CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
УДК 514.75
О. М. Омельян
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
О КРИВИЗНЕ 1-го ТИПА, ИНДУЦИРОВАННОЙ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Построена кривизна 1-го типа групповой связности 1-го типа, индуцированной композиционным оснащением распределения плоскостей.
В работе индексы принимают следующие значения:
I,... = 1,п; 1,... = 1,т; а,... = т + 1,п.
1. В п-мерном проективном пространстве Рп продолжим
исследование распределения №п [1, 2] т-мерных центриро-
*
ванных плоскостей Pm, которое определяется уравнениями
< ю причем компоненты фундаментального объекта 1-го порядка распределения удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм юI:
АА^ -5aю; - 0; АА^ = dЛaJ -Л^ю/ -ЛaкюK + Л^юЬ.
Ранее было произведено [3; 4] композиционное оснащение распределения №п, состоящее в задании на нем аналогов плоскостей Картана и нормалей 2-го рода Нордена
Сп-т-1 : Рт © Сп-т-1 = Рп, Кт-1 : А 0 Кт-1 = Рт ,
110
О. М. Омельян
причем оснащающие плоскости определены совокупностями точек
Ba=Aa+ А!аЛ1+ XaA, Bi=Ai+ X¡A.
Объект X={ X1a, Xa, Xi} является оснащающим квазитензором, содержащим 3 подквазитензора X1a, { X1a, Xa} и Xi. Выражения для дифференциалов точек Ba и Bi имеют вид:
dBa=(^)bBb+taj ®J Bi+(tai -X it'ai) юЧ,
dBi=(...)i Bj+^j +5aXi)raJBa + tiJюJ A,
где компоненты тензора t = {t1aJ,taI,tiJ} неспециальных смещений [3] являются функциями от фундаментального объекта 1-го порядка Л1 = {J распределения NSn, оснащающего квазитензора X и совокупности его пфаффовых производных X'= {XiaJ, XaI, XiJ}, т. е. t = t(Л1, X, X'). Тензор t содержит ряд простейших, простых и составных подтензоров, причем равенство нулю тензора t геометрически означает неподвижность пары плоскостей (Cn-m-1,Pn-1).
2. С распределением NSn ассоциируется [2] главное расслоение G(NSn), базой которого служит само распределение, а типовым слоем — подгруппа стационарности G
*
центрированной плоскости Pm. В этом расслоении способом Г. Ф. Лаптева [4] задана групповая связность с помощью формы ю = ю_Гкюк, причем ю = {юiJ,Si,юЬ,ю!,i»a}. Компоненты объекта связности Г = {Гк, Г^, Г-, ria, Г»,, ГЬС,raj,rab,rai,rab} удовлетворяют дифференциальным уравнениям [2], в частности:
111
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ArJ'k + rajk =rjkiга1, -TJ1k^ +ш'а =Г^а1 и1,
АГУ +rii ®k +raij =riJJ^ Aria -rijraa +riaj +raia =riaJraJ, (1)
ira ^a ra J ,ra i-a^i . ^a га I Arbi +®bi =rbiJ ® , Arbc -rbi rac +га bc =rbcI•
Объект групповой связности Г содержит ряд подобъектов
[2]. Компоненты объекта кривизны R = {Rj^Rj^Rj^,...}
групповой связности Г выражаются [2] через компоненты объекта Г и их пфаффовы производные, например:
pi — pi pi Л a Ps pi pi _r^i yk T-.i
R jkl = Г j[kl] - Г ja A[kl] - Г j[kГ sl], R jab = Г j[ab] - Г j[aГ kb],
1 (2)
Rika = 2(rika-rjak-rjb Aka)^
причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках, поэтому Rj(kl) = 0, Rj(ab) = 0.
Объект кривизны R связности Г является тензором и содержит ряд подтензоров, соответствующих подобъектам объекта связности Г.
3. В работе [3] было доказано, что распределение NSn и
его композиционное оснащение индуцируют в расслоении
01
G(NSn) групповую связность 1-го типа Г с компонентами, определяемыми, в частности, по формулам
0 . ■ ■ -1
rjk =Aajk^а k -5k^j, Гij = Л^a i^j,
(3)
0 ■
Гы =-Aai 4 -5 b ^i.
Построим кривизну 1-го типа, порожденную групповой связностью 1 -го типа, т. е. получим охваты компонент тензора 01 01 кривизны R объектом групповой связности Г. Из выражений
112
О. М. Омельян
(2), определяющих компоненты тензора кривизны Я, видно, что для этого сначала нужно найти охваты пфаффовых производных объекта Г. Используя дифференциальные уравнения (1), выражения (3) и аналогичные им для компонент объекта
01
связности Г, найдем, что его пфаффовы производные охватываются следующим образом:
0; ь . ...
1 = (Л1и + Л1 Лк1)^а + Л1 ^а1 -5 ^ к1 -5 к ^ ^
0
1 = (Л1ка + Л1ЛСка + ^к^'ьа - 5^ка - 5кХ1а , (4)
о ^ ^
ГJ1ak = Л]ак ^Ь + Л]а ^Ьк -5 ак 1к ^а - ^ак^ 1) + ^'ак ^ 1 + ^'а ^ 1к>
о . . . к к
Г1аЬ =ЛСаЬ^'с + ЛсаЧсЬ аЬ кЬ^а -^аЬ^к) + ^'аЬ^ 1 + ^ 1Ь'---
Возвращаясь к формулам (2), задающим тензор кривизны Я, видим, что для получения выражений охватов компонент
01
тензора Я необходимо:
1) найти альтернации соответствующих пфаффовых производных (4), учитывая симметрии компонент Лаж фундаментального объекта 2-го порядка Л2 = {Л1, Лаж } распределения по двум последним индексам;
2) вычислить свертки соответствующих компонент объек-
01
та Г и Л , а также найти альтернированные произведения со-
01
ответствующих компонент объекта связности Г .
