CC BY
5
О.М. Омельян
УДК 514.75
О.М. Омельян
(Калининградский государственный университет)
ПОНЯТИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И НЕРАСПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ
В проективном пространстве Рп рассматривается него-лономная поверхность или распределение плоскостей №п. Продемонстрировано два способа задания связности в расслоениях над разными базами - Pn и №п, приводящие к так называемым нераспределенной линейной связности и распределенной линейной связности. Дифференциальные уравнения объектов этих связностей отличаются, поэтому найдены инвариантные условия их совпадения. Показано, что объект кривизны распределенной связности в расслоении линейных реперов, принадлежащих плоскостям распределения, теряет тензорность и антисимметрию. Эту антисимметрию можно восстановить с помощью обобщенного альтернирования.
Проективное пространство Pn отнесем к подвижному реперу {А,А^ (УД = 1,п) с деривационными формулами
dA = 8Л + ю1А1; dAI =8^ + га1А (1)
и структурными уравнениями проективной группы GP(n)
Бю1 = = ю^ лю-,, Бю^ = ю-, ла1 лю^ + 8^юк люк. (2)
Рассмотрим неголономную поверхность N8^ или распределение 1-го рода [1; 2] т-мерных плоскостей Рm, т.е. через каждую точку пространства Pn проведем плоскость Рт. Получится п-мерное семейство NSn центрированных т-плоскостей Р*. Осуществим разбиение значений ин-
декса I = (1,а) следующим образом: у,к = 1,т ; а,Ь,с = т + 1,п. Произведем специализацию репера Я, помещая вершины А и А1 в соответствующую плоскость Р^, причем А - в ее центр. Уравнения распределения №п в таком репере нулевого порядка имеют вид:
= Л-, ю\ (3)
103
Дифференциальная геометрия многообразий фигур Продолжая уравнения (3), найдем
АЛ?, -5?ю, =Л!Кюк (Л^] = 0).
Подробнее:
АЛ1=Л>к, АЛ?Ь-Л>Ь -5Ью, =Л;ькЮк, (4)
где Л?к =Л?К +Л?ЬЛЬК. Дифференциальный оператор А действует
обычным образом: АЛ? = аЛ? +ЛЬю? -Л*кюк -Лачю^
Над базой Рп со структурными уравнениями (2!) построено [3; 4] главное расслоение С(РМ). типовым слоем которого является подгруппа стационарности СГСР(п) центрированной плоскости
Р* = {А,Рт}, где А Рп|. Расслоение С(РМ) содержит главное подрас-слоение ЦРп) с типовым слоем - линейной фактор-группой L = вЬ(ш) группы в.
Запишем выражение для внешнего дифференциала форм
5'=ю1]-31] кюк, (5)
с помощью которых способом Лаптева [5,6] определяется объект так называемой нераспределенной линейной связности соответствующий базе Рп со структурными формами ю1:
Бю1 =юк лю; + юк л(АЗ1^ + ю!к)3^юк люь; (6)
А3* к = аЗ1 к + зккюк -Зккюк -31 ьюК, ю1 к =Л? кю'а -51 юк -5КЮ]. Из уравнений (6) следует, что компоненты объекта нераспределенной линейной связности удовлетворяют уравнениям
АЗ' к +ю1 к =31 кХ. (7)
Запишем их в подробном виде:
А31 к +ю1к = (3^ + 3^^, А31? -31 кюк +ю1 а = 3^. (8)
Рассмотрим вместо базы Рп расслоения Ь(Рп) распределение №п, которое является базой той же размерности. В результате имеем главное расслоение Ь(№п) с тем же типовым слоем. В этом расслоении зададим способом Лаптева объект так называемой распределенной связности Г = { Г^к, который определим с помощью формы ю с компонентами
104
О.М. Омельян
~ 1 1 т—а k f—'i a й =Ю1 "rjkro "rjaro •
Выражение для внешнего дифференциала форм й', задающих распределенную связность, имеет вид
Ш1 = Йk AS k +йк л (ATjk +й1к) +йа Л (ATja -I>k +й1а) --^'аЛ>к Лй1 -r^bAbkaSk Лйа -ГкГкй ЛйК -Га^й ЛйК
Из уравнений (9) видно, что компоненты объекта распределенной связности в силу теоремы Картана-Лаптева [5; 6] удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
АГк +й'к = Г'ий1 +Г1кайа, АГ1а -Г1кйк + й'а = Г1акйк + Г>\ (10)
Сопоставление уравнений (81) и (101) позволяет произвести отождествление
Г1 = З1 Г1 = З1 + 31 Ла Г1 = 31 + 31 Ab (11)
Г j к--yj к'Г И--yj kl + 3j аЛИ'Г j ка = 3j ка + 3j ЬЛка , (11)
а из уравнений (82) и (102) имеем
Г1 = З1 Г1 = З1 Г1 = З1 Г1 = 31 (12)
^а 3ja' xjk 3jk ^ак 3jak'1 jab 3 jab• (12)
Таким образом, дифференциальные уравнения (8,10) показывают, что объект нераспределенной связности 31к={31к, совпадает с
объектом распределенной связности { Г|к, Г|а}, если выполняются
условия (11; 12).
