CC BY
27
О связностях на семействе центрированных плоскостей у—^ -^
УДК 514.75
А. В. Кулешов
О СОВПАДЕНИИ И ИНТЕРПРЕТАЦИИ СВЯЗНОСТЕЙ, ИНДУЦИРОВАННЫХ НА СЕМЕЙСТВЕ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Исследуется семейство центрированных плоскостей в проективном пространстве. Показано, что композиционное оснащение семейства, состоящее в задании полей аналогов плоскостей Картана и нормалей 2-го рода Нордена, индуцирует шесть пучков групповых связностей, в каждом из которых выделяется по одной связности. Найдены условия совпадения связностей и дана их геометрическая характеристика при помощи параллельных перенесений.
Family of centered planes in projective space is investigated. It is shown that composite clothing of this family induces 6 bunches of group connections. In each of this bunches one connection is allocated. Their conditions of coinciding are found. Geometric interpretation each of them is done.
Ключевые слова: проективное пространство, семейство центрированных плоскостей, связность, композиционное оснащение.
Keywords: projective space, family of centered planes, connection, composite clothing.
1. Семейство центрированных плоскостей
Индексы в работе принимают следующие значения:
I, J, K = 1, n, a,b,c = 1, ш, а, в, Y = ш +1, n, i, j,k = 1, r. Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, AI} с инфинитезимальными перемещениями
dA = в A + oIAI, dAI = 6AI + ojAJ + olA. (1)
Структурные уравнения Pn запишем в виде [4]
DoI = оJ л oJ, D&K = ®K л ®j + оj л оJ + °K л , DoI = oK л oK, (2)
где raI,raI,raJ — структурные формы проективной группы GP(n).
В пространстве Pn рассмотрим ш-мерную (1 ^ш < n) центрированную плоскость Lm = (Lm, C). Специализируем репер {A, Aa, Aa}, поместив вершину А в центр С плоскости Lm, Aa — на плоскость Lm . Систе-
Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 10. С. 112—118.
ма уравнений r-мерного многообразия Br (1 ^r < m(n - m) + n) центрированных плоскостей Lm в параметрической форме имеет виц [1]
юя = Ляe1, œa = Л ?8', ааа - Л^1, (3)
гце формы Пфаффа e1 являются структурными формами r-мерного гладкого многообразия Vr — пространства параметров, а совокупность
функций Л = {Л, Л, Лаа1} образует тензор, содержащий три поцтензо-
ра Л™, (Л", Л\}, (Л", Л™ }, и называется фундаментальным тензором
1-го порядка многообразия Br. Компоненты тензора Л удовлетворяют
дифференциальным уравнениям ( Л[- ] = 0, Ла [- ] = 0 ),
для +л>я = Л|е-, ДЛ" = л* e>, АЛа1 -ЛаЮй -л—.
С многообразием Br ассоциируется главное расслоение Gs (Br ), базой которого является многообразие Br, а с типовым слоем — s-членная подгруппа стационарности Gs ( s - n(n +1) - m(n - m)) плоскости Lm . Число s равно количеству форм юЬ , Ю^ , Ю^, гаЯ , юа .
Групповую связность в главном расслоении Gs (Br ) задают формы
~я_„я raai ~а _ а рага ~я _ я ря ni
ЮЬ -ЮЬ -1bie , roß-roß-1ßie , Юа-Юа-1 а1е , (4)
~я -юя -raie1, ~а -roa-raie1.
Компонентах объекта групповой связности Г1 - (ГЯ, rß, ГЯ, Гя1, Га1} удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
ДГЬ1 +юаы - ГьЯ-e-, АГя1 +гЬ1Юь +Юя1 - г—-, дгра +Ю« - га--e-,
дгя -г>а +г£юЯ +юа1 - ГЯ-ej, АГа1 +г>я +га roß -Гя1 юЯ - r-ej,
где < = Л>Я-8ь(ЛХ+Л>с)-ЛН/ = л>а/
®p¿ = -Л>р-5а (Л1Юу+Л«Юй) -Л™ Юр, < =-Лаюа.
