ОБЪЕКТ КРИВИЗНЫ ГРУППОВОЙ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ КАРТАНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

1

(Q • R(X,Y) )(A,B) = Q(R(X,Y)A,B),

2

(Q• R(X, Y) )(A,B) = Q(A,R(X,Y)B).

Список литературы

Монахова О.А. Вертикальные лифты тензорных полей типа (1,1) // Движения в обобщенных пространствах. Пенза, 2000.

O. Monakhova

HORIZONTAL LIFT OF LINEAR CONNECTION ON THE BUNDLE OF THE TENSORS OF THE TYPE (0,2)

On the bundle of the tensors of the type (0,2) horizontal lift of linear connection is got.

УДК 514.76

О.М. Омельян

(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)

ОБЪЕКТ КРИВИЗНЫ ГРУППОВОЙ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ КАРТАНА

Рассмотрено каноническое пространство проективной связности Картана со структурными уравнениями, которые обобщают соответствующие уравнения пространства аффинной связности. В пространстве проективной связности исследуется распределение плоскостей. Это распределение порождает ряд подтензоров

92

О.М. Омельян

тензора кручения-кривизны. Показано, что объект кривизны групповой связности в главном расслоении, ассоциированном с распределением плоскостей, является тензором лишь в совокупности с некоторым тензором, при обращении которого в нуль объект кривизны самостоятельно образует тензор.

1. Тензор кручения-кривизны пространства Рп,п и его подтензоры. Рассмотрим пространство проективной связности Картана Рп,п со структурными уравнениями [1; 2], которые обобщают соответствующие уравнения проективного пространства

Бю( = ю5 л ю, + В^ю5 л юк, Бю, =юк люК +8'юк люк + ю, лю( + И юК лю1, Бю( =ю[ лю, + И1Ж ю5 люк (1ДК,... = 1,п ),

причем компоненты объекта кручения-кривизны И = И ,кь, И пк} пространства Рп,п антисимметричны по двум последним нижним индексам:

^(,К) = 0, И ,(КЬ) = 0, И 1(Ж) = 0 (2)

Пространство проективной связности Картана Рп,п без кручения-кривизны (И = 0) локально является п-мерным проективным пространством Рп. Найдем общий вид дифференциальных сравнений на компоненты объекта И, исходя из структурных уравнений (1). Продифференцируем их внешним образом:

ДБ5к лю5 люк = 0, □Илюк лю1 = 0, ™пклю5 л юк = 0; (3)

□И,кь-ДЭТ,кьюм -^кью,, ™(^-ДЭТж +И,к®Ь, (4)

где символ «=» означает сравнение по модулю базисных форм ю(, а дифференциальный оператор Д действует следующим образом:

ДИ( = ( +Им га( ( гам( гам(

ДИ ПП = ил Т1ТТ + И ТЪТТ И тмт Ит

,гат

-жь^м мкь , *"-,мьшк

93

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Разрешим кубичные уравнения (3) по лемме Лаптева

Алйк = юк л ПЭТ лш1 = wL л ©

□ЭТ1Ж лшк =шк л©Пк, (5)

причем выполняются условия

©1к лю1 лшк = 0, ©^ лшк лfflL = 0, ©11к лш1 лшк = 0. (6)

Для их выполнения достаточно симметрии форм © *к, © ©пк по двум нижним индексам

©[Ж] = 0, ©1[кь] = 0, ©1[1к] = 0. (7)

В уравнениях (5) соберем члены в левых частях, вынесем базисные формы, разрешим полученные квадратичные уравнения по лемме Картана и запишем результат в виде сравнений

А81к + ©1к - 0, ПЭТ ^ +©^ - 0, ПЭТ Пк +©Пк - 0. (8)

В силу условий (2) выражения (4) антисимметричны по двум индексам, поэтому естественно предполагать такими же формы

© ж, © т, ©ик с точностью до базисных форм, т. е.

