CC BY
6
Дифференциальная геометрия многообразий фигур УДК 514.75
А. В. Кулешов
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ШЕСТЬ ТИПОВ ИНДУЦИРОВАННОЙ ГРУППОВОЙ СВЯЗНОСТИ НА СЕМЕЙСТВЕ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Исследуется семейство центрированных плоскостей в проективном пространстве. Описаны фактор-расслоения главного расслоения, ассоциированного с данным семейством. Показано, что композиционное оснащение семейства, состоящее в задании полей аналогов плоскостей Картана и нормалей 2-го рода Норде-на, индуцирует 6 пучков групповой связности, в каждом из которых выделяется по одной связности.
§ 1. Понятие многообразия Вг центрированных плоскостей
Индексы в работе принимают следующие значения:
I,7, К = 1, п; а, Ь, с = 1, т; а,Р,у = т +1, п; ¡,к = 1, г. Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А }, инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dA = 6А + с'А1, dAI = 6А1 + + щА . (1.1) Структурные уравнения р запишем в виде ОС =сС лс', Ощ = соК л сок, ОСк =с' лС' +С л (-5'кщ-б'с ) , (1.2)
где С — структурные формы проективной группы
ОР(п).
72
А. В. Кулешов
В пространстве Pn рассмотрим m-мерную (1 < m < n) центрированную плоскость Lm = (Lm, C) . Произведем специализацию подвижного репера {A, A, A} , помещая вершину А в центр С плоскости L*m , а вершины Aa — на плоскость lLm . Система уравнений r-мерного многообразия Br (1 < r < m(n - m) + n) центрированных плоскостей Lm в параметрической форме имеет вид [1]
( =Кагв' , ( а=Кагв', б)аа=Кгв' , (1.3)
где формы Пфаффа в1 являются структурными формами r-мерного гладкого многообразия Vr — пространства параметров и удовлетворяют уравнениям
D& =в а в] . (1.4)
Дифференцируя уравнения (1.4) внешним образом и применяя обобщенную лемму Картана, получим
D] =вk лв'к +вк лв)к, в)к лв лвк = 0 . (1.5) Из [3] следует, что
j = 0 (mod в1). (1.6)
Продолжая систему уравнений (1.3) с учетом (1.2) и (1.4), получим
дла+лх=j, ал1=j, дла - ка(а = лв, (1.7)
где А — дифференциальный оператор, действующий по закону
ДЛ^ = йЛаа- Л( - Л] + а ,
причем
лт = 0, л = л-лала, л^ = 0, лаат = о. (1.8)
Из уравнений (1.7) следует
73
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Теорема 1.1. Совокупность функций Л = (Л", Л", Л"} образует тензор, содержащий 3 подтензора Л", (Л", Л"},
(Л?, Л"}.
Систему функций Л = (Л", Л", Л"г} назовем фундаментальным тензором 1-го порядка многообразия Br, заданного параметрическими уравнениями (1.3).
§ 2. Расслоение, ассоциированное с многообразием Br
Из уравнений (1.2) следует, что с многообразием Br ассоциируется главное расслоение Gs (Br ) со структурными уравнениями (1.4) и следующими:
Da" = a¡ л аас + & л aabl, (2.1)
Da" =аГр л а " + & л а", (2.2)
Da" = а" л а" + ара лаар + & л а", (2.3)
Da" =аьа лаъ + & лаа1, (2.4)
Da a=aí лав+аЬ лаа , (2.5)
где
< = Л> а - баь Л0% + Лсгас) , (2.6)
а% = -Л>; - 5% (ЛУГ + Лагаа ) - Лар, (2.7)
=Лаа1аа, аа =-Лааа . (2.8)
Базой главного расслоения С (В ) является многообразие В , а типовым слоем — £ -членная подгруппа стационарности С (5 = п(п +1) - т(п - т)) плоскости £*т . Число £ равно
1 а а а
количеству форм аь, ар, аа, аа, а а .
