ПЛОСКОСТНАЯ АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ СТОЛЯРОВА, АССОЦИИРОВАННАЯ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.А. Чешкова

M. Cheshkova

ON RIBAUCOUR TRANSFORMATION FOR CONGRUENCE OF HYPERSPHERES

A congruence of hyperspheres is studied. A function of radius is constructed so that the congruence is Ribaucour congruence.

УДК 514.75

Ю. И. Шевченко

(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)

ПЛОСКОСТНАЯ АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ СТОЛЯРОВА, АССОЦИИРОВАННАЯ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

В проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Предложен способ задания плоскостной аффинной связности Столярова, ассоциированной с распределением. Она задается полем объекта связности, состоящего из квазитензора связности и объекта плоскостной линейной связности, поэтому является обобщением линейной связности. Объект связности Столярова определяет объекты кручения и кривизны. Доказано, что эти объекты являются тензорами, каждый из которых содержит простой и простейший подтензоры. Описаны условия, когда плоскостная аффинная связность Столярова не имеет кручения или кривизны.

Отнесем ^мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, AI} (I,.. . = 1, п), деривационные формулы вершин которого имеют вид:

dA= »Л + ш1Л1, = »Л1 +ш1Л, (1)

153

Дифференциальная геометрия многообразий фигур где О — форма, играющая роль множителя пропорциональности, а структурные формы шJ,проективной группы ОР(п), эффективно действующей в пространстве Рп, удовлетворяют уравнениям Картана (см., напр., [1, с. 173])

DшI = ш- лшJ, DшI = шJ ЛШ|, (2)

I ^^ I I к I

DшJ = ш; лшк +5-шK лш + ш-Г лш .

В проективном пространстве Рп рассмотрим общее, иначе говоря, неголономное распределение т-мерных плоскостей (см., напр., [2]), которое представим как п-параметрическое

семейство 8п центрированных т-плоскостей РШ (0 < ш < п).

Замечание 1. Распределение 8п и т-поверхность, представляемая как семейство касательных плоскостей (см., напр., [3]), являются наиболее исследованными подмногообразиями многообразия Беловой [4].

Произведем разбиение значений индексов

I = {;а}: 1,... = 1,ш; а,... = ш + 1,п.

Специализируем подвижной репер {А,Л;,Аа}, помещая

вершины А, А; на плоскость РШ, причем А — в ее центр. Из деривационных формул (12) имеем

= + «шЦ + ша А а + А. (3)

Формулы (11, 3) дают уравнения стационарности центрированной плоскости РШ : шI = 0, ш" = 0. Выбирая п форм юI в качестве базисных, запишем уравнения распределения 8п в виде

ша=ЛОг ш-. (4)

Продолжая [5] уравнения (4), получим

ЛЛ- -5а®; =Л-кшК, (5)

лл-=ал- +Л-ша-л>;-л?к®к, Л—=о. (6)

154

Ю. И. Шевченко

Часть структурных уравнений (2]) для форм ю1 представим в следующем виде:

Бю1 =ю■> лю1+ю; Л0;, (7)

9' =5 . (8)

Соответствующие двухиндексные формы юЦ удовлетворяют структурным уравнениям

Бю^ =ю^ лю'к +юК лю!к, (9)

ю-к =Л"кЮ1а-51 юк-5К ю-. (10)

Определение. Гладкое многообразие со структурными уравнениями (2г, 7, 9) назовем обобщенным расслоением [6] плоскостных аффинных реперов и обозначим Лш2+^ (Рп ).

Замечание 2. В обозначении Лт2+^т](Рп) буква т заключена в квадратные скобки, так как т форм ю1, которые могли бы превратиться в часть структурных форм аффинной группы

Лт2+т = ОЛ(ш), входят в состав базисных форм ю1. Будем

называть формы ю1 базисно-слоевыми.

Замечание 3. Обобщенное расслоение Лш2+^(Рп) имеет

фактор-расслоение [7] плоскостных линейных реперов ^щ2(Рп) со структурными уравнениями (21, 9), базой которого является пространство Рп (точнее, его область), а типовым слоем — линейная группа Ьщ2 = СЬ(ш), действующая в связке прямых с центром А, принадлежащих плоскости РШ .