Вццно, что объект Г содержит два простейших и два простых подобъ-екта: 1) ГЯ — объект плоскостной линейной связности; 2) Г^ — объект
нормальной линейной связности; 3) (ГЯ, Гй} — объект центропроек-тивной связности; 4) (Г^, Г^, Гй} — объект аффинно-групповой связности. Компоненты объекта кривизны групповой связности
R = (Rbij , R^ij , Кд , Raij, Raij } выражаются по формулам
т^a _т 1 a _т 1 с т 1 a т->а _ ра _ ру ра -na _ рй _ pb рй _ рР рa
Rbij = Г b[ij] - Г b[iГ cj], Rpij = Г p[ij] - xp[iГ Yj], ^ij = Г а[у] - Г bj] - Г а[ii Pj], , ,, и а (6)
7? — F —Tb F 7? — Г — Va Г — Гв Г 1Kaij ~ 1 a[ij] 1 a[ix bj]' 1хау ~ 1 а[ij] 1 ар1 aj] 1 а[^ Pj]'
причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках.
Продолжая уравнения (5), имеем уравнения на продолжения компонент Г, используя которые, найдем дифференциальные сравнения
для компонент объекта кривизны R1 групповой связности 1-го порядка:
AR^j - 0, AR;tj - 0, ar; - ri] »a+R% «a - 0, (7)
&Ra] + Rbmpb - 0, ARai] + К^(»a + R>„ - RaX - 0,
где символ « = » означает сравнение по модулю базисных форм 6i.
Таким образом, объект кривизны R образует тензор, содержащий
четыре подтензора Raij, {R^, Raij}, R^/, {Rbj, Rpij, Raj}, которые являются тензорами кривизны подсвязностей, задаваемых соответственно
<a f"pa -pa Pi, {i bi, 1 pi,
подобъектами , Г, rai}, Гй, К, Г", Г"}
2. Композиционное оснащение и индуцированные связности
Определение 1. Композиционным оснащением [4] семейства Вг называется присоединение к каждой плоскости Ьт :
1) (п - т - 1)-плоскости Сп_т_1, не имеющей общих точек с плоскостью 1т (аналог плоскости Картана);
2) (т - 1) -плоскости Ыт_ 1, лежащей в плоскости Ът и не проходящей через ее центр А (аналог нормали 2-го рода Нордена).
Оснащающие плоскости Сп-т_17 Ыт_1 определим точками
Ва = Л* +Хй*Аа + Х*А, Ва = Аа + ХаА. (8)
Дифференцируя эти равенства, запишем систему уравнений, обеспечивающих инвариантность оснащающих плоскостей:
ЛГа+<=С0*, ЛХ*+Х>й +Юа=^ , ЛХа + Й = Х^ . (9)
Таким образом, композиционное оснащение задается полем квазитензора X = (Xй, Xй*, X*} на базе Вг.
Композиционное оснащение определяет нормализацию 1-го рода — поле плоскостей Ып_т = Сп_т_ 1 © А, порожденных плоскостями Картана Сп-т-1, а оснащение Бортолотти — поле гиперплоскостей Рп_ 1 = Сп_т_1 © Ыт_1, натянутых на плоскости Сп_т_1 и нормали 2-го рода Ыт _1.
Вводя формы связности (4) в уравнения (9), получим
УХ й = у*х йб*, УХ* = УАае*, ух* = У4х*е*, (10)
где в левых частях стоят ковариантные дифференциалах компонент X относительно групповой связности Г :
УХй = _ХЬ5Й + й, ух* = < +)^аь _Хйр55а , УХ* = йХ* _ хй* +хйА + га*,
а в правых перед базисными формами — ковариантные производные
У1Хя = Хя1 + ХЬГы -Гя1' У1Х0 = Х0 -Гя'
У1Ха = Ха + ХрГ0 "^йаГя! "Гса-
Эти ковариантные производные удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям:
ДУ;Хя - 0, ДУХ - 0, ДУ;Ха + У/ХяаЮ" - 0.
Совокупность ковариантных производных {У;Хя, У;Хяа, У;Ха} компонент оснащающего квазитензора Х образует тензор, содержащий три подтензора У;Х " , УХ , {У;Х"а , У;Ха } .