Ассоциированное расслоение имеет 2 простейших и 2 простых [5] фактор-расслоения со структурными уравнениями:
74
А. В. Кулешов
1) (1.4, 2.1) — фактор-расслоение плоскостных линейных реперов Ь 2 (В ) с типовым слоем — линейной фактор-группой Ь 2 группы ^ , которая действует неэффективно в про-
т*
странстве направлений плоскости Ьт , т. е. в пространстве прямых плоскости Ь*т , проходящих через точку А;
2) (1.4, 2.2) — фактор-расслоение нормальных линейных реперов Ь т 2 (Вг) с типовым слоем — линейной группой
L(n m 2, которая действует неэффективно в (n — m — l) -мерном
проективном пространстве P„_m_! = P„ /Pm [5], возникающем при факторизации по коллинеарности из (n — m) -мерного линейного фактор-пространства Ln_m = Ln+l/Lm+l , причем линейное пространство LB+1 и его подпространство Lm+1 порождают проективное пространство Р и его подпространство Р ;
3) (1.4, 2.1, 2.4) — фактор-расслоение центропроективных реперов Ст(m+i)(Br ) с типовым слоем — центропроективной группой Ст(т+1), которая действует эффективно в плоскости lLm ;
4) (1.4, 2.1, 2.2, 2.3) — фактор-расслоение H 2 2 (ßr) с типовым слоем — группой H 2 2 , которая действует неэффективно во множестве направлений центропроективного пространства Р* = (Рп , A) с выделенным подмножеством на-
Т*
правлений плоскости L .
§ 3. Ассоциированные связности на многообразии
Групповую связность в главном расслоении ^ (В ) зададим с помощью форм
75
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
~a ^^a T^aOi ~ а а "Г1 аDi ~а Di
СО, — С — Гв , С — С —1 в , С — С —1 в ,
b b bi ' ß ß ßi ' a a ai ' ^
С —с — Г в, Ю —С — Г в.
a a ai i
Компоненты объекта групповой связности Г1 — {Г^, Г® , Г*, Гш., Г;} удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
at* + < — j, AT; + с — , сэ.2>
Arai+г>ь +Ю — raiJ0J, (3.3>
at: —ГЮ +г>;—j, (3.4>
АГ; + ГС + Г ßCß — Г С — Гß . (3.5>
Из этих уравнений видно, что объект Г1 содержит 2 простейших и 2 простых подобъекта: 1) ra — объект плоскостной
линейной связности; 2) Г; — объект нормальной линейной связности; 3) {Г^, T,} — объект центропроективной связности; 4> {Г/,, Г; , Ta } — объект линейно-групповой связности. Эти подобъекты задают групповые связности в фактор-расслоениях ассоциированного расслоения Gs (Br ) , перечисленных в § 2.
Из (3.1) с учетом (3.2—3.5) получаем структурные уравнения для форм связности
DC — С л С + Riß л ej, (3.6>
DC; — arß л С; + R;ß лßJ, (3.7>
DC —С л С + CCß лС; + RaaiJff л в], (3.8) DCa —С лЮь + Raßi л в , (3.9)
DC; — лС;+ С л С + Raije л в], (3.10) где компоненты объекта кривизны групповой связности Rl — {Rbij, Rßij , Kj , RaJ, RaJ } выражаются по формулам
76
А. В. Кулешов
т^а _-ра -рс Т^а о а _1 1 а Т %
ЯЬу - 1 Ь[у] - 1 Ь[11 ау]' Я/Зу - 1 у] - 1 Я1 Ц] '
Т?а — Га — Т^ ра _ Ра ТЗ _ р _ "рЬ р 1 1 Л
Яау - 1 а[Ц ] 1 а[г1 Ь]] 1 а[г1 Я] , Яау - 1 а[у] 1 а[г1 Ь]] , (311)
Я -Г -га г -гЯг
Яау 1 а[у ] 1 а [г1 а]] 1 а [г1 Я ] ,
причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках.
Продолжим уравнения (3.2—3.5), в результате чего получим уравнения на продолжения компонент 1 :
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
АЩ +4 а -ЦаС] + ааъц - ],
^ ^ав -па+ца+аа - у, ыаау-га, вк+гь аа-га-га +
+ ] +Т ЯаЯ-ГаЯ +ааау -Гув*, АЦу -Гавк + Га + 1а -ГьК + аау -Цв, АГау -Г,* в* +Г£ а о, -Ц уа аа-
-Гаа +гЯ1]ар-ГаЯ -га1вк,
где
ааы, -ЛЪуаа -8'ь (Л>а + ! + К1ас1)-Кцаь -Л\аь, + Л>у, (3.17)
а
аа --КаЯ-я;(Ла +Ла +Лаа)-Ла +Лаа, (3.18)
ааау --Луа а , аа у -Л^ а .
(3.19)
Замечание 1. Формы а", аади, а"ау, ааи симметричны по
нижним индексам г и у.
