CC BY
7
УДК 514.75
К. В. Башашина1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия baschaschina@mail.ru
Фундаментально-групповые связности и композиционное оснащение семейства гиперцентрированных плоскостей в проективном пространстве
Исследуется произвольное семейство гиперцентрированных плоскостей в проективном пространстве. Доказывается, что объект кривизны фундаментально-групповой связности в главном расслоении, ассоциированном с данным семейством, является тензором. Произведено композиционное оснащение исследуемого семейства путем присоединения к каждой гиперцентрирован-ной плоскости точки, лежащей в данной плоскости, но не принадлежащей ее гиперцентру, и (п—и-1)-мерной плоскости, не имеющей общих точек с гиперцентри-рованной плоскостью. Введен тензор подвижности, обращение в нуль его компонент геометрически характеризуется соответствующими специальными смещениями оснащающих объектов.
Ключевые слова: гиперцентрированная плоскость, композиционное оснащение, проективное пространство, тензор кривизны фундаментально-групповой связности.
1. Главное расслоение, ассоциированное с семейством гиперцентрированных плоскостей. Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А1},
I, J, ... = 1, п, инфинитезимальные перемещения которого определяются деривационными формулами
Поступила в редакцию 30.05.2018 г. © Башашина К.В., 2018
ёЛ = вЛ + со1 Л1, ёЛ1 = вЛ1 + о'О ЛJ + о ¡Л ,
где форма в играет роль множителя пропорциональности, а структурные формы со1, оО, со1 проективной группы ОР(п) удовлетворяют уравнениям Картана (см., напр., [1])
ёС = С лоО, ёс=оО АОJ,
I К I I К I (1)
dOJ = OJ ЛОк +SJOк АО + OJ л о .
В пространстве Рп рассмотрим семейство Вг гиперцент-рированных плоскостей Р^1, то есть т-мерных плоскостей Рт с выделенными в них гиперплоскостями Ьт_1 (1 < т < п, 1 < г < т(п - т) + п) [2].
Произведем специализацию подвижного репера {Л, Ла, Ла}, помещая вершины Ла в гиперплоскость Ьт-1, вершину А — на плоскость Рт . Система уравнений семейства Вг гиперцент-рированных плоскостей Ртт^1 в параметрической форме имеет вид (ср. [3]):
Оа=Кав , оа =Кв , Оа =Лав' ; (2)
а, Ь,... = 1, т, а, /,... = т +1, п, ', ],... = п +1, п + г,
где базисные формы в1, заданные в некоторой области г-мер-ного пространства параметров Уг, удовлетворяют структурным уравнениям:
ёв=в лв), (3)
ёв) =в) лв) +вк лв)к, (4)
При этом в'к] = 0, где символ = означает сравнение по модулю базисных форм в1. 20
Совокупность функций Л = Л, Ла, Лаг} образует фундаментальный объект 1-го порядка семейства Br, причем
АЛ?-Л>а =Л, АЛ* =Лаау&, АЛ^ + Л>а = Лау&, (5) где А — дифференциальный оператор, действующий по закону
ал* = dлai - лю - j+Лсд.
Утверждение 1. Фундаментальный объект 1-го порядка является тензором, содержащим три подтензора: Л^ , Л, Л^ }, (л ,Ла.}.
С аг' а; J
С семейством Br ассоциируется главное расслоение Gs (Br) со структурными (3) и следующими уравнениями
dC = юь Ао>а +& лС, dо>а =®ъ А®а +& лС,
=ЮТр ЛС" +& ЛЮд, dca = С А®р +& Aaai, (6) dcСa =сС ЛСЬ +С ЛС<а + Са л С,
где
„а лая,. „а . са í t с л а„ \ „а л а „а cbi =ЛbiСа + Лbic + Sb (ЛсгС -ЛгСа), С = Лi Са
(7)
= -Л >ар -Л Г+ ¿Д (ла1юа -ЛГ) = -Л
Базой главного расслоения (Вг) является г-мерное пространство параметров Уг, типовым слоем — s-членная подгруппа стационарности плоскости Р^- (у = п2 - тп + т2 + п). Ассоциированное расслоение содержит 4 фактор-расслоения [2]: расслоение плоскостных линейных реперов Ь 2 (V ), рас-
ям
слоение аффинных реперов Ат(т+1)(УГ), расслоение нормальных линейных реперов Ь 2 (V ) и расслоение центропроек-
(п-т )
тивных реперов С(п-т)-т+1)(К ) .