Для задания аффинной связности А. В. Столярова (см., напр., [8]) в обобщенном расслоении Лт2+^т](Рп) распространим на него прием Ю. Г. Лумисте [9] задания групповых связ-ностей в главных расслоениях. Преобразуем базисно-слоевые

155

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

формы ю1 и слоевые формы ю 1 с помощью линейных комбинаций базисных форм ю1

ю1 = ю1 -Cjю;, ю1 =ю1 -Г]кюк. (11)

Возьмем внешние дифференциалы этих форм с помощью структурных уравнений (2Ь 7, 9)

Dco1 =юj лю1: +юj л (dCj - CKюК +ej),

~ к ■ J К j К L j (12)

Dюj =юк люк +ю л (dTjK -Г|^юК +ю^к).

Внесем преобразованные формы (11) в первые слагаемые структурных уравнений (12)

юj лю1 = юj лю1 + Cjюj лю' + юj лГ|кюк + Cjюj лГ|КюК, юк люк = S^j люк + ГкКюК люк + юк люь + Г)кКюК лГ^юь.

Здесь во вторых и третьих слагаемых вернемся к исходным формам и подставим результат в уравнения (12)

Dco1 = юj лю1 +юj л(ACj +ej) + (5j -Cj)<aj лГ[кюк,

(13)

Da)1 = юк люк +юК л (АГ|К + ю1К)-Гккюк лГ^юL.

Исходя из этих уравнений, применим теорему Картана — Лаптева [10, с. 82, 83] в обобщенном случае, а именно зададим

поле объекта C = {Cj, Г^}

ACj +ej = jюк, Aj + ю 1к =ГjкLЮL. (14)

Подставим эти дифференциальные уравнения в структурные уравнения (13)

DEi1 = юj лю1 + Qj^«j люк, Dgo1 = юк люк + люL, (15)

где компоненты объектов кручения Qj^ и кривизны R^l

плоскостной аффинной связности Столярова выражаются по формулам

156

Ю. И. Шевченко

Q1JK = ^Ж] + (5[1 - Цк^ = П[Щ -Г][кГ1^]. (16)

Теорема 1. В обобщенном расслоении плоскостных аффинных реперов Лт2+^т](Рп) аффинная связность Столярова

задается полем объекта С = {С', Г|к}, компоненты которого

удовлетворяют дифференциальным уравнениям (14), причем формы связности (11) подчиняются структурным уравнениям (15), в которые входят объекты кручения QJK и кривизны имеющие выражения (16).

Итак, плоскостная аффинная связность Столярова определяется структурными уравнениями (2Ь 15). Дифференциальные уравнения (14) с учетом обозначений (8, 10) и формулы

(16) дают очевидные свойства характеризующих ее объектов:

а) объект связности С состоит из двух подобъектов: квазитензора связности С', задающего преобразование базисно-слоевых форм ю1, и объекта плоскостной линейной связности Г] к [7], образующего геометрический объект лишь вместе с

фундаментальным квазитензором ЛЦ и определяющего связность в расслоении плоскостных линейных реперов ^т2 (Рп ) ;

б) объект кручения Q1Jк строится с помощью поля квазитензора связности С' и объекта линейной связности Г]к;

в) объект кривизны Я]^ аффинной связности Столярова есть объект кривизны плоскостной линейной связности, который определяется объектом линейной связности Г1к и его пфаффовыми производными.

Компоненты обычного символа Кронекера 51 удовлетворяют дифференциальным уравнениям

157

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Л5 - = 0, (17)

которые проверяются непосредственно:

Л5- = ё5- +5К®К -5К®К = 0 + -ш- = 0. Из уравнений (17) имеем дифференциальные уравнения для обобщенных символов Кронекера 5-, 5"

Л5- +5 - ша= 0, Л5 - +5-ша= 0. (18)

С помощью уравнений (4) распределения 8П уравнения (182) принимают вид

Л5 "=-5-Л^К шК. (19)

С помощью обозначений (8, 10), структурных уравнений (2, 9) и дифференциальных уравнений (5, 18 ь 19) продолжим дифференциальные уравнения (14)

ЛС-к + С-ш'к + С[(5[шк +5Кш-)-5-Л^'а -5-5К®а —0, ЛГфкь + Г]Кш^ -ГкКш^ь +Г|-(5Кшь +5[шк) + + Л^Кьш'а - Ф[ + 5КЛ^ша - 0, где символ — означает сравнение по модулю базисных форм Проальтернируем эти сравнения по нижним индексам с учетом симметрий (62) пфаффовых производных Л0- кь

ЛС[Ж] + С-ш[К] -5-Ла-К]ша -5-5К]ша — 0,

; к ; ; к (20) ЛГф [КЬ] +Г[КшкЬ] -Гк[К^Ь] — 0.