Теорема 1. Композиционное оснащение многообразия Вг позволяет задать в ассоциированном расслоении Св (Вг) шесть многопараметрических пучков связностей, в каждом из которых выделяется по одной связности [2]. Доказательство. Компоненты объекта Г могут подчиняться
1(А,В) 1 А В А В
Га1 = Га1(Г" , Га!' Га1, Гя1 ) = Га1 Хя " Га 1 ^р - Гя1 Ха + ГЬ1 ХаХя "
- АР;ХЯрХ!аХя + Л"Х"Ха + АР;ХЯаХр - ЛвХаЦр,
га = -гяХЬа +ГаР Хяр+ЛвыХярХьа +ЛвХ аХяр -ЛяХа, (12)
1
гя; = ГХ - л>а " МЬХЬХя + лахях а,
где А, В, С = 1, 2; Мя = лвХяр - Ля — тензор; цр = ХярХя -Хр.
Обращая ковариантные производные (11) в нуль, получим новые возможные соотношения на компоненты объекта Г :
2 2 2(С) 2 С С
Гя = Ха/ +Х'рГ<р1 -ХаГЫ, Гя1 = Хя1 +ХЬГяИ, Га = Га1 (Гя1) = Х0 + ХрГр -Ха Гя1. (13)
Комбинируя полученные формулы, получаем шесть пучков: ш 1 1 1(1,1) 211 2 1 1(2,1) Г = { ГЬ1 , Гр 1 , Га1 , Гя1 , Га1 }, Г = { ГЬ1 , Гр 1 , Га1 , Гя1 , Га1 },
212 2 1 2(1) 121 1 2 1(1,2)
У _ (т^я та Т^я Т"1 Т"1 1 т-1 _ Г т_|я т^а т_,я т-' т-' \
Г = {Г ы , Гр1,Г а , Гя1,Г а }, Г ={Г ы , Гр1,Г а/, Гя1, Г а },
221 2 2 1(2,2) 222 2 2 2(2)
•р _г уя у а т_,я т-1 т-1 1 у _ \ т_|я та т^я Т"1 Т"1 1
Г = { Г ы , Гр1 , Г ой , Г я; , Г а; }, Г = { Г Ь1 , Гр1 , Г ой , Г я; , Г а; }.
Охваты компонент Г^ и Гр/ имеют вид [1]
Г =ЛЫ1Хяа-ёЫЛ Ха+ М (8ЬХС +8яЯы), г0 =-Ла1Хяр-ЛаХр+5а(МяХя -ЛУХУ). (14)
Подставляя охваты (14) в соотношения (12, 13), мы тем самым выделяем из каждого пучка по одной связности:
0111 0 0 01 01 01(1,1) 0211 0 0 02 01 01(2,1)
у _ г т^я та т^я т-1 т-1 \ 'р _ \ т_|я та т^я т-1 т-1 \
Г = { Г Ы , Гр1 , Г ой , Гя1 , Г а; }, Г = { Г ы , Гр1 , Г ой , Г я1 , Г ой },
0212 0 0 02 01 02(1) 0121 0 0 01 02 01(1,2) -'й Y^a р у i у
- Pi '1 ai '1 ai ' 1 ai J' 1 - { Lbi ' r pi
y _j pa ya T^a y y i y _ tт^а T^a T^a y y i
1 - l1 bi '1 Pi '1 ai '1 ai ' 1 ai J' 1 - l1 bi '1 pi '1 ai '1 ai ' 1 ai J'
022i 0 0 02 02 01(2,2) Q222 0 0 02 02 02(2) y _j т^а ya T~a y y i y _ tт^а pa рй y y i
r - l rbi ' rpi ' r ai ' rai ' r ai J' Г - l rbi ' Г pi ' Г ai ' r ai ' Г ai J-0111 0222
Замечание. Типы Г и Г ранее рассматривались в работе [1]. Шесть пучков связностей для случая распределения центрированных плоскостей приведены в работе [3].