Используя (3—6), представим внешние дифференциалы форм оы ,оа о/ ,оа1 следующим образом (ср. [4]):
О = Оеы А оа + ОСъ А Оаа+ 0/ А оа +в А ОаЫ] ,
та у а , у а , п] а п] а
ёо/г = о Аоу +о 3Аоу + вг Ао 3 +в Ао К , ёоа = оЬ А оЬ +оЬ А оаы + в/ А оЫ + в1 А о] ,
ёоа = о/ Аог + оЫЫ Ао3+ в Аоа +в Аоац,
(8)
где
оЬ'1 =ЛаЫ]оаа +Лъоо + (ЛсиоС -лао -Ла®а1 ),
а Ла а л а, I
оР'] =-Лаг]о3 -Л']о3 -Лг о/] +
+8Ы (оа + Лшоа] - Луоу - ЛУоу] ),
..а д а,а д ,,а
о] = Л оа, °ау = -Лаг]оа .
Утверждение 2. Формулы (3, 4, 6, 8) являются структурными уравнениями продолженного главного расслоения G2 (Вг), ассоциированного с семейством Вг.
2. Ассоциированные связности на семействе Вг. Фундаментально-групповую связность в ассоциированном расслоении (Вг) зададим способом Лаптева — Лумисте [5] с помощью новых слоевых форм:
~а ,, а Т^ап' ~а а ра п'
о =о - \ в , оЬ =оЬ - Ь'в ,
оа=оаа- г/, оа=оаа - а, оа=о а- а
(9)
причем компоненты объекта фундаментально-групповой связности Г = \гы , Гьы , Г/, Гы , Гаг | удовлетворяют дифференциальным уравнениям, полученным с использованием теоремы Картана — Лаптева [5]:
лгт-ПУ — гв], лг +заы — ], лг; + у; = ], лг„ + гу+у = ], (io)
лга - гУ+гу; — гу а+гу — ].
Объект Г содержит 4 подобъекта: 1) г — объект плос-
костной линейной связности; 2) г; — объект нормальной ли-
нейной связности; 3) {г, г j — объект аффинно-групповой
связности; 4) {л, г } — объект центропроективной связности.
С учетом дифференциальных уравнений (10) получим структурные уравнения для форм связности (9):
d3а — 3ь Аёаъ + Я]в лв], dSab — 31 л3ас + ЯаЫ]в лв],
da; — з; лз; + яа№в' лв, d3a — З; л3р + я^в лв,
d3aa =3 ь лза +з; лз; +3; лЗа + яЫ]в л в,
где компоненты объекта кривизны Я — R, Ry, Я;, я;, Я; j фундаментально-групповой связности имеют вид:
туа _ у^а -рЬу^а туа _ -ра "ра
Rj~ A[i/] ~l[ilbj], ЯЬ] - 1Ь[]]~ b[i cj ],
Ra — г; —г7г; R = г — г; г (11)
^m ;[j] A;[i%]' 'a ia[v] 1;[iA;]' ^^
яа = га — гь га — г;га — г га
aij a[ij] a[i Ь]] 1 a[iL ff] 1 a[iL j]>
где альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках.
Продолжая уравнения (10), получим уравнения на продолжения компонент объекта связности Г:
(12)
а\ы +ГЧ-Гвк +ГА +оЫ -0, а\ы-гаы-г/+гаы+оащ - о,
А\3!-ГЧ-Гкв+ГАу+о3] - о,
Ь\ы] -Г°а + о а] - 0,
агы+га-Гквк-гаы-гор+
+ ] - \Аа - \Аы + \ыАы + ГыАЫ - 0.
Используя формулы (12), найдем дифференциальные сравнения на компоненты объекта кривизны Я фундаментально-групповой связности:
ая. - яЫаь - 0, ляЫ] - 0, аяы - 0, АЯа, - яыа «- о,
ЬцШ - и, АЛ^Ъ'] - и, ¿л/ - и, ^Ы'] ^а]ш3
а] - ЯЫуОСС - ЯАа+ ЯыАЫ + ЯЫЦС
Утверждение 3. Объект кривизны Я = {я^Ы , Яы] , Яр], ЯЫ], ЯЫ] | фундаментально-групповой связности образует тензор, содержащий четыре подтензора ЯЪ], Я/, {Я],ЯЪ]}, ^Су^ау }.
3. Композиционное оснащение. Под композиционным оснащением будем понимать присоединение к каждой гипер-центрированной плоскости Р^- : 1) (п - т -1) -мерной плоскости Рп-т-1, не имеющей общих точек с плоскостью Рт ; 2) точки В, принадлежащей плоскости Рт и не лежащей в ее гиперцентре Ьт-1. Оснащающие объекты определяются системами точек:
Вр = Лр +ЛааЛа +ЛрЛ, В = Л + ЛаЛа,
причем
лг+1= хв1
. (13)
лха + <о„ = хв, лг +0 = х в1.
а а а
Данные уравнения обеспечивают инвариантность плоскости Pn_m_1 и точки В.