Используя (14, 181), получим дифференциальные сравнения входящих в формулы (16) агрегатов

Л(5- - фГ]к] + (5[- - С[-)ш[ к] — 0,

ЛГ|к Г1ь] +ш1[к Г1ь] + Г][К ш1ь] — 0.

158

Ю. И. Шевченко

Складывая их алгебраически со сравнениями (20) согласно формулам (16) и используя в 1-й сумме выражения (10) трех-индексных форм, получим (ср. [11]):

^ж - 0, Л] - 0. (21)

Теорема 2. Объекты кручения Q 1к и кривизны пло-

скостной аффинной связности Столярова являются тензорами.

Если тензоры кручения QJк и кривизны KL обращаются в нуль, то формулы (16) дают

С1к] = (С[1 -5[1)Г] к], Гj[KL] =Г [к ГИ^]. (22)

Теорема 3. Ассоциированная с распределением 8п плоскостная аффинная связность Столярова без кручения характеризуется тем, что альтернированные пфаффовы производные компонент квазитензора связности суть альтернированные свертки произведений компонент объекта плоскостной линейной связности и разностей между квазитензором связности и соответствующим обобщенным символом Кронекера.

Замечание 4. Если тензор кручения Q1Jк обращается в нуль, то плоскостная аффинная связность Столярова вырождается в линейную связность с объектом кривизны , ассоцииро-

ванную с распределением 8п, которое оснащено специальным полем (22]) квазитензора С'. Следовательно, наличие кручения

Q1JK является существенным в обобщении линейной связности до соответствующей аффинной связности Столярова.

Теорема 4. Ассоциированная с распределением 8п плоскостная аффинная связность Столярова лишена кривизны лишь тогда, когда альтернированные пффафовы производные компонент объекта плоскостной линейной связности являются альтернированными свертками произведений компонент этого объекта.

159

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Из дифференциальных сравнений (21) с учетом уравнений (4) распределения 8п имеем (ср. [12]):

ЛQjk - 0, ЛQjx- Qjkю1- 0, ЛQixp- Qipю1 - QljЮJp - 0,

ЛЯ' к, - 0, ЛЯ' кх - Я' к,юХ - 0, ЛЯ'хр - Я]крюХ - Я'хкюк - 0.

Теорема 5. Тензоры кручения QJK и кривизны Я]^ аффинной связности Столярова, ассоциированной с распределением 8п, содержат простейшие [13]: Qj к, Я1 м и простые

[13]: Ю] к^ а}, {Я*к,,Я-кх} подтензоры.

Список литературы

1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.

2. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара. М., 1971. Т. 3. С. 49—93.

3. Полякова К. В. Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Фундам. и прикл. матем. 2008. Т. 14, № 2. С. 129—177.

4. Белова О. О. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей // Там же. С. 29—67.

5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275—382.

6. Шевченко Ю. И. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1990. № 21. С. 100—105.

7. Омельян О. М., Шевченко Ю. И. Редукции объекта центропро-ективной связности и тензора аффинного кручения на распределении плоскостей // Мат. заметки. 2008. Т. 84, вып. 1. С. 99—107.

8. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии/ ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

160

Ю. И. Шевченко

9. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. № 37. С. 179—187.

10. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М. и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.

11. Шевченко Ю. И. Аффинная связность Столярова на распределении плоскостей в проективном пространстве // Тез. докл. между-нар. конф. «Геометрия в Астрахани — 2007». Астрахань, 2007. С. 65—67.

12. Шевченко Ю. И. Кручение плоскостной аффинной связности Столярова и оснащение Вагнера // Совр. пробл. диф. геом. и общей алгебры. Саратов, 2008. С. 97—99.

13. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

Yu. Shevchenko

PLANE AFFINE STOLYAROV'S CONNECTION ASSOCIATED WITH A DISTRIBUTION

In projective space the plane distribution is considered. The way of the giving of the plane affine Stolyarov's connection, associated with distribution is offered. It is set by field of connection object consisting of connection quasitensor and plane linear connection object. Therefore it is generalization of linear connection. Stolyarov's connection object defines torsion and curvature objects. It is proved, that these objects are tensors, each of which contains simple and elementary subtensors. Conditions are described when the plane affine Stolyarov's connection is torsion-free or curvature-free.

161