Таким образом, выражения охватов для компонент тензора
01
кривизны Я имеют следующий вид:
113
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
о. а . . . о а а к а
Я1к1 =Ла[к^а1] -5^[к1] -5[к*11], ЯЬа'1 =-Лк[^Ь1] -5Ь*[11],
о . .
Я1аЬ ^^а^Ь] -5'^[аЬ] - ^[а^Ь] - ^аЬ]^к) + ^аЬ]^ 1 + ^[а11Ь]> (5) о .
ЯЬса =-Л.[с^Ьа] -5ь(1[са] -) ^[с1^]'-.
Выражения охватов для остальных компонент тензора кривизны определяются по формулам, аналогичным (5), но имеют более громоздкий вид. Итак, мы построили кривизну
о1
1-го типа Я , индуцированную композиционным оснащением распределения №п.
4. Из формул (5) видно, что в выражения охватов компо-
о1
нент тензора кривизны Я входят компоненты тензора 1 неспециальных смещений. Сформулируем несколько предложений, характеризующих обращение в нуль подтензоров тензора 1.
Предложение 1. Ограничение смещений нормали 2-го рода Нордена Nm-1 в гиперплоскости Бортолотти Рп-1 = Сп-т-1 © Nm-1 (^ = о) дает упрощение выражений
о1
компонент тензора кривизны Я, например:
о . а . о . с . . к ;
Я1к1 =Л 1[к1а1]' Я1аЬ =Л 1[а*сЬ] -51(1[аЬ] - ;[аЬ]^к) + *[аЬ]^ 1 =
о а а к о . .
ЯЬ;1 =-Лк[11Ь1], ЯЬса =-Л1[с1Ьа]-5Ь(1[са]^и])-5[с1Ьа]=...
Предложение 2. Ограничение смещений плоскости Кар-тана до нормали 1-го рода Нордена = Сп-т-1 © А
(;а, = о) вызывает упрощение выражений компонент тензо-
о1
ра кривизны Я, в частности: 114
О. М. Омельян
о о
Яу --5ь*[Ш' ЯЬса--5Ь('м]^[с'ы^-8[е*М]>-Предложение 3. Ограничение смещений плоскости Кар-тана в гиперплоскости Бортолотти (1;а1 - X^ - 0) вызыва-
01
ет упрощение выражений компонент тензора кривизны Я, в частности:
0 [ ^ . .к [ [ Я]аЬ ^^а^сЬ] +5^[а'кЬ] + г[аЬ]Хj + Х[а^Ь],
о
ЯЬса --Л1[с'Ьа] ьХ[с'м] — ^[с'Ьа]'•••
Предложение 4. Ограничение смещений плоскости Кар-тана в нормали 1-го рода Нордена и нормали 2-го рода Нор-
дена в гиперплоскости Бортолотти ("и - 0, "а; - 0) влечет
01
упрощение выражений компонент тензора кривизны Я, например:
0 [ 0 [ . 0 0
- 0, ^аЬ -—51'[ аЬ ], ^Ъу - 0, ЯЬс4 --8 Ь'[са] ^[С^],-
Предложение 5. Неподвижность плоскости Картана - 0, "а1 - 0) вызывает упрощение выражений компонент
01
тензора кривизны Я, в частности:
0 1 1 1 0 1 ■ к
--51"[к1] ^к^], ^аЬ --51Х[а'кЬ] + jЬ] V
Теорема. Неподвижность плоскости Картана и гиперплоскости Бортолотти ("=0) влечет обращение в нуль тензора
01
кривизны 1-го типа Я - 0.
115
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Замечание. В работе [5] введены обобщенные тождества
01
jkl, Rijk }
0 i 01
Риччи для компонент объекта кривизны {R/kl, Rijk } цетропро-
ективной подсвязности {Г'.к , Г.} и показано, что они выполняются в случае голономного распределения или при выполнении условий t !j = 0, tai = 0, характеризующих специальные поля плоскостей Картана.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.
2. Омельян О. М. Нетензорность объекта кривизны групповой связности на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во КГУ, 2002. № 33. С. 74—78.
3. Омельян О. М. Четыре индуцированных связности на распределении плоскостей // Межд. конф. по геом. и анализу. Пенза, 2003. С. 63—69.
4. Омельян О. М. Пучки связностей 1-го и 2-го типов, индуцированные композиционным оснащением распределения плоскостей // Движения в обобщенных пространствах. Пенза, 2005. С. 94—101.
5. Омельян О. М. Об обобщенных тождествах Риччи для центро-проективной кривизны 1-го типа на распределении // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2007. Т. 36. С. 65—67.
O. Omelyan
ABOUT CURVATURE OF THE 1-ST TYPE INDUCED ON THE DISTRIBUTION OF PLANES IN THE PROJECTIVE SPACE
In many-dimensional projective space the distribution of planes is considered. The curvature of the 1-st type of group connection of the 1-st type, induced by the composite clothing of distribution of planes is constructed.
116
