CC BY
8
М. А. Чешкова
Список литературы
1. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. М., 1969.
2. Чешкова М. А. О листе Мёбиуса // Вестник БГПУ: Естественные науки. Барнаул, 2006. С. 83—86.
3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 2.
5. Yano K., Kon М. Structures on manifolds. Singapore: World Scientific, 1984.
M. Cheshkova ON A MOBIUS BAND IN E4
The Mobius band in Euclidean space is studied. In the process of study system computer mathematics MAPLE is used.
УДК 514.75
Ю. И. Шевченко
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
НОРМАЛЬНАЯ АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ СТОЛЯРОВА, АССОЦИИРОВАННАЯ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОСКОСТЕЙ
В проективном пространстве рассматривается распределение плоскостей. Над проективным пространством возникает ассоциированное с распределением обобщенное расслоение нормальных аффинных реперов. В этом расслоении задана аффинная связность А. В. Столярова с помощью объекта связности, состоящего из тензора связности и объекта обычной нормальной линейной связности. Получены выражения объектов кручения и кривизны нормальной аффинной связ-
157
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ности Столярова. Показано, что объекты кручения и кривизны являются тензорами, каждый из которых содержит простой и простейший подтензоры.
Выделен канонический случай, когда тензор связности равен нулю. В этом случае установлен геометрический смысл трех совокупностей компонент, образующих тензор кручения. Доказано, что каноническая нормальная аффинная связность Столярова без кручения характеризуется голономностью распределения, полувнутренней и симметрической линейной подсвязностью.
1. Отнесем п-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {А, А1} (1,... = 1,п), деривационные формулы вершин которого имеют вид:
dA= -А + ю1А1, dAI = ЭА1 + ю^А1 +ю1А.
Структурные формы ю1,юью3 проективной группы ОР(п), эффективно действующей в пространстве Рп, удовлетворяют уравнениям Картана (см., напр., [1, с. 173])
Бю1 = ю3 лю3, Бю 1 = ю3 лю3,
Бю3 =ю^ люК +юк лю(ю3к =-53юк -5К«аД В пространстве Рп рассмотрим т-распределение, т. е. п-па-раметрическое семейство 8п центрированных т-плоскостей
* -ж—г • --*
Рт . Поместим вершины А, А; (1,... = 1,т) на плоскость Рт, причем А — в ее центр, тогда уравнения распределения 8п запишем в виде:
юа = ла3ю3 (а,... = т + 1,п). (2)
Продолжим эти уравнения:
длаз-5аю; =лазкюк (лз = 0), (3)
где длаз = dлаз + л£юа - лазю/ - лакюК.
Совокупность функций л^ называется фундаментальным
объектом 1-го порядка распределения 8п. Дифференциальные уравнения (3) представим в следующем виде:
158
Ю. И. Шевченко
ЛЛ<У^ 0. АЛОз-Л^в-304 = 0, (4)
где символ = означает сравнение по модулю базисных форм ю1.
Утверждение 1. Фундаментальный объект Л^ является квазитензором [2], содержащим тензор Л^.
Структурные уравнения (11) для части базисных форм юа с учетом уравнений (2) распределения 8п дают
Бюа = юР л(ю£ -А?рю;) + Т^^ю1 лю■>, Тча =А^, ЛТ" = 0. (5)
Здесь Т* — тензор неголономности (см., напр., [3]) распределения 8п, равенство нулю которого обеспечивает голоном-ность распределения 8п.
2. Запишем структурные уравнения (5) форм юа и соответствующих им двухиндексных форм Юр в следующем виде:
Бюа=ювлюр +51 А'Ог ю1 лю;,Бюр=ю|^лю^+ю1 люр1; (6)
'Р
Юр1 =-Л II юр-5рю1 -51 юр . (7)
Гладкое многообразие со структурными уравнениями (11, 6) назовем обобщенным расслоением [4] нормальных аффинных
реперов и обозначим А^ + ь^ (Sn), так как Ь = п - т форм юа ,
которые могли бы превратиться в часть структурных форм аффинной группы ОА(Ь) = А^2 , входят в состав базисных
форм ю1. Расслоение А^+(Ь)(^п) имеет фактор-расслоение линейных реперов (Бп) [5] со структурными уравнениями
(11, 62), типовым слоем которого является линейная факторгруппа = ОЬ(Ь), дей
плоскости РЬ-1 = Рп / ртт.
группа = ОЬ(Ь), действующая неэффективно в фактор-
159
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Для задания аффинной связности А. В. Столярова [6—8] в обобщенном расслоении ^(§п) воспользуемся приемом
Ю. Г. Лумисте [9] задания связностей в главных расслоениях. Преобразуем базисно-слоевые формы юа и слоевые формы Юр с помощью линейных комбинаций базисных форм ю1:
~а „а та„1 ~а „а т^а„1 /о\
Ю = Ю — ЬЮ , Юр =юр — Гр1 Ю . (о)
Возьмем внешние дифференциалы этих форм с помощью структурных уравнений (11, 6)
Бюа = ЮРлйа +Ю1 л (аь" — Ь3 ю |) + 5! Л3 Ю1 ЛЙ1,
(9)
БЮа = Юр лю^ +Ю1 л(аГр0! — Гра3ю£ + ю|р1).