©1) - 0, ©V) - 0, ©цж) - 0. (9)

Условия (7) и (9) согласуются лишь в каноническом случае: © 1к = 0, ©1^ = 0, ©пк = 0, в котором сравнения (8) принимают простейший вид: А81к - 0, ПЭТ - 0, ПЭТ1Ж-0. Пользуясь выражениями (4), получим [2]

А81к - 0, АЭТ ^ юм --0, АЭТж +ЭТ^ЮL - 0. (10)

Утверждение. В каноническом случае объект проективного кручения-кривизны ЭТ образует тензор, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям (10). Тензор ЭТ содержит простой подтензор аффинного кручения-кривизны ЭТ А =

1 эт [2] и простейший подтензор

кручения 8 ={$1к}. 94

О.М. Омельян

В пространстве Pn,n будем рассматривать распределение m-плоскостей NSn:

rof (1,j,k = 1,m ;a,b,c = m + 1,n); (11)

ÄAfj -ôfroi =Л^ , ÄЛaJк + A^JK - Л^ + Л^ГО- + Ла-roK + Л^ГО1 = О, Äлabк - AfjKroi + ЛCbГОaк - Л%ГОК + лaкГОb + ^k - ôbroiK = О; тогда из структурных уравнений (1) имеем Dro1 = roj А го' + ГОа А Год + S'j,roj А rok + 2S'aroj А roa + S'b ГОа А rob , Droa = rob а rof + (Aa + Sa)ro' А roj + (Aab + 2Sab)ro' АГОь + Sfcrob А roc, Dro' = rok А roi + rok А roL + ГОа А ГО1. + ^ L rok А ГО1 +2^ L rok А ГОа +

Uj =roj Arok +ГО Arojk +ГО А ro ja +Vl jkl ro АГО jka

a

roa А ro

+Я1 -a • -b

jab

Dfflj = œk л rok + roj л ro^ + roa л ro1a ¡jk roj a шк +2^ 1ja œj a ша +

iab ®a ЛШЬ , (13)

Drob = ®b лгоа +ГО1 лгоЬ1 +roc Arobc ^ ro1 AroJ +2^bic ro1 л+

bcd roc Arod ,

Dro'a =roa Л roi +rob Л rob +rok Aro^ + ^ roj Arok +2^ 1jb roj Arob + abc rob лгос ,

Droa = ro'a A roi + rob A rob + ^ a1j ro1 A roj +2^ a1b ro1 л rob +

abc rob Aroc ,

где трехиндексные формы выражаются по формулам

ro1 к = Л kroa "51 rok -5кroj , ro1 a =Ab arob "81 roa , го£; = "Äj ^ "ö^ ,

(14)

robc =-Л1сгоЬ -8broc -бС rob > roak =-бк roa > ro1j = , ro1a = rob •

Сравнения (10) на компоненты объекта кручения-кривизны объемлющего пространства Pn,n, в котором задано распределение NSn, принимают вид

95

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

as; k + sak®a - 0, as; a + s>b - sjk«k - 0,

AS^b + SÇb®Ç - S>i + s; a® - 0, (15)

Asa- o, Asab - sa шь - о, Asbc - sa0шb+sab®c - o;

a „k

(16)

|аи ak-sjk®, - o, ли ab -и ak ®k - s>, - o;

|АЯabcac®b +иab®C -Sbc®i -0;

Аи ; ki +и jki-sj(sm®m+ski®a) -ski®j - 0,

i ka +И bka ®b i kl -5i;(Ska®i + SL®b) - Ska®j - 0, (17)

ли ; ab +И Cab ®C -и ikb ®k +И i ka ®k - sj (S^,®k + SÇb®c) - S^b ®j - 0; ри jjk +И jjk ®i +И ak ®a - 0, АИ jj a -И jk ®k +И ka ®k +И ba ®b - 0, 1_ли jab -и jjb +И jja +и jab ®j+И Ç, ®c - 0; (18)

Аи bij -и ^ ®k - sb (Sk®k + SÇ ®c ) - sa ®b - 0,

■a ,J a i xa/oj „ , cd.