]
Я]
' <АИ ]
аа[у] - 0 .
(3.20)
Замечание 2. Уравнения (3.12) — (3.16) уточняют соответствующие уравнения работы [1]:
Используя формулы (3.12—3.16) и (1.1), найдем дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны Я1 групповой связности 1 -го порядка:
77
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
R — 0, ARß — 0, ARJ-j + Rßpß — 0, R + Rbaipb — 0, (3.21)
^Rßj + RZjPa + R>ß- RaijK — 0.
где символ «—» означает сравнение по модулю базисных форм в'.
Теорема 3.1. Объект кривизны R1 образует тензор, содержащий 4 подтензора Rbj ,{Rbj , Raj}, Rß AKjK'j ,Rß } , которые являются тензорами кривизны подсвязностей, задаваемых соответственно подобъектами Г^, {Г^, Гш},
Т ßi' {Т b', Т ß , Т ß' } •
§ 4. Оснащение многообразия и индуцированные связности
Осуществим композиционное [5] оснащение многообразия Br полями двух плоскостей, присоединяя к каждой плоскости Lm : 1) (п-т-1)-плоскость Си_и_ не имеющую общих точек с плоскостью Lm (аналог плоскости Картана); 2) (т-^-плоскость Nm_j, принадлежащую плоскости Lm и не проходящую через ее центр А (аналог нормали 2-го рода Нордена). Оснащающие плоскости С^^!, Nm_! определим системами точек
B ß = Aß + ÄlAa + ÄßA , Ba = Aa + ÄaA , (4.1)
причем величины Äa, Äa, Äa удовлетворяют уравнениям
AÄß + ®a = Кв , AÄß + Xß^a + ^ = Ä^ff , AÄa + ^ = Äae . (4.2)
Данные сравнения обеспечивают инвариантность плоскости Картана С и нормали 2-го рода N при фиксации точки А. Таким образом, плоскость Картана задается квазитензором {Äa ,Äß }, содержащим квазитензор Äß . Квазитензор
78
А. В. Кулешов
Лаа определяет (п — т) -мерную плоскость = [Nа, А],
где N = А + КА • Плоскость является нормалью 1-го рода Нордена, порожденной плоскостью Картана Си_и_!, т. е. Nп-т = Сп_т_! Ф А. В общем случае для определения нормали 1-го рода Nп_т не требуется задавать плоскость Картана [5]. Компоненты объекта связности Г могут подчиняться со-
отношениям
1
Га, = Га,Ла — Г^р —Га,К + ^Ъ,Ка. Ла —
(4.3)
— КЛс Л к +ЛаЛаЛа +АСЛ Лр —АСЛмс,
1
- _Га 7Ъ ^ Тр 7а _1_ кР 7а 7Ъ Лр 7
га = —Гы Ла + ГР л^ + лрл лЪъ + лрЛ; лр — лала, (4.4)
Га, =ГЪ Лъ —лаа1 К к —лкъа ЛьЛа +ллаЛа +лЪЛА +ла Ла ,(4.5) 0
к =лъка —ваял + мс (валс), (4.6)
0
г; =—лакр —л°Лр+&а (мала—лл), (4.7)
где Ма = лРКр — ла — тензор, /р = ЛрЛа — Лр . Нулик над
компонентами линейных связностей и единица над остальными компонентами означает, что соответствующие соотношения имеют место.
Подставляя охваты (4.6), (4.7) подобъектов Г^. и Г; в равенства (4.4), (4.5), получим:
01
Га =ла/а—лр льа (лр , +лрк), (4.8)
01
Га, = МСЛаЛс +лаЛ; . (4.9)
Найдем другие соотношения на компоненты объекта связности, используя ковариантные производные от Л . Для этого
79
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
внесем формы связности (3.1) в (4.2). Преобразуя полученные равенства, имеем:
УЛа = V ла&, ул: = VгЛаа&, УЛа = VгЛа&, (4.10) где в левых частях стоят ковариантные дифференциалы компонент Л относительно групповой связности Г1
УЛа = ЛЛа ~Л®а +®а ,
ул: = Л+льсьа,
УЛа = ЛЛ: - ЛрСРа + Ла^~а + ~ >
а в правых частях перед базисными формами — ковариантные производные
У,Ла =Лаг + ЛЬГ0ч ■
у Л=Л:, -ла га+Л; г с -га, (4.11)
УЛ = Л: + ЛРГГса - ЛаГа, - Г: ■
Эти ковариантные производные удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям:
ДУЛ - 0, дул - 0, дул + УДХ - 0.