Продифференцируем уравнения (7) внешним образом. В результате получим сравнения на компоненты объекта З1^ :
А3кь -Зккй1 + 3кКйкь + 3йК +Зкй +
+Л»а: +AjK йaL -8KйjL = 0'
где ffljK = Л"||:о>(|.oV , =-51Jcoa. Учитывая действие оператора Г, положим в сравнении (13) K = k, L = l, тогда
J=Tf1 fj1 s fji J t~1 J fjs 1 Cj1 s f{S i I d3jk1 - 3sk й - 3jЛйk - ^Ый1 + ^ий - 3skй + ^кй +
+ 3>k +31кй1 + Ajd< + Ajk<1 -8Ий j1 = 0
Преобразуя это с помощью оператора Г и используя уравнения неголономного распределения NSn (3), получим
105
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
А31 и -31кюд +З'кю'31 +31 1юк +31 кю1 +Л? и< +Л? кю?1 -5>] 1 - (14) Aналогично, придавая значения индексам K = a, Ь = к; К = к, Ь = а; К = а, Ь = Ь, найдем
А3!ка -31к1ю? -31кю1 а + 3>1а + 3 аюк + кю а +ЛЬкаюЬ - 5И ^ а = 0 (15) А3 ак -31Лкю'а -3>'к + 3' ?ю1и + 3* а<юк + + Л.ЬакюЬ + ^ аюЬк - (16)
А31 аЬ -31 ак®Ь 3ка®1ъ + 3>Иь + 3>а + 31 а®Ь + ЛаЬ®'с - (17)
Продифференцировав уравнения (10) для объекта распределенной связности, получаем, что компоненты объекта { Г-и, Г-ка, Г1^, Г-аЬ} удовлетворяют сравнениям:
АГ1^ -Глю", +Г]!кю1Е1 -Г|8юк1 + (Л? И, + Л?ЬЛьиК +дакюа1 -5к-51 юы - 0, (18) АГка -Г>а -Г>1 а + Г>1а -Г?1юИ, + (Л^ + ЛЬ Д^К -5'^ . -51 юиа - 0, (19) АГ1ак - Г]11кю1а - Г>1 к + Г1аю1и - Г^ - + ЛЬ аиюЬ + ЛЬ?юЬ, - 0, (20)
АГ1аЬ -Г1кЬюк -Г1акюк -ГкаюкЬ +Гкаю1кЬ ^Хь + ЛС аЬюС - 0 (21)
где юЬ, = -Л>Ь -5Ью, -5аюь.
Проверим инвариантность условий (11; 12). Для этого введем в рассмотрение объект М с компонентами
М1 и =Г к1 - 31 И - 31 аЛк1, М1 аЬ = Г аЬ - 31 аЬ, М1 ка =Г ка - 31 ка - 31 ЬЛка, М1 ак = Г ак - 31 ак.
Найдем дифференциальные сравнения для компонент (22) этого объекта, используя дифференциальные сравнения (4; 8; 14 - 21) и
учитывая, что Г'к = 3*к,Г*а = 31 а. Они имеют следующий вид:
АМ1 И1 - 0, АМ1 ка - М1 X - 0,
АМ1 ак -М1 1кю! - 0, АМ1 аЬ -М1 аиюЬ -М1 X - 0.