ли bic -и a,c ®b -и bij ®C -sb(sic®j + Sdc®d) - S>b - 0, (19)

лиbcd-иjÇd®b-иbid®C +иbic®d -Sj(Skb®k + S>J-S>j -0;

ли ak +и bk ®b -и ijk ®1 - Sjk®a - 0,

-ли a b +и Cjb ®c -и k b ®k -и a k ®k - s; b«a - 0,

ли àbC +и dbc ®d -и,ьс ®a -и j ®b +и ab ®c - s>a - 0;

Аи aj k -и ijk ®1 +и 'k ®i +и bjk ®b - 0,

-ли aj b -и kjb ®k -и aj k ®k +и j ®k +и j ®c - 0, (21)

ли abc -и ;bç ®j -и ajç ®b +и ajb ®Ç +и ^ +и dbç ®d - 0.

Уравнения (13) являются структурными уравнениями главного расслоения G(NSn), ассоциированного с распределением NSn, причем базой этого расслоения является само распределение, а типовым слоем — подгруппа стационарности GcGP(n) центрированной плоскости Pm в соответствующем слое. В этом расслоении выделяется 4 фактор-расслоения (ср. [3]). Из сравнений (15—21) следует

96

О.М. Омельян

Теорема 1. Тензор кручения-кривизны и в пространстве проективной связности Картана, в котором задано распределение NSn, содержит ряд подтензоров: 1 простейший под-тензор кручения {S1} и несколько простых подтензоров, из

которых отметим следующие: S1={Sa,S1ab}, S2= {Sa,S^,S1jk,S1ja},

S3= {S1, S^}, {S, и ak, и ab ,и ?Ьс }, {S, и ak, и ab , и L, ^ jkl ,И j ka , И jab }, {s, И 1k, И 1b , И 1bc , И bjj , И bic , И bcd }, {s, И 1k, и 1b, И L, и jk,, и j ka, и j ab, и bjj, и bic, и bcd, и 1k, и 1b, И 1bc }, {s, и 1k, и 1b , и abc , и jk,, и j ka , и jab , и j , и jja , и ^ }, {s3, и 1k,

Ж^, Ж V,, Ж V , ЖI-, ЖI- , Ж..,,, Ж . , Ж .. , Ж }.

уЬ ' ' ^ка ' Ьу ' Ь1С ? ук ' уа ' а^ ' аоЬ >

Замечание 1. Компоненты Жак, Ж аь ,Ж ?Ьс подтензора ЖA, удовлетворяющие дифференциальным сравнениям (16), не входят в структурные уравнения (13), но входят в сравнения (17—21).

2. Объект кривизны связности в главном расслоении, ассоциированном с распределением. Определим способом Лаптева групповую связность в ассоциированном расслоении G(NSn) с помощью формы й = ю-Г1ю1 -Гаюа, где ю = {ю1,ю1;юЬ,юа,юа}.

Дифференциальные уравнения на компоненты объекта связности Г имеют вид

ДГк +й1к =Г|к1Ш1 +Г1кайа, АГ;а -Г]кйк +ю1а =Г^йк + Г^йЬ; (22)

АГ^ +ГкЮк +Й1 = Г кйк + Г, айа, ДЦа - Го юа + Г>; +Ю1а =Га ю] +Г1аьЮЬ; (23) ДГьа1 + < = ГЬ>]+ГЬ>С, ДГЬС-ГЬ юС +юЬс = ГЬС ю1 +ГЬСХ; (24) ^ -Гк юк +ГаЬюЬ +ю'а = Га кюк +гао ЬюЬ ,

^ab Г «b rj ьш1 + rab шо = Г abj» + rabc» '

