CC BY
9
Г.А. Султанова
8. Шадыев X. Аффинная коллинеация синектической связности в касательном расслоении // Тр. геом. семин. Казань, 1984. № 16. C. 117—127.
G. Sultanova
The estimate of dimensions of Lie algebras for infinitesimal automorphisms in the tangent bundle with the complete lift connection with nonprojective Euclidean base
We obtain upper bounds of dimensions of Lie algebra for infinitesimal automorphisms in tangent bundles with a complete lift connection in the case when the connection is nonprojective-Euclidean, and the curvature tensor components of connection satisfy the special condition.
УДК 514.76
К. К. Хабазня
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград mmphj@mail.ru
Связности 1-го и 2-го порядков на центропроективных многообразиях
Работа посвящена центропроективным многообразиям, связностям на них и геометрическим объектам, описывающим эти связности. Определяется центропроективное многообразие Wn , даются его структурные уравнения, вводятся понятия
голономного ^^ , полуголономного и неголономного 1¥пм многообразий, а также главных расслоений центропроективных кореперов 1-го С и 2-го С2 (№п) порядков. Задаются фундаментально-групповые связности в этих рас© Хабазня К. К., 2016
слоениях, вводятся объекты кривизны и кручения центропро-ективных связностей 1-го и 2-го порядков и формулируются утверждения, касающиеся тензорности этих объектов. Объект кручения 2-го порядка центропроективной связности 2-го порядка построен по аналогии с объектом кручения 1-го порядка.
Ключевые слова: центропроективное многообразие, голоном-ность, полуголономность, неголономность, главное расслоение цен-тропроективных кореперов, центропроективная связность, кривизна и кручение центропроективной связности 1-го и 2-го порядков.
1. Центропроективные многообразия. Рассмотрим «-мерное гладкое многообразие V«, в каждой точке А е¥п имеется касательное векторное пространство Т« размерности п. Наделим его структурой аффинного пространства с центром А, дополним его несобственной гиперплоскостью Ьп—1, результат
обозначим Р«. Расширим действие линейной группы ОЬ(п) до действия коаффинной группы ОА * (п) в Р«, которое станет центропроективным пространством. Выполним аналогичные построения с касательными пространствами высших порядков. Результат назовем центропроективным многообразием
К [1].
Отнесем некоторое центропроективное пространство Р« к подвижному реперу ¡А,А1}, тогда для смещения точки А имеем
СА = юА + ю 1А1 (1,3,... = 1« , (1)
где ю , ю1 — линейные дифференциальные формы. Имеет место цепочка эквивалентностей А — еот1 » йА = юА »
» ю1А1 = 0 » О = 0. Вполне интегрируемость последней системы эквивалентна уравнениям
Сю1 = ю3 л . (2)
Для продолжения уравнения (1) необходимо выполнение структурного уравнения
йю = ю1 л ю 1 . (3)
Продолжая уравнения (2) и (3), приходим к уравнениям
йю' = о' л юК + юк л ю'к , йю 1 = ю' л юи + ю' л юи , (4)
причем
ю'к л ю' л юк = 0, юи л ю1 л ю' = 0 , (5)
что равносильно [2]
ю['К] = Л'кью 1 , ' )ь = 0 , 'ь} = 0 ;
ю[и ] = ' юК , \и )к = 0 , ^{ик} = 0 .
Продолжая структурные уравнения (4), получим
11 ь 11 ь 1 ь , ь 1 йю 'к = ю 'к л юь — ю ьк л ю' — ю иь л ю к + ю л ю икь ,
йюи = юк л юк — юк л юи — юки л юк + юк л юик , (6)
причем [кь ] = Х'кш юМ , ю1 [ик ] = 'ь ю ь .