Теорема 4.1. Совокупность ковариантных производных {VЛ, УЛ, VЛ } компонент оснащающего квазитензора Л образует тензор, содержащий 3 подтензора
УЛ УЛа {УЛа УЛ }
Обращая эти ковариантные производные в нуль, получим новые возможные соотношения на компоненты объекта Г1:
2
Га =Л +л; ГС-ла Га, (4.12)
2
Га, = Л а! +ЛьГЬа1, (4.13)
2
Га^л: +ЛсГ£-Ла Га, . (4.14)
80
А. В. Кулешов
Введем обозначение
i( A,B) 1 A B A B
Г = Г (Гa Гр Г" Г ) = Г" X — Гр и — Г X? +
a ai V bi' a' ш' ai' ai a a i ß ai a
(4.15)
+Г Xb Xa —AiXßXba Xa + К2Л + КЛ Xß —AßXu
где А, В, С=1, 2. Подставляя в (4.15) Г" = Г? и Г? = Г?, получим:
1(1,1)
Г = —Г XaXa + Гш Xß + AaiXlXßXb + (4 16)
+ AX XXa X — KßXa XXP-AbXa XX + AßX X.
i ß b a a i a a ß i a a b i aß
Поочередно подставляя в формулу (4.15) соотношения на величины г? и Г .: сначала — (4.5, 4.13), затем — (4.5, 4.12) и, на-
конец, (4.5, 4.13), получаем соотношения для компонент Гш :
(4.17)
1(1,2) 1 2
Г. = Г .(Г?, Гр , Гa, Г .) = —X ,Xa + Aß.X" X Xb —Aa.X X +
a ai v bi' a ' ai' ai' ai a bi ß a a i a a
+ rß Xß —XbrbXa —<XßXbaXa +KXaXa+AßiX:Xß + AßX aXß,
1(2,1) 2 1
Г — F ГГ" Fß Fa F ^ — 2a 2 4- Yß 2 — Yb 2a 2 41 ai = 1 ai (1 bi,1 ai,1 ai,1 ai) = XaiXa + 1 ai Xß 1 aiXaXb +
+ Aß Xß XbXa Xa —Aß Xa XaXß — AbtXa XaXb +A*XaXa + (4.18) + AßXaXß—AßXaXbXß,
(4.19)
1(2,2) 2 2
Г = Г .(Г,а,Гр,Га,Г ) = ЛаЛ +ГрК—ЛЛа — ГЪЛ.Ла —
а са^ Ъг* са* са* аг' а а а р аг а а1 Ъ а
—лр.лаялъл +лалл +лрЛаЛ—лрЛ ия.
Ъг р а а г а а аг ар г а Г р
Введем обозначение
2(С) 2 С С
Гаг = Гаг (Г*) = Л, + ЛрГ^ — Ла Гш . (4.20)
Подставим в формулу (4.20) соотношения на Гш — сначала (4.5), а потом (4.13):
81
1
1
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
2(1) 1
Гш =Л +ЛрГСа -Л Га,, (4.21) 2(2) 2
Гш =Л +ЛрГСа -Л Га,. (4.22)
Теорема 4.2. Композиционное оснащение многообразия
Вг позволяет задать в ассоциированном расслоении (Вг )
два сверхпучка связностей
1 12 2 2 Г = {Га Га Га Г Г } Г = {Га Га Га Г Г }
Г { ГЬ, , Г С , Г а, , Г а, , Г а Г { ГЬ, , Г С , Г : , Г а, , Г со' }
Замечание 3. Второй сверхпучок является аналогом рассмотренного в работе [4].
Теорема 4.3. Сильное аффинное оснащение многообразия
В позволяет задать в ассоциированном расслоении (Вг )
шесть многопараметрических пучков связностей
111 1 1 1(1.1) 211 2 1 1(2,1) Г = {Га Га Га Г Г } Г= {Га Га Га Г Г }
Г { ГЬ, , Г р, , Г а, , Г а, , Г с, Г { ГЬ, , Г р, , Г а, , Г а, , Г а,
212 2 1 2(1) 121 1 2 1(1.2)
Г= {Га Г а Га Г Г } Г = {Га Г а Га Г Г }
Г { ГЬ, , Г р, , Г а, , Г а, , Г со- Г { Г Ь, , Г р, , Г со- , Г а, , Г со-221 2 2 К2,2) 222 2 2 2(2)
Г= {Га Г а Га Г Г } Г= {Га Га Га Г Г }
Г { ГЬ, , Г р, , Г а, , Г а, , Г с, Г { Гь, , Г р , Г с, , Г а, , Г а }
Замечание 4. На параметры Гь,, Гд наложено единственное ограничение — это уравнения (4.6), (4.7).