+ Г « j + г1Ь ®Ь - = Г^ «j + ГлЮь,

ATab -Г*»b + Г1ь«j +Г1Ь»c - Г1Ь«11 = Г1ЫЮ + rabc»c-

(25)

(26)

Из сравнений (22—26) вытекает

Теорема 2. Объект групповой связности Г в главном расслоении 0(№п) содержит ряд подобъектов: 2 простейших объ-

97

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

(27)

екта (г|к}, {Г,*}, которые являются подобъектами касательной и

нормальной линейных подсвязностей, а также 7 простых объектов: {Г|к, Г|а) — объект касательной линейной связности, {Г|к, Ц }

— объект центропроективной подсвязности, {г]к, г|а, Г, Га} — объект центропроективной связности, (Г*,ГЬс} — объект нормальной линейной связности, {Г]к, Ц*, Ц} — объект линейно-групповой подсвязности, {Г|к, Г|а, Г*, Гьас, Ц, ГаЬ} — объект линейно-групповой связности и {Г|к,Г,Г*,Г1,Г} — объект групповой подсвязности.

Компоненты объекта кривизны Я групповой связности Г выражаются по формулам

^п1 —г' _гтг' —Г' — г'л- Я-?1 — г' ла

^Ы — 1 ^[к-'-тГ] 1 1 .)а°к1 + ]И ^^[И],

^ка = ^к* - Гj1kГ11a - ГjlSka - ^Ъ^и + ^ jka - ^Ь'^к* ,

Т? 1 - Г1 - Г1 "Г1 - Г1 Ч1 - Г1 ЧЪ 4- 1

1г*1 Л ^^к 1 jЪSak jak '

I?1 -Г1 -Гк Г1 -Г1 Чк -Г1 Чс 1 '

— 1 ^[*Ъ] ГкЪ] ^к^ 1 jcSaЪ jab '

г —ук = ГЩк] - Г'[]Г11] - Г11^к - Г1aSjk + ^ у! - Г1a^[jk]'

= г] - 1 Гka - Г1kSja - Г1ЪSja + ^ у* - Г1Ъ^Ъa '

Кг)* — Г1aГkj Г1к^а1 — ЦЪ^Ъ '

I? -Г -ГкГ -гч] -г чс •

^кЪ 11^] 1 1[* 1 кЪ] Мс^ Л'

V.

— _1Ъ[1]] -1Ъ[1 ГсП 1 ЪkS1j 1 Ъс^у + Ъ1j 1 Ъс^[1)] '

5 ^ _ _ I Я? ^ — Г* Л1

-Ъ1с 1 Ъ1с 1Ъ'1 <1с 1 Ъ]°1с гм°1с + Ъ1с гм•'Чо

КЫс - 1 Ъсг " 1 Ъс1 (11 - 1 Ърс' " 1 М^с1 + ^ Ъс1 , (29)

и * _ _ рГ _ р*^1 _ г* , ЯЗ * •

-Ъс(1 1 Ъ[сё] 1 Ъ[сг й ] 1Ъ1°с1 1ЪГ°с1 + Ъс(1 з

I? 1 - Г1 - Г1 Г1 - ГЪ Г1 - Г1 Ч1 - Г1 ЧЪ 4- 1 - г1 ЛЪ

— a[jk] 1 1С] 1 Ък] ^^к ^Ъ^к ajk ^Ъ-^ук]'

т?' — г' _гкг' _рср' _г' _Г^с , ГО 1 _Г1Лс

-е]Ъ — г1] Г 1 кЪ ГГсЪ ^^Ъ ^с^Ъ ^ *]Ъ 1 *с^]Ъ ' -*Ъс — ГЕ1[Ъс] - Г*[Ъ^с] - Гa[ЪГdc] - Цд^Ъс - Цк^Ъс + ^ *Ъс •

(28)

(30)

98

О.М. Омельян

Raij : = 1a[ij]

Raib = 1 - 1 aib

Rabi =1 1 abi

Rabc = 1 = 1 a[bc]