Если справедливы уравнения ю'к] = 0, ю[и] = 0 , то есть
формы ю'к и ю1и симметричны по нижним индексам (достаточные, но не необходимые условия для справедливости равенств (5)), тогда многообразие Жп называется голономным и
обозначается ^П^ . В случае, когда
ю[ик] = ^икь^ , ю[и] = Хикю « ю[ик] = 0 , ю[и] = 0 , (7)
где « = » означает сравнимость по модулю базисных форм ю1 , многообразие называется полуголономным и обозначается . В общем случае, когда ю'к] ф Х'кь юь , ю[1и ] ф Хик юк , многообразие называется неголономным [1] и обозначается
1¥пм . Заметим, что невыполнение дифференциальных сравнений (7) означает, что структурные уравнения (4) получены не в результате продолжения структурных уравнений (2) и (3).
Уравнения (2) и (4) являются структурными для расслоения с базой Жп , типовым слоем — коаффинной группой ОЛ * (п), называемого главным расслоением центропроектив-ных кореперов 1-го порядка С 1(№п). Аналогичным образом определяется главное расслоение центропроективных корепе-ров 2-го порядка С2 (№п), для него структурными будут уравнения (2), (4) и (6).
2. Центропроективная связность 1-го порядка. Фундаментально-групповая связность в главном расслоении центро-проективных кореперов 1-го порядка С 1(№п) задается с помощью форм
(Ъ] = ю ] - Г 'ж юк , юг = ю г - Ги юи . (8)
Дифференцируя эти формы внешним образом, получим
йЪ ] = юк А ю К + ю к Л (лГ ]к + ю Ж ) - Г к Г Км ю1 Л юм ,
йю1 = А ю и + ю ] а(лГ и + ГЦ} ю к + ю и )-Гц Г к ю ] А ю к ,
где дифференциальный оператор Л действует следующим образом:
ЛГ ж = йГ ж - Г :ь ю к - Г ьк ю ь + Гж ю ь .
Центропроективная связность в расслоении центропроек-тивных кореперов С 1(№п) задается полем объекта г1 = ^Гж,Гц } на базе ^ :
ЛГ к + ю'к = Г Цкьюь , ЛГ ц + Г к юк + ю и = Г цк юк . (9)
Структурные уравнения форм центропроективной связности запишутся в виде
йю' = ю л &>1К + Я'-^к1 юк л юь , й(Ъ1 = ю' л юи+Кик ю' л юк ,
где Я1 = \я'гкь,Я1'к } — объект кривизны центропроективной
связности Г1 , компоненты которого выражаются по формулам
Яикь = Г'[кь] — ГМ[кГ1Мь] , Я1'к = Г1 [ик] — Г1['Гьк] . (10)
Продолжая уравнения (10), получим
АГ'кь — Г'м юМ — ГМк юМ + Гик юМь + ю'кь = Г'кьм юМ , (11)
АГ ик — Г 1ь ю ж — Г и ю 1к + Г и ю ьк + Г ик юь + ю ик = Г икь ю ь .
Учитывая уравнения (9, 11) и применяя оператор А к выражениям (10), получим
АЯжь — Г!м ю[кь] + ю 1 [кь] = 0 , АЯик + Яик юь — Г1ь ю[ик ] + ю1 [ик ] = 0 . В случае полуголономности многообразия Жп ю[ик] = 0, ю' [кь] = 0 и ю 1 [ик] = 0 . Если многообразие Wn голономно, то эти сравнения становятся равенствами, значит, в обоих случаях АЯ'кь = 0, АЯик+Я'к юь = 0.
Ввиду этого не будем выделять особый голономный случай, то есть при употреблении в дальнейшем понятия полуго-лономного многообразия подразумевается, что оно включает голономное многообразие.
Теорема 1. Объект кривизны Я1 центропроективной
связности Г1 на неголономном многообразии 1¥пм образует
(см.: [1]) геометрический объект лишь вместе с объектом Г1, на полуголономном многообразии 1¥п8 объект Я1 — тензор, содержащий подтензор аффинной кривизны [3].
Внесем формы (8) в уравнения (2) и (3):
йю1 = юи А ю] + 8юи А юк , йю = ю1 А О) 1 + 8 ц ю1 А О)] ,
где 8ж = Г[ж] , 8ц = Г[и] . Объект 81 = \sJк,8ц } называется объектом кручения [4] центропроективной связности 1-го порядка Г1 .
