CC BY
5
О. М. Омельян
УДК 514.75
О. М. Омельян
(Российский государственный университет им. И. Канта)
КРУЧЕНИЕ АФФИННО-ГРУППОВОЙ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В многомерном проективном пространстве рассматривается распределение плоскостей. С ним ассоциировано главное расслоение, в котором задана групповая связность, включающая аффинно-групповую подсвязность. Введен объект кручения аффинно-груп-повой связности. Показано, что объект кручения является тензором и содержит ряд подтензоров.
Отнесем проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, AI} (I, J, K = 1, п ) с деривационными формулами
dA = 9A + га^, dAI =9AI + га'А., + га^ (1)
и структурными уравнениями проективной группы GP(n)
DгaI = га'1 лга', DгaI = гаJ лга., (2)
DюJ = гаК лгаК + 5'гак лгак + га, лга1.
В пространстве Рп будем рассматривать распределение [1; 2] т-мерных плоскостей Рт, т. е. через каждую точку пространства Рп проведем плоскость Рт . Осуществим разбиение значений индекса I = (1, а) следующим образом: 1, к = 1,т; а, Ь, с = т + 1,п . Произведем специализацию репера Я, помещая вершины А и А1 в образующую плоскость
107
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Pm, причем А — в ее центр. Уравнения распределения NSn в репере нулевого порядка имеют вид:
< =Лу юJ, (3)
где компоненты фундаментального объекта 1-го порядка удовлетворяют следующим сравнениям по модулю базисных форм юI:
АЛ* - 0, AAaib -A>b -5b®i - 0, (4)
причем дифференциальный оператор А действует следующим образом:
AA®j = dA^+Л^юЬ-Aakюk -A>k.
Над распределением NSn центрированных плоскостей возникает [2] главное расслоение G(NSn), базой которого является само распределение, а типовым слоем — подгруппа стационарности G центрированной плоскости Pm. Пространством расслоения является проективная группа GP(n), а проекция п: GP(n) ^ NSn относит произвольному элементу
группы GP(n) ту плоскость Pm распределения NSn , которая инвариантна под действием этого элемента. Это расслоение порождает четыре фактор-расслоения [3]: плоскостных линейных реперов L( NSn), центропроективных реперов A*(NSn), нормальных линейных реперов L*(NSn) и фактор-расслоение H( NSn) с типовым слоем — аффинной фактор-группой H группы G.
В главном расслоении G(NSn) способом Г. Ф. Лаптева [4] задана групповая связность, определяемая с помощью объекта связности Г = {Гк , j Гi], ria , Гь" , rbc , Г' , Г*ь , rai, Гаь} , Причем компоненты этого объекта удовлетворяют дифференциальным сравнениям [2]
108
О. М. Омельян
ЛГк +га'к - 0, АГ]а-Г^гак + га]а - 0,
Л^+Г]гак +гац- 0, ЛГИ-Г^ + Г1ага■ + гаи - 0, (5)
ЛГьа1 +гаЬ1 - 0, ЛГЬс -ГХ +гаЬс - 0,
ЛГ^ -Г^гак +Га;гаЬ +гaaJ - 0, ЛГ^ -Г'гаЬ -Г^гаа +ГСЬгаС - 0,
ЛГа1 + Г] гаj +г;гаь -Г]гаа - 0,
ЛГаЬ - Га1гаЬ + Пьга1 + Г>с - Г1Ьга'а - 0 .
Объект Г содержит, в частности, подобъект аффинно-группо-вой связности Г0 = , ГJ1a , Гь' , ГЬс , ГÍ1J, ПьЬ
Внося в структурные уравнения базисных форм га1, гаа распределения плоскостей №п формы аффинно-групповой связности [2] га' = га' -Г]кгак -ГJ1aгаа, гаЬ =гаЬ -ГЬага1 -ГЬасгас, гаа = гаа -^гаJ -ГаьгаЬ, приходим к следующим уравнениям:
Dгa1 =гаJ лсо1: +гаа лсо^ + Б1^гаJ лгак + 28]агаJ лгаа + 8'аЬгаа лгаЬ,
Ь ~ ■ ■ ■ Ь Ь (6) Dгaa = гаЬ лгаЬ + Б^1 лга■ + 2БаЬга1 лгаЬ + БЬсгаЬ лгас,
где компоненты объекта Б выражаются по формулам:
Б1к =Гик], Б1а = (Г]а - ГaJ ), БаЬ = Г[аЬ],
Ба = Ла Ба = !(Да _Га) Ба = Га 1] _ [1]^ 1Ь _ 2 1Ь °Ьс _1[Ьс]'
Квадратные скобки в (7) означают альтернирование. В правых частях равенств (7) содержатся компоненты аффинно-группо-вой связности Г0, поэтому будем называть объект Б объектом кручения аффинно-групповой связности на распределении плоскостей №п .
109
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Учитывая дифференциальные сравнения (5), приходим к следующим сравнениям:
Л^ 0, А8ГЬ - - 0, А8ЬС - + §Х - 0,
Л^ + ш* - 0, Л^ - ^шк + З^Ьа- 0, (8)
Л8*ь + ^шЬ - + 8>'с - 0.
Из сравнений (8) вытекает
Теорема 1. Объект кручения 8 аффинно-групповой связности Г0 является тензором, содержащим один простейший
[5] подтензор 8а — тензор неголономности [1] и четыре простых [5] подтензора: {8*^}, 8^}, ^а^},
Если мы произведем адаптацию репера нормали 1-го рода Нордена, т. е. поместим вершины Аа в N-т, то
ш* - 0. (9)
Отсюда дифференциальные сравнения (8) компонент объекта кручения 8 с учетом (9) принимают вид:
- 0, Л8а, - 0, Л8ЬС - 0, Л^ - 0, - 0, Л8*ь - 0.
Теорема 2. При адаптации репера нормализации 1-го рода Нордена тензор кручения 8 распадается на шесть простейших подтензоров.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.
2. Омельян О. М. Нетензорность объекта кривизны групповой связности на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. № 33. С. 74—78.
110
О. М. Омельян
3. Шевченко Ю. И. Аффинная, коаффинная и линейная факторгруппы в подгруппе проективной группы // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2002. С. 38—39.
4. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.
5. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
O. Omelyan
THE TORSION OF AFFINE-GROUP CONNECTION ON THE DISTRIBUTION OF PLANES IN THE PROJECTIVE SPACE
In many-dimensional projective space the distribution of planes is considered. The main bundle is associated with the distribution, in which the group connection including affine-group subconnection is given. The object of torsion of affine-group connection is entered. It is shown, the torsion object is tensor and contains a number of subtensors.
УДК 514.75
К. В. Полякова
(Российский государственный университет им. И. Канта) О ЛЕММЕ Г. Ф. ЛАПТЕВА
Дано подробное доказательство обобщенной леммы Э. Картана (леммы Г. Ф. Лаптева). Из доказательства вытекает следствие: альтернации форм, являющихся коэффициентами при базисных формах в результате применения леммы, сравнимы с нулем по модулю базисных форм.
111