Подставляя охваты подобъектов Г и ГД в равенства (4.12, 4.13), получаем следующие формулы охватов для компонент Г^. и Га,:
02 0 0 Га, =Л +Л ГрС -ЛЬ ГЬ , (4.22)
02 0
Га, =Ла, +Л Г,. (4.23)
82
А. В. Кулешов
Подставляя в соотношения (4.16—4.19) охваты (4.6), (4.7)
Га т^а -1
величин ц, Г д-, получим формулы охватов для компонент 01(1,1) 01(1,2) 01(2,1) 01(2,2) гш: Гш , Гш , Гш , Гш . Аналогично подставляя в (4.21)
02(1) 02(2)
и (4.22) охваты (4.7, 4.9, 4.23), получим: Гш. , Гш. .
Теорема 4.4. Сильное аффинное оснащение многообразия Бг индуцирует в ассоциированном расслоении следующие типы групповой связности 1-го порядка: 0111 0 0 01 01 01(1,1) 0211 0 0 02 01 01(2,1) Г - {Га Га Га Г Г } Г = {Га Га Га Г Г }
Г { ГЫ , ГД , Гаг , Г аг , Г аг Г { Гы , Г Д ' Г аг ' Г аг ' Г аг
0212 0 0 02 01 02(1) 0121 0 0 01 02 01(1,2) Г = {Га Га Га Г Г } Г = {Га Га Га Г Г }
Г { Г Ыг , ГД , Г аг , Г аг , Г аг Г { Г Ыг , Г Д , Г аг , Г аг , Г аг
0221 0 0 02 02 01(2,2) 0222 0 0 02 02 02(2) Г = { Га Га Га Г Г } Г = {Га Га Га Г Г }
Г { Гыг ,ГД ,Гаг , Г аг , Г аг Г { Г Ыг , Г Дг , Г аг , Г аг , Г аг }
0111 0222
Замечание 5. Типы Г и Г ранее рассматривались в работе [1]. Шесть типов связностей для случая распределения центрированных плоскостей приведены в работе [2].
Список литературы
1. Бондаренко Е. В. Связности на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. Вып. 31. С. 12—16.
2. Омельян О. М. Классификация пучков связностей, индуцированных композиционным оснащением распределения плоскостей // Там же. 2006. Вып. 37. С. 119—127.
3. Полякова К. В. О лемме Г. Ф. Лаптева // Там же. 2008. Вып. 38. С. 111—116.
4. Полякова К. В. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием пар касательной и соприкасающейся плоскостей поверхности // Тр. геом. семинара. Казань, 1997. Вып. 23. С. 99—112.
5. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
83
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
A. Kuleshov
SIX TYPES OF INDUCED GROUP CONNECTION ON THE FAMILY OF CENTRED PLANES IN PROJECTIVE SPACE
Family of centered planes in projective space is investigated. Factor-bundles of the principal bundle, associated with this bundle, are described. It is shown, that composite equipment of this family induces 6 bunches of group connection. In each of this bunches one connection is allocated.
УДК 574.76
В. С. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ПРАВИЛЬНАЯ ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ СИСТЕМЫ ПФАФФОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ ОСНАЩЕННЫХ И ИНДУЦИРУЮЩИХ ФИГУР
(К столетию со дня рождения Г. Ф. Лаптева)
Показано, что установленный Г. Ф. Лаптевым закон о правильной продолжаемости системы уравнений Пфаффа дифференцируемого многообразия в однородных и обобщенных пространствах [1, с. 323—326] необходимо соблюдать и при рассмотрении вырожденных многообразий [2, с. 41—43] оснащенных и индуцирующих фигур [3, с. 186—187].
В п -мерном аффинном пространстве А рассмотрены правильно продолжаемые системы уравнений Пфаффа т -мерных вырожденных многообразий некоторых типов линейных и квадратичных пар фигур , ^ } , когда фигура ^ описывает т -мерное многообразие, а фигура ^ — г-мерное многообразие (г < т < п).
84