Проальтернируем дифференциальные сравнения (9):
Л8'ж + юцк] = 0, Л8ц + 8° юк + ю[ц] = 0 .
В полуголономном случае, когда юцк ] = 0, ю[ц ] = 0, имеем
Л81к = 0, Л8и+8к ю к = 0.
Теорема 2. Объект кручения центропроективной связности Г1 на неголономном многообразии 1¥пм не образует тензор [1], на полуголономном многообразии 1¥п8 объект кручения 81 — тензор, содержащий подтензор кручения 8^ аффинной подсвязности 1-го порядка [1; 3].
3. Центропроективная связность 2-го порядка. Фундаментально-групповая связность в главном расслоении центро-проективных кореперов 2-го порядка С2 (^п) задается с помощью форм (8) и следующих:
юж = юж - ^заРь , юи = юц - Ьцкю к . (12)
Дифференцируя их, получим
йю ^к = ю ьк А ю Ц - ю 1ьк А ю ц - ю А СО +
_1_ „ (4Т1 г1 „м , ГМ Г , т-гМ 1 , 1 V + ю а \льк - 1 м ю к + 1 гг юмк + 1 кц юм + ю,
+
-1жь 1 мь^ж * ж^мк * кь^ш
(ц1 Г N + т1 Г N - ТЫ Г1 V) ь А ю м
\ь ыкь 1 цм + ЬJNL1 км ьжь1 мм ^ А ю ,
dm ij = m IJ л ~ K — m IK л ~ J — ~ KJ л ~ ^ +
+ ю к л (Аь1Ж + ьь1Ж(Оь + Гж ю 1ь + Гк юи — Гьк К + юик ) —
— (тМ Г т ГМ — ь Гм) к ь
\ь1'к1 Мь ь1Мк1 иь ьМик1 1ь ю Аю .
Центропроективная связность 2-го порядка в расслоении центропроективных реперов С2 задается полем объекта Г2 = {г 1 , 11жь, ьик } на базе Wn, причем
лт1 г1 , гм г , гм „ г , Г Т1 гм
Аь икь — 1 Мь ю ик + 1 иь ю Мк + 1 кь ю М + ю икь = ьикьМ ю ,
Аьик + и юь + Г ж юь + Г ж юьи — (13)
— Гьк юи + юик = ьикь ю .
Структурные уравнения форм (12) запишутся в виде
7~ 1 ~ ь ~ 1 ~ 1 ~ ь ~ 1 ~ ь г>1 ь М йюик = юик л юь — юьк л юи — юиь л юк + ЯикьМ ю л ю ,
йо) и = О)к л О) к — О) к л О)к — О) ки л О)к + Я икь ю к л ю ь ,
где R 2 = R 1,RJKLM,RIJKL } — объект
кривизны центропроек-
тивной связности Г , компоненты 2-го порядка которого выражаются по формулам
Ri = Li — Ln Г I + Li Г n + Li Г n
JKLM ^ JK [LM ] JK[L NM] NK[L JM] ^JNIL1 KM] '
R = L — LM г + L Г M + L Г M
IJKL ^IJ [KL ] IJ[K ML] ^IMJ1 JL] ^MJJ1 IL] ■
Продолжая уравнения (13), получим
ALI — Li r N + LN r I — Li r N — Li r N —
ALJKLM LJKN rLM + LJKL WNM LNKL Ш JM L JNL Ш KM
— ГI r N — ГI r N + Г N rJ + Г N r I .