3. Условия совпадения индуцированных связностей
Дифференциалы базисных точек оснащающих плоскостей
dBa = 9Ba + (...)£Вр + +{tai -X)э'А, (15)
dBa =6ВЙ + (...)ъаВъ + t™ 0;Ва+ t^Q'A,
где
^i = Xai + ХаЛ - ХрХаЛЫ - ХаХрЛв ' tai = Xai - Ла - Л;XpXa / Ci = Ki + XаЛ? , (16)
tai = Xai -ЛЪХЪХa + CiH-a . Из выражения (16) с учетом системы уравнений (9) и уравнений на Л = {Ла, Л?, ла} получаем, что величинах tai, t ai, ta, tai удовлетворяют следующим сравнениям:
AtOi - 0, Atai + t>a - 0, Ata - 0, Atd - 0. Заметим, что для tai = t ai -X atai выполняется сравнение Aiai - 0. Таким образом, совокупность величин t = {t^, t ai, ta, tai} является тензором, содержащим четыре подтензора: {t ai}, {t^, t ai}, {ta}, {tai}.
Выясним геометрический смысл обращения в нуль тензора t и его подтензоров. Из выражения (15) следует, что при выполнении условия:
1) tai = 0 плоскость Картана Cn-m -1 смещается в нормали 1-го рода
Nn-m ( dCn-m-1 с Nn-m );
2) tai = 0, tai = 0 плоскость Картана Cn-m-1 неподвижна;
3) t™= 0 смещение нормали 2-го рода Nm-1 в плоскости Lm;
4) tai = 0 смещение нормали 2-го рода Нордена Nm-1 осуществляется в гиперплоскости Бортолотти Pn-1;
5) iai = 0 плоскость Картана смещается в гиперплоскости Бортолотти;
6) f™= 0, tai = 0 нормаль 2-го рода Нордена неподвижна;
7) t = 0 плоскости Cn-m-1 и Nm-1 неподвижны, что влечет неподвижность гиперплоскости Бортолотти.
Условия 1, 2, 4, 5 позволяют составить таблицу 1.
Таблица 1
Совпадение связностей разных типов
Г 0111 0211 0212 0121 0221
0211 dCn-m-1 с Nn-m —
0212 Cn-m-1 - const dCn-m-1 c Pn-1 —
0121 dNm-1 c Pn-1 dCn-m-1 c Nn-m' dNm-1 c Pn-1 Cn-m-1 - const, dNm-1 c Pn-1 —
0221 dCn-m-1 c Nn-m' dNm-1 c Pn-1 dNm-1 c Pn-1 dCn-m-1 c Pn-1, dNm-1 c Pn-1 dCn-m-1 c Nn-m —
0222 Cn-m-1 - const, dNm-1 c Pn-1 dCn-m-1 c Pn-1, dNm-1 c Pn-1 dNm-1 c Pn-1 Cn-m-1 - const dCn-m-1 c Pn-1
Составим таблицу 2, которая дает классификацию индуцированных связностей по обращению в нуль подтензоров тензора ковариант-ных производных компонент этого квазитензора.
Таблица 2
Ковариантные производные компонент оснащающего квазитензора X относительно групповых связностей каждого типа
Г vX VA a Vi^a
0111 ta■ La i t . ai tai
0211 0 tai tai
0212 0 tai 0
0121 t a■ la i 0 tai
0221 0 0 tai
0222 0 0 0
Теорема 2. Каждая из шести индуцированных связностей имеет следующую геометрическую интерпретацию, представленную в таблице 3 при помощи параллельных перенесений оснащающих плоскостей.
Таблица 3
Геометрическая интерпретация индуцированных связностей
Г Cn-m-1 Nm-1
0111 Cn_m_1 — const dNm-1 c Pn-1
0211 dCn-m-1 c Pn-1 dNm-1 c Pn-1
0212 dCn-m-1 c Pn dNm-1 c Pn-1
0121 Cn-m-1 - const dNm-1 c Pn
0221 dCn-m-1 c Pn-1 dNm-1 c Pn
0222 dCn-m-1 c Pn dNm-1 c Pn
Список литературы
1. Бондаренко Е. В. Связности на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве / / Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во КГУ, 2000. Вып. 31. С. 12-16.
2. Кулешов А. В. Шесть типов индуцированной групповой связности на семействе центрированных плоскостей / / Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009. Вып. 40. С. 72 - 84.
3. Омельян О. М. Классификация пучков связностей, индуцированных композиционным оснащением распределения плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2006. Вып. 37. С. 119 — 127.
4. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград: Изд-во КГУ, 2000.
Об авторе
А. В. Кулешов — асп., РГУ им. И. Канта, e-mil: [email protected].
Author
A. V. Kuleshov — PhD student, IKSUR, e-mil: [email protected].
