '
БУЯ" = УЯЬ л - У Я". л ~j + Ма оu л соv, (1)
i i b j i luv ' v '
J I шг
ВУЛа = УЯа л~-УЛр л+ М_ ©ш л ©*,
пул: =УЛ: л©; -УЛ; л©в + Мл©*,
БУЛа =УЛ: лё; - У Л в л©: + М лё, где коэффициенты при внешних произведениях базисных форм обраЗуют объект М = {М; , МШ, , Мв* , Маш } , компоненты которого линейно выражаются через компоненты объекта кривизны Я групповой связности Г:
Ма;V = Каш, - ЛЬК1, , Мш, = + Я Каш, - ,
м;, = к;,+Як* - щ*, м:„ = К:;, + Л:К\„ - ЛвКш,
М; = Каш, + КК, - ЛвКв , М = + ^К;V - ЛвКв •
29
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Для компонент объекта М найдены сравнения по модулю базисных форм ои :
ДМ Ь - 0, ДМ.. + М Ь[ оЬ.Л +о['.] -Лаоь[..] - 0,
"Ьс ' аг/ аЬ[г / ] а[г/ ] Ь а[ ] ] '
М + МьС + (V Л-Лас )л>; + + ^]Л" - Л"] )П]ь + Лс о - оЬ) - ошЬ - о, ДМаЬ - 0, ДМ"., + Ма,, С + ЛЬо" ..] -Л"о',..] - о,
"Ьс ' г/к гЬ[ ь к ] г Ь[ /к ] ' г[ /к ] '
ДМа,. -МЬ оС + (V Л" -Л" )Лк,.ос, + (VкЛ" -Л", ЮкЬ +
гЬ/ гЬс j V с г гс ' Ьь к V к г гк ' jЬ
+ (V Л -Л" )оЬ + оаь.-оа, +Л (оЬ.-оаЬ) + Л" о -ока.) - 0,
4 Ь г ] * Ь гЬ/ г/Ь г V сЬ] с/Ь ' к V г/Ь гЬ/ ' '
ДМ... + М", о + М. Г о + Л"о - Л,ю\- 0,
г/к г/к а га [ / к ] г а [ /к ] ' г [ /к ] '
дм. . + МьоЬ -М.,оЬ + (VЛ -Ла)Ак.юЬ + (V .Л. - Л..)о +
га/ га/ Ь гаЬ / V Ь г гЬ ' а/ к х 3 " гг ' а
+ (V. Л - Л., Юк +о..-о.. +Л, (ок -ок.)-ЛЬоЬ. - 0,
V к г гк ' Ja га/ г/а к V г/а га" ' г Ь/а '
ДМ., + МсЬо - 0, ДМ Ь + Миао - 0,
гаЬ гаЬ с ' ааЬ ааЬ и '
ДМ аг/ + М "о + М ааоЬ] +ЛЛХ[Ь ] - Лв® в1у] - 0,
ДМ . -М аоЬ + Мк .о, + (VЬЛ -Л . )ЛJ о. + (V .л -Л )о +
аа г ааЬ г аа г к V Ь а аЬ ' а г / ^ г а аг ' а
+ (V .Л -Л . Ю Ь +Лв (о в -о в.) -ЛЛ оа. +Л (о -о ) - 0,
V у а а/ ' га в ага ааг ' а Ьга а V Jaг Jгa ' '
ДМ/ + Мю +Лао/]-Лров.] - 0,
ДМ ;,- М ю + (V ьла -Л, )лкУь + (V к Л -ЛА +
+ (V .Л"' - Л"' . )о +о' . +Лк (о!.-о!.) + Лв (о в -о в.) - 0,
V / а а/ ' а а/ а а V ка" к/ а ' в ^ а/ а аа." ' '
ДМ 'ьь - 0, ДМ ^С + М'аьсоЬ - 0,
дм; + М>; + м;[гоо] + Л,о,. - лео- 0,
ДМ Ь -Мало + м/ьо" + (VСЛ, - Л,С)АыоС + (Vл,-Л,)оь +
аЬг j v с а ас ' Ьг j
+^л: - л; Р ь + лв (о в, - о в)+ла («1 - о",) - 0,
где 0.гЬа =Аг)ьтьа - Аа о'а, а структурные формы дважды продолженного расслоения О^+г) имеют вид:
30
А. В. Вялова
__а л к__а , л а __а с а__ , л к__а __а с а____с а__
ю... = Л...ю, +Л...Ю -д,ю..+Л,.ю,., ю, =-о,ю -о о,.,
Ь] 01] к 01] а 0 1] Ьг к] ' Ьсг Ь сг с Ьг '
соа,. = ЛЬ со" +л.а,. соа-8аЛЬю + Л,.ю" -8Ю. ,
Ьгс тс ] Ьгс а ста т Jc о ¡с '
Юа] = а + А%°к + Кг Юк] , СаЬ = КаС а + ЛаЮ ] + Лг С ]Ь =
с а] =К]Ю а , Юа = ] а , С;а1=-Аа]аЮв-8а КЮу-^"®^
а ' в = -8 о. Л а -Л ку юв - Л а к к а Л каСв аЦ Юв ,
/ ]ак = Ла.ю' ак + Ла со'. - а к - 8'ю ,, ак
/ ]ка = Ла, со' ка -А'ыюЬ - Ьк а -А,, со° -8'ю. - Ька ка 8'ю ■ , к ]" '
г ']к! =л > аа + Ла' - Jk! а л' о" - ла ю" - "к! J ак! ] -8Юм - ~ 8 к Ю ]!