1 NLM WJK 1 NL Ш JKM + 1 JLM Ш NK + 1 JL Ш NKM +
+ Г N I + Г N r I + r I — 0 + 1 KLMШ JN + 1 KLШ JNM + Г JKLM ~ 0,
ЛТ — Т — Т — Т — Г +
nLIJKL LIJM mKL LIMK mJL LMJK mIL 1 MKLm IJ
+rfKLfIM+ Г ML^MJ +LMJK fML+ Г MK fML + (14)
+fMJL — ГMK mJJI +LIJKL fM + fIJKL = 0
Учитывая уравнения (9, 13, 14), имеем
Лр1 — RI m N + RN m I + RN m1
JKLM NLM JK JLM NK JXKL^UJJN — LJKN m[LM] + m JK [LM ] = 0,
^IJKL — RMKLmIJ +RRrKLmIM +RIKLmMJ + +RIJKLmM — LIJM m[KL] + mIJ [KL] = 0'
(15)
В случае полуголономности многообразия Wn m[JK ] = 0, mjK [LM ] = 0 и mJJ [KL]= 0, а значит, дифференциальные уравнения (15) упростятся:
ЛКЖШ — RNLM mJK + RJLM mNK + RKLM m JN = 0 ,
^ IJKL — RMKL mM + RJKL m IM +RIKL mMJ +RUKL mM = 0-Теорема 3. Объект центропроективной кривизны 2-го порядка R2 на неголономном центропроективном многообразии WnN образует квазитензор лишь в совокупности с объектом центропроективной связности 2-го порядка Г2 , на полуголономном многообразии WnS объект кривизны R2 — тензор (ср.: [3]).
По аналогии с объектом кручения S1 для связности 1-го порядка Г1 введем объект кручения S2 центропроективной
связности 2-го порядка Г2 , который при обращении в нуль дает выражения частично альтернированных компонент объекта связности 2-го порядка через компоненты объекта связ-
ности 1-го порядка в случае полуголономного Wn и голоном-ного WH многообразий. Для этого внесем формы (8) и (12) в уравнения (4):
йю1и = °к л 0 К + Гж юь л 0 К + Г1кМ ~к л юМ + + ю к л 0 ж + Бжь ю к л ю ь,
йю1 = ю' л °и + Гиь л юь + Г К юк л + + юи л °и +Б1ик юи л ю к,
где Б'кь = ь' [кь] + Ги[к ГМь] , Бик = ь1 [ик ] + Гщ Гьк] . Объект
Б2 = {б 1 ,Бжь,Б1ик } назовем объектом кручения центропроек-
тивной связности 2-го порядка Г 2 . Учитывая при применении оператора А уравнения (9) и (13), имеем
АБ'кь + ьюКм + юи [кь ] = ^
АБик + ' ю1ь + Кк юь + ю1 [ик ] = 0 .
В полуголономном случае, когда ю' [кь]= 0 и ю1 [ик]= 0, получаем
АБ'кь + БКь ю'М = 0, АБ1'К + Б'к ю1ь + Б'к юь = 0.
Теорема 4. Объект кручения 2-го порядка Б2 центропро-ективной связности Г2 на неголономном многообразии WN не является тензором, на полуголономном многообразии W¡Б объект кручения Б2 — тензор, содержащий подтензор [5] кручения 2-го порядка {?'к, Б'кь } аффинной подсвязности 2-го порядка, задаваемой подобъектом {"ж, ь'кь }.
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
2. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 168—177.
3. Башашина К. В., Аноева Т. А. К геометрии центропроективного многообразия и гладкого подмногообразия // Дни науки. Калининград, 2010. С. 60—71.
4. Лемлейн В. Г. Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Литов. мат. сб. Вильнюс, 1964. С. 41—132.
5. Полякова К. В. О задании аффинной связности 2-го порядка векторнозначными формами 1-го, 2-го и 3-го порядков // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 108—125.
K. Khabaznia
Connections of first and second order on centroprojective manifolds
The work is dedicated to centroprojective manifolds, connections on them and geometric objects that describe these connections. Definition of centroprojective manifold Wn , its structure equations are given, notions
of holonomic WП , semiholonomic WП and nonholonomic WN manifolds as well as the notion of principal bundles of centroprojective coframes of first C1(Wn) and second C2 (Wn) orders are entered. Fundamental-group connections in these bundles are determined, objects of curvature and torsion of centroprojective connections of first and second orders are