Гк Г _ГЬГ -F Qk_F Qb J- Ж -F ЛЬ La[i1kj] 1a[i1bj] 1ak°ij 1ab°ij + aij 1 abA[ij] '

"jF _FcF _F Qj _F Qc -1- Ж — F Ac

ai1 jb 1 ai1 cb 1 ajSib 1 acSib + aib 1 acAib '

- j j - o, (31)

-J 1-rl 1 -Г -Si- -Г St + Ж .. ,

ab ji ab ci aj bi ac bi abi'

R — F _F^F -Fd Г -Г -Г Sd 4- Ж

^ Rabc 1 a[bc] 1a[b1ic] 1a[b1dc] xaiSbc 1 adSbc abc '

Введем в рассмотрение объект M = {M^} , компоненты которого выражаются по формуле

M^KL =Ж Ikl + Aaj[KL] - A^S^ - AabSKb.

Используя сравнения (16) для объекта кривизны Ж, дифференциальные сравнения (121, 15) для компонент объекта кручения и фундаментального объекта 1-го порядка, а также сравнения для его альтернированных пфаффовых производных

AAa] - 0, AAa[kb] - Aa Ш]юЬ - 0, AAa - Aa, ^ЮЬ - Aa, №]®k - 0,

j [kl] - 0, AVj[kb] Aj [И]шЬ - 0, AVj [bc] Aj[kc]wb Aj[bk]wc

lak1,Makb,Mabc,

получим, что компоненты объекта M = {Makl,Makb,Mabc,} удов-

летворяют следующим сравнениям:

ДМаи - 0, дыакЬ - маи«Ь - 0, дмаЬс - макс®к + Макь®к - 0. (32)

Таким образом, объект М является тензором.

Согласно формулам (27), используя дифференциальные сравнения для пфаффовых производных объекта {Г|к, Г'а}, а именно Г ,

ДГда -Г>*1 +Г]к®;1 -Г>к + (Лак, +А1ьлЬк1)Юа +

+л1кю!,1 -8кю л-81юк1- 0,

Д^ка -ГЛк1®а -Г>' а +Гк< -Г^юка + (ЛЬка +ЛЬ „А^К --8кюл а -8}юка - 0

ДГЛак -Г}1кЮа -Г1>Л к +Г]а®1к -Г>!* -Г}ЬюЬк +ЛЬакЮЬ + А аЮЬк - 0,

чДГ]аЬ - Г]кЬюк - ГлакЮЬ - ГкаЮ ^ + ГЛаЮкЬ - ^'о^Ь + А°аЬЮ0 - 0

учитывая сравнения (22) для компонент {Г|к, Г'а} и пользуясь

сравнениями (15—17) с учетом равенств (21, 22) для компонент соответствующего объекта кривизны, получим

99

<

(33)

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Aj + Makl®a - 0; (34)

arika-crjki - те - ад - r^sbi - rjb<+и +

+(И bka +Abka-SkaA i -Ska^К +

+ (2rjk©a + 2r;a© +r^a-Cr^Ab a +raAbk)®b -gkAba®b) - 0; (35)

ARjak -(rj lk -rj l rimk - rj mSlk -^bSlk - rj bAlk + И jlk)®a +

+(и bak +Abak-Sik Abl-SCk Ab J© +

+ (2rjk®a + 2rja © +rka ©j - Ab a + rj1Abk)®b -5k Aba©b) - 0; (36) Arjab + M>c -C и jkb -rjlskb -rjcskb)©k -c и jak -rjcSCk)®! -

-rjk[b®kl - rj[ak©k] -rjc®[ab] +rjk®karlb] + rjla©цШ - 0 (37)

Введем обозначение

^а* — 2 О] ^^ — —'[к*] —

= ^^к*] Г1[кГ]а] ^к* ^Ъ^* +^jka"1 ^А^, где « [ ] » — обобщенное альтернирование, когда действие производится не над одним объектом, а берется полуразность двух разных объектов, тогда из сравнений (35—37) получаем