Обозначим X = Даа ,Да } — объект из пфаффовых производных оснащающего квазитензора X = ¡Х°,Ла,Ла}, тогда
— продолженный оснащающий объект. Продолжим уравнения (13):
ЛЛЖ + Ла0 + Xa< - Х>Ра - К0 = j,
лха - + 0а = j, лд + Х0Ы+ 0 = хдв.
Дифференциалы базисных точек оснащающих объектов имеют вид:
dBa = вБа+{0Ра+ sPß1) Bß+[tamAa + ta.B )в, dB = (в + See1) B + (t?Ba+ t°Aa )в,
где
sß =XM +ХЛ, S = X (a ai-XßAß )-ЛаК,
ta=Xa+Xa (Aal - ÄßAa, )-ДДА' , (14)
ta =X-Xßsi-Xata, (15)
ta=Xa +X A", (16)
ta=x-xata-xx(Abl-xaAi )+ххАа. (17)
Используя формулы (5, 13), находим сравнения для величин, определяющих смещения оснащающих объектов:
Ata = 0, Л" = 0, Л" = 0, Ata = 0.
Утверждение 4. Объект t = \aai,
t ai> t", ta ) является тензором, содержащим 4 подтензора: tai, ", t", t'a .
Случаи обращения в нуль подтензоров тензора t геометрически характеризуются соответствующими специальными смещениями оснащающих объектов:
1) ta = 0, плоскость Pn_m_1 смещается в плоскости Nn_m = = Pn_m_i + B, натянутой на плоскость Pn_m_1 и точку В;
2) tш. = 0, плоскость Pn_m_1 смещается в гиперплоскости P = P + P •
n_1 n_m_1 m
3) ta = 0, t = 0, плоскость Pn_m_1 неподвижна;
4) t" = 0, точка В смещается в плоскости Pm ;
5) ta = 0, точка В смещается в плоскости Nn_m ;
6) t" = 0, ta = 0, точка В неподвижна;
7) t = 0, точка В и плоскость Pn_m_1 неподвижны, а значит, неподвижна плоскость Nn_m.
Таким образом, вырождение тензора t ограничивает подвижность оснащающих элементов, поэтому назовем его тензором подвижности [6].
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
2. Вялова А. В. Тензорность кривизны фундаментально-групповой связности, ассоциированной с конгруэнцией гиперцентрирован-ных плоскостей // Международная научная конференция «Современная геометрия и ее приложения». Казань, 2017. С. 36—35.
3. Кулешов А. В. Фундаментально-групповые связности, индуцированные композиционным оснащением семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве // Вестник Балтийского федерального им. И. Канта. Сер.: Физ.-мат. науки. 2012. № 4. С. 139—147.
4. Кулешов А. В. Связности второго порядка на семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 50—63.
5. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—246.
6. Кулешов А. В. Кривизна индуцированных фундаментально-групповых связностей семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского. Сер.: Физ.-мат. науки. 2011. № 26. С. 111—119.
K. Bashashina1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia baschaschina@mail.ru
Fundamental-group connections and composite clothing for hypercentered planes family in projective space
Submitted on May 30, 2018
The article deals with hypercentered planes family in projective space. It is proved that the curvature object for the fundamental-group connection in the principal bundle associated with the family is a tensor. The composition of the family is set by a point lying in plane and not belonging to its hypercenter and (n - m - 1)-dimensional plane that does not have common points with the hypercentered plane. The mobility tensor is considered. The vanishing its components is geometrically characterized by corresponding special displacements of the clothing objects.
Keywords: hypercentered plane, composite clothing, projective space, curvature tensor of fundamental-group connection.
References
1. Shevchenko, Yu. I.: Clothings of centroprojective mani-folds. Kaliningrad (2000) (in Russian).
2. Vyalova, A. V.: Tensority of curvature of fundamental-group connection, associated with congruence of hypercentered planes. International scientific conference «Modern geometry and its application». Kazan, pp. 36—37 (2017) (in Russian).
3. Kuleshov, A. V.: Fundamental-group connections, induced by composite clothing of family of centered planes in projective space. IKBFU's Vestnik. Ser. Physics, Mathematics, and technology. Kaliningrad. 4, 139—147 (2012) (in Russian).
4. Kuleshov, A. V.: Connections of the 2nd order on a family of centered planes in a projective space. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 43, 50—63 (2012) (in Russian).
5. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu.G., Ostianu, N.M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. Journal of Soviet Mathematics, 14:6, 1573—1719 (1980).
6. Kuleshov, A. V.: Curvature of induced fundamental-group connections of a family of centered planes in projective space. Izv. Penz. gos. pe-dagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 26, 111—120. (2011) (in Russian).