1 еда = Л' о ■ а -Л\. С , Ю Ь] а а ' а \ а „я рй „ ... = Л , ю -о, Ю гЬ] гЬ] а Ь г. , ю"ъ = Л аю " г]Ь а
Ь -
причем структурные формы однократно продолженного расслоения О^ь+г) известны [1].
Замечание. При альтернировании форм 2-го продолженного расслоения, последние два нижних индекса которых из одной серии, получим:
<., = Лк.Г. Лк ю а, с,., = Акг. Лк ю , =А". Лк С,
Ь[г]] Ь,г к]] а ' а[]] а,г к]] а ' вГ]] к,г а]] в'
Ю'-гт = —Ла г, А' с" .
][к ] ][ ^ а! ] а
Из соответствующих дифференциальных сравнений следует
Теорема. Объект М образует геометрический объект лишь с фундаментальным объектом 2-го порядка Л2 точечно-плоскостной поверхности, объектом связности Г и оснащающим квазитензором Л, причем он содержит составной подтензор М0 = (М^,М"Ьс,МшЬ,М^,МааЬ,МааЬс}, включающий три простейших {МаЬс}, (МЬ }, (М 'ааЬ } и три простых (М"аЬ, МЬс} (МааЬ, М иааЬ}, (М "аЬс} тензора.
Замечание. При сужении базы 8ь+г расслоения О(8ь+г) до фиксированной образующей Ьь объект М образует тензор.
31
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Если подтензор М 0=0, то из структурных уравнений (1) видно, что дифференциальные уравнения VЛи / ¡_ = 0,
VЛai / " = 0, VЛa / " = 0, VЛua / " = 0 вполне интегри-
г о =0 ' а о =0 ' а о=0 *
руемы и задают абсолютное параллельное перенесение композиционно оснащающих плоскостей поверхности Sh+r вдоль фиксированной плоской образующей Lh. Значит, при сужении базы расслоения О^+г) подтензор М 0 можно называть тензором неабсолютных перенесений [2], или тензором параллельности [3]. Вдоль всей поверхности Sh+r параллельные перенесения композиционно оснащающих плоскостей являются абсолютными лишь в пучке связностей 2-го типа [4].
Список литературы
1. Скрягина (Вялова) А. В. Объект кривизны на центрированной плоскостной поверхности // Докл. междунар. мат. семинара. К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию мат. факультета. Калининград, 2002. С. 152—159.
2. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
3. Полякова К. В. Тензор параллельности и абсолютные параллельные перенесения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 80—83.
4. Скрягина (Вялова) А. В. Композиционное оснащение плоскостной поверхности // Междунар. конф. по геом. и анализу. Пенза, 2003. С. 87—93.
A. Vyalova
PARALLELISM TENSOR ON THE POINT-PLANE SURFACE
On the point-plane surface in projective space the object, which is not a tensor, but consisting subtensor, called tensor of absolute displacements or parallelism tensor, is built. By narrowing of base of the bundle, associated with the point-plane surface, this object forms a tensor, making it vanish, the parallel displacements of clothing planes along narrowed base are absolute.
32