Д] - + MЬka®1ъ - 0, ДR1laЪ - К'кЪ®1 + -'к*®к + MCaъюC - 0. (38) Проводя аналогичные действия, мы находим сравнения для остальных компонент объекта - — :

Д-1]а + а®1 + М* к®* - 0, Д-у * - ®к + -к*®а + МЪ *®ъ - 0

ДRlaЬ - -1] Ъ® + -1^®] + -1] *®Ъ + Мъ®с - 0, Д-Ъ1] - Мк] ®Ъ - 0,

Д-Ъгс - -Ъ]1®с - М>ъ - 0, Д-Ъс( - -К1®с + -Ъ1с®1( - М*с(®Ъ - 0,

Д-*а + -Ъ а®Ъ--1]а®* -0, ^ъ + -^--Га ъ®ка®Ъ -0, (39)

^Ас + ^с®! -^Ъс®* --1Чс®Ъ + -1ЧЪ®с - 0, Д-*1] ®а + ®а + ®ъ - 0,

Д-*1Ъ 'Ъ®* + -11Ъ®] + -Л®с 1®Ъ - 0

Д-*Ъс + RaЪc®i + -((Ъс®1 -^Ъс®! --а1с®1Ъ + ^Ъ®1: - 0-

100

О.М. Омельян

Сравнения (34, 38—39) позволяют сформулировать следующие результаты:

Теорема 3. Объект кривизны Я связности Г в главном расслоении, ассоциированном с распределением плоскостей в каноническом пространстве проективной связности Картана, образует тензор лишь в совокупности с тензором М.

Следствие. Объект кривизны Я связности Г самостоятельно образует тензор лишь в случае обращения тензора М в нуль.

Назовем тензор маж антисимметричным по индексам I и К тензором нетензорности объекта кривизны Я групповой связности в главном расслоении 0(К8п) в пространстве проективной связности Картана Рп,п.

Замечание 2. Наши результаты отличаются от результатов Г.Ф. Лаптева и Н.М. Остиану, которые проводили исследование в другом аналитическом аппарате. В работе [4] утверждается, что объект кривизны Я = {Я'^} = 0,т ; К,Ь = 1,п ),

компоненты которого вычислялись по формуле Я'кь = Г^], в общем случае является тензором.

Список литературы

1. Cartan E. Leçons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937.

2. Шевченко Ю.И. Тензор аффинного кручения-кривизны проективной связности Картана // Тр. междунар. конф. Якоби. Калининград, 2005.

3. Омельян О.М. Нетензорность объекта кривизны групповой связности на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 74—78.

4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.

101

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

O. Omelyan

THE OBJECT OF CURVATURE OF GROUP CONNECTION ON THE DISTRIBUTION OF PLANES IN A SPACE OF PROJECTIVE CARTAN'S CONNECTION

The canonical space of a projective Cartan's connection with the structural equations which generalize appropriate equations of a space of affine connection is considered. In space of a projective connection the distribution of planes is investigated. This distribution generates series of subtensors of torsion-curvature's tensor. It is shown, that the object of curvature of group connection in a principal bundle associated with distribution of planes is a tensor only in aggregate with some tensor, making it vanish, the object of curvature independently forms a tensor.

УДК 514.76

В.И. Паньженский

(Пензенский государственный педагогический университет)

НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ЛАГРАНЖИАНЫ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЛАГРАНЖИАНОВ

Вводится понятие естественной последовательности лагранжианов лагранжева пространства Ь = (М, Ь) и стабильного лагранжиана. Получены необходимые условия стабильности лагранжиана и установлено, что среди однородных лагранжианов стабильными являются финслеров лагранжиан, степень однородности которого равна 2, и лагранжиан однородный степени -1.

1. Финслерова геометрия — это геометрия невырожденного лагранжиана Г(х, у) , однородного второй степени по коор-

102