Внесем преобразованные формы (8) в первые слагаемые структурных уравнений (9)
юр лю° = юр люа + Юр лГра3ю3 + Ьрю1 люа + Ьрю1 лГра3ю3,
ю р лю^ =Ю * лю £ +Ю * лГ^ ю3 +гр1 ю1 лю £ +Гру1 ю1 лГ^ ю3.
Во вторых и третьих слагаемых вернемся к исходным формам и подставим результат в уравнения (9):
БЮа =юр лйа +ю! лАЬ? + (5!Аа3 +5рГра3 — ЬрГра3)ю1 лю3,
БЮа =Юу лЮ? +ю1 л(АГр! + юр1!) — Гру1 Г,°3ю1 лю3. (10)
Исходя из этих уравнений, применим теорему Картана — Лаптева [10] в рассматриваемом случае:
АЬ? = Ц3 ю3, АГр! + Юр^ =Гра13 ю3. (11)
Подставим эти дифференциальные уравнения в структурные уравнения (10)
БЮа =Юр лЮа + БЗй1 лю3, Бйа =Юр лЮ° + Яа13ю1 лю3, (12)
где компоненты объектов кручения и кривизны Я рЫ нормальной аффинной связности Столярова выражаются по формулам
160
Ю. И. Шевченко
са _та о1 л а I Т Р
= Ь[Ы] + 5[1ли] + 5[1г РТ] - Ь[1г рТ].
(13)
Яри =Гр[1Т] -Гр[1 ГуТ],
причем альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках.
Утверждение 2. В обобщенном расслоении нормальных аффинных реперов А^2 (йп) аффинная связность Столярова задается полем объекта Г = (Ь™, ГрХ1}, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (11), причем формы связности (8) подчиняются структурным
уравнениям (12), в которые входят объекты
кручения й ад и
кривизны Ящ, имеющие выражения (13).
Итак, нормальная аффинная связность Столярова определяется структурными уравнениями (11, 12). Дифференциальные уравнения (11) и формулы (13) дают очевидные свойства характеризующих ее объектов:
а) объект связности Г состоит из двух подобъектов: тензора
связности Ь, определяющего преобразование базисно-слоевых форм юа, и объекта обычной нормальной линейной связности Гра1 [5], образующего геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным квазитензором Ли и задающего связность в расслоении нормальных линейных реперов Ь 2 (йп);
б) объект кручения йД строится с помощью поля тензора связности Ь™, фундаментального квазитензора А^ и объекта линейной связности Гр^;
в) объект кривизны ЯрЫ определяется, как обычно, объектом линейной связности Гр^ и его пфаффовыми производными Гр^.
161
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
3. Найдем дифференциальные сравнения для объектов кручения и кривизны нормальной аффинной связности Столярова. Предварительно из очевидного равенства А5 3 = 0 в силу уравнений (2) распределения получим
А5 3 +5 а юр = 0, А5 3 = 0. (14)
С помощью сравнений (14 2) продолжим дифференциальные уравнения (11):
АЬ3 + Ьрюр3 — Ь« юК ю 0,
дра , гЬ,р т^а,- у т^а „К ла 1 = п АГ р!3 +Гр1 юу3 — Гу1 юр3 — ГрКю 13 — А113юр Ю
(15)
Проальтернируем эти сравнения по индексам !, 3 с учетом симметрий форм юК и пфаффовых производных Ащ фундаментального квазитензора АЦ:
АЬ[13] + Ь^юр3] Ю 0, АГр3 +Гр[1 ю^ — Г^юр3] ю 0. (16)
Используя (14), получим дифференциальные сравнения агрегатов, входящих в формулы (13), без учета альтернирования:
А(5! А а3 +5? Гр3 — Ьр Гра3) + 5 ^Лр^ < + (5р — Ь^)юр3 —5} 5 р ю = 0,
А(Гр:ГуР) + юр!Гур + Г£ юр3 Й 0.
Проальтернируем эти сравнения по индексам ! 3 и сложим алгебраически с соответствующими сравнениями (16) согласно формулам (13):
АБр +5р!юр3] + 5[!А13]ю; —5[:5«ю; Ю 0, АЯ^ ю 0. (17) Подставим выражения (7) форм юр! в сравнения (171):
^П — 5рю3] — 5р!5?]юр — 5р]ю1 Ю 0.
Приведем подобные слагаемые 162
Ю. И. Шевченко
ЛвЦ = 0. (18)
Из дифференциальных сравнений (17 2), (18) с учетом уравнений (2) распределения вп имеем [11]:
Лв« « 0, Лвр - в-«в « 0, Лвр - - ^<4 = 0,
ля —0, ля рУ1 - * - ш0, ля рУ8- я р15«;- я аУ1 «8 =0.