Из сравнений (23) видно, что объект М является тензором, а значит условия (11; 12) инвариантны. Таким образом, имеет место
Теорема 1. Инвариантные условия (11; 12) являются условиями совпадения объекта нераспределенной линейной связности 3!к = (3^, 3^}
с объектом распределенной линейной связности {Г^, Г*а}.
106
О.М. Омельян
Сопоставляя дифференциальные сравнения (14; 15) для пфаффовых производных компонент объекта нераспределенной линейной
подсвязности З'к с соответствующими сравнениями (18; 19) в случае распределенной подсвязности Г'к, видим, что они существенно
отличаются. Значит, имеет место
Теорема 2. В силу инвариантности условий (11) в общем случае, когда Л^ Ф 0, справедливы неравенства Г'и Ф Г|ка Ф 3'^. Введем величины
Т' —Г' + Г' Т ' - +3'
Lj ka — 1 j ka +1 j ak, L j ka— 3jka + 3jak,
которые удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям:
AL'j ka - 2Cq(H)»a +r^l®'(ka) +ri'(k®a) ^(k®la) (ka)®'b + aS'k®b) -
JL'jka 2(3j (kl)® a +3l(k® a) -31 (k®la) -3J a®k -3jk®a ^(ka)1® +81сЛЬ a®b) = 0,
где симметрирование выполняется по двум крайним индексам. Эти сравнения обосновывают в общем случае следующие неравенства:
j Ф-Tak, 3' ka Ф-3' Л. (24)
Вернемся к выражению (6) для внешнего дифференциала форм го', задающих объект нераспределенной связности. Учитывая уравнения (7), соберем слагаемые при произведении базисных форм юк люТ . С учетом того, что индексы K, L принимают значения одной серии, внешние дифференциалы (6) запишем в виде
Dro' — ®k лсо'к +WjKLюК люТ; (25)
ЭТ' KL — 3 [KL] -3j[K 3kL], (26)
где альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках. Из (26) видно, что компоненты объекта кривизны ЭТ'^
нераспределенной линейной связности 3'к антисимметричны по
двум последним индексам, т.е. ЭТ'^ — Дифференциальные
сравнения для компонент объекта ЭТ'^ имеют вид АЭТ'^ = 0. Учи-
107
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
тывая действие оператора Д и расписывая значения индексов К и Ь на две серии, получим:
дет'и - о, дет'ка - ет'Х - о, дет' ак - ет' Х - о,
аЬ -ЭТ' X -ЭТ;ак®Ь - 0. Из сравнений (27) видно, что объект кривизны ЭТ = ЭТ'ка, ЭТ'ак, нераспределенной линейной связности является тензором, содержащим один простейший подтензор и два простых {ЭТ'^,ЭТ'и},{ЭТ'ак,подтензора, причем последние фактически совпадают.
Замечание. Если в сравнении (272) поменять местами индексы к и а, то не получится сравнение (273), но результаты альтернирования сравнений (272) и (273) по этим индексам разных серий совпадают.
Выражение (9) для внешнего дифференциала форм й', задающих распределенную связность, с учетом дифференциальных уравнений (10) и значений, которые принимает индекс К, имеет следующий вид:
Бй' = йк лйк + йк лГ^цй1 + йк лГ^й1 + йа лГ-лйк +
+ йа лГ|аьйЬ -Г^цй Лй1 -Г^ьЛЬка йк лй - Г^П йк Лй1 -
-Щйк лйа -ВДй лйк -Г^Г^ьйа лйь.