Теорема 1. На распределении вп объекты кручения врЦ и кривизны Ярц нормальной аффинной связности Столярова являются тензорами, содержащими простейшие [12]: в*,
Я ри и простые [12]: {вр-^}, {Я рц,Я ¡ру1} подтензоры.
4. Дифференциальные уравнения (112) с учетом уравнений (2) распределения вп дают
ЛГрр -Л>в -5рЮ; — 0,
. . (19)
Л1ру -1р1«у -Л1у«р -Ор«у -ОуЮр « 0.
Утверждение 3. Объект нормальной линейной связности Гр5 содержит подобъект Гр, образующий квазитензор совместно с фундаментальным тензором Л^ .
В голономном случае подобъект Г^ имеет следующую интерпретацию. Вполне интегрируемая система уравнений ш" — 0 выделяет т-мерное подсемейство вт плоскостей Рт, огибающих проходящую через точку А поверхность. Расслоение нормальных линейных реперов Ь 2 (вп) сокращается до
расслоения (вт) над базой вт с вп. Подобъект Гр*, поле
которого сужено на базу вт, задает нормальную линейную подсвязность в подрасслоении Ь 2 (в т ) .
163
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Проальтернируем сравнения (192) по индексам р, у :
АГ[ру] —г[р1<] — АТ[уЮр] ю 0,
затем представим их в виде:
АГ[ру] — мрю;+ м«юр ю 0,
где М ° = — (Гр — А"р). Из сравнений (4 2, 191) видно, что по-
2
'V
■:°ю J =
луразности М 0; удовлетворяют сравнениям
АМ0! + Т£юр Ю 0. (20)
Сравнения (42) и (191) совпадают в двух случаях: а) распределение Бп голономно, т. е. Т^ = 0; б) юр = 0, т. е. инвариантна нормаль Вагнера N—т = [А,Аа]. В этих случаях сравнения (20) приобретают тензорный вид: АМ0; = 0, поэтому
становятся инвариантными равенства М 0; = 0 или Гр = Аф.
При их выполнении в случаях а) или б) будем говорить о полувнутренней нормальной линейной связности.
5. Рассмотрим канонический случай нормальной аффинной связности Столярова, когда тензор связности Ь™ обращается в нуль: Ь™ = 0. В этом случае Юа = юа, т. е. преобразование базисно-слоевых форм юа не производится, а объект связности Столярова упрощается: Г = {0, Г^}. Дифференциальные сравнения (151) принимают тензорный вид: АЬ^ = 0, поэтому естественно полагать Ь !3 = 0. Подставим Ь ! = Ь !3 = 0 в выражение (13 1 ) компонент тензора кручения:
8а_Х1ла , я р Т^а и =5[!А13] +5[!
что в подробной записи дает: 164
Ю. И. Шевченко
Са _ Ха Са — 1ЧЛ"а Са — "Па
= АУ , = Мр!, Бру=1[ру].
Утверждение 4. Компоненты тензора кручения БР канонической нормальной аффинной связности Столярова имеют следующий смысл: 1) Б- — тензор неголономности распределения
Бп, 2) БР; — полуразность компонент подобъекта Гр объекта нормальной линейной связности Гр и подобъекта Аф фундаментального квазитензора А"3, 3) Бру — антисимметричная
часть подобъекта Грр, объекта линейной связности Гр.
Теорема 2. Каноническая нормальная аффинная связность Столярова без кручения, ассоциированная с распределением Бп, характеризуется последовательностью свойств: 1) распределение Бп голономно, 2) нормальная линейная связность
ГрР полувнутренняя (Гр = Арр), 3) линейная связность Гр симметрическая (Грр, = Грз).
Список литературы
1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275—382.
3. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара. М., 1971. Т. 3. С. 49—93.
4. Шевченко Ю. И. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1990. № 21. С. 100—105.
5. Omelyan О. М. Two structures of normal connection on the distribution of planes // New Geometry of Nature. Kazan, 2003. Vol. 3. P. 135—138.
6. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.
165
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
7. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
8. Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения. Чебоксары, 2002.
9. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. № 37. С. 179—187.
10. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.
11. Шевченко Ю. И. Тензоры кручения и кривизны нормальной аффинной связности Столярова на распределении // Тез. докл. меж-дунар. конф. «Геометрия в Одессе — 2008». Одесса, 2008 (в печати).
12. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
Yu. Shevchenko
NORMAL AFFINE STOLYAROV'S CONNECTION ASSOCIATED WITH DISTRIBUTION OF PLANES
In projective space the distribution of planes is considered. Over projective space the generalized fiber bundle of normal affine frames arises, associated with the distribution. In this fiber bundle affine Stolyarov's connection is given by means of connection object, consisting of the connection tensor and the object of usual normal linear connection. The expressions of torsion and curvature objects of normal affine Stolyarov's connection are obtained. It is shown, torsion and curvature objects are tensors, each of which contains simple and elementary subtensors.
The canonical case is allocated, when connection tensor equals zero. In this case the geometrical sense of three collections of components forming torsion tensor is established. It is proved, canonical normal affine Stolyarov's connection without torsion is characterized by holonomicity of distribution, by semi-internal and symmetric linear subconnection.
166