Приведем в этом выражении подобные слагаемые, учитывая, что если пара последних индексов принимает значения одной серии, то ставится знак альтернации,
Бй; = йк лй + я;ийк лй1 + я'кайк лйа + я'лйа лйк + Я'аЬйа лйь; (28) ЯИ = Г [к1] - Г аЛ[к1] -Г [кГз1], Яаь = Г [аь] - ГЯаГкь], (291)
Я ка = Г'ка -Г*ьЛ'ка -ГкГ1а, Я ак = Г/ак -Г|аГ1к. (292)
Из формул (291) видно, что компоненты объекта кривизны и Я^ антисимметричны по двум последним индексам, в то время как из формул (292) следует, что компоненты объекта кривизны Я^ и Я^ не являются антисимметричными. Таким образом, объект кри-
108
О.М. Омельян
(30)
визны распределенной связности теряет антисимметрию по двум последним индексам. Дифференциальные уравнения для компонент
объекта Я = {Я1]к1,К1]ка,К1]ак,К1]аЬ} имеют вид [4]
дя' к, - -5'8ла^] -5'8лаьА^К -55 А^ - о,
^ ка - (Г1к1 + Г.]ЬАИ -Г51 Г/к)ю1а —Г|1Юка -Г1кю1 а -Г1аю1 к +
+ (АЬка + АЬ ХаК - (51 АЬка + 5^АЬ а)® - 0, (30)
ДЯ1 ак - (ГР + ^Лиъ - Г/1Г£к )ю1 - Г]1«ак - Г1кЮ 1 а - Г1аЮ 1 к -
-Г]ь®Ьк + АЬ акЮЬ -5кАЬ аЮЬ - 0, ДЯ1аЬ + (Г)к[а + ГЬАк[а -ГсАк[а - Г]кГ1[а - ГЯак + ГЯаГ1к)юк] — 0
При сопоставлении уравнений (27) и (30) мы видим, что дифференциальные сравнения для компонент объектов ЭТ и Я принципиально различны. Заметим, что при рассмотрении голономного распределения только сравнения (30!) принимают тензорный вид ДЯ1^ - 0, а
все остальные сравнения (30) остаются неизменными.
Вернемся к выражению (28) для внешнего дифференциала форм
В этом выражении можно привести подобные слагаемые, если
ввести знак обобщенного альтернирования " [ ] ", когда действие производится не над одним объектом, а берется полуразность двух разных объектов. С учетом соотношений (24; 292) имеем
Я1ка = Я1[ка] = "^(Я1ка - Я1ак) = ~ (Г]ка - Г]ЬАка - Г]кГ1а - ^ак + Г]аГ1к) =
— Г- - Г1 Г1 -1 Г1 АЬ
= Г[ка] Г][кГ 1а] Г ]ЬАка .
Таким образом, структурные уравнения (28) упрощаются:
Ою! = юЬ люк + ^и1® лю1 + Я^Ь®1 люЬ + а®к лЮа,
причем дифференциальные сравнения на компоненты Я 1 имеют следующий вид:
ДЩы - -Г?1Ю^] + АЬ с А^ы юЬ -51 Ака ®Ь + Гь®Ьь - 0. (31)
Из сравнений (31) видно, что подобъект { Я^Я^} в отличие от
подобъекта { ЭТ1^, ЭТ^} не является тензором.
109
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Вывод. Задание связности способом Лаптева в расслоениях с одним типовым слоем над разными базами одинаковой размерности приводит к двум разным связностям - распределенной и нераспределенной. Если объекты этих связностей еще можно отождествить, то их объекты кривизны существенно отличаются. Объект кривизны распределенной связности теряет тензорный характер и антисимметрию по двум последним индексам.
Список литературы
1. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С. 71 - 120.
2. Шевченко Ю.И. Две проективные связности на неголономной поверхности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып. 30. C. 102 - 112.
3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2002. 112 с.
4. Омельян О.М. Нетензорность объекта кривизны групповой связности на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 74 - 78.
5. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5 - 247.
6. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139 - 189.
O. Omelyan
THE NOTIONS OF DISTRIBUTED AND NON- DISTRIBUTED CONNECTIONS
In the projective space Pn non-holonomic surface or distribution of planes NSn is considered. It is displayed two methods of assignment of the connection in the bundles over different bases - Pn and NSn, leading to so called the non-distributed linear connection and to so called the distributed linear connection. Differential equations of these connections objects are distinguished, therefor the invariant conditions of their coincidence are found. It is shown, that the curvature object of the distributed connection in the bundle of linear frames, belonging to planes of the distributor loses tensority and antisymmetry. This antisymmetry we may restore by means of generalized alternation.
Работа поддержана грантом Минобразования РФ (СПб КЦФЕ), дипломный проект. М03-2.1Д-94.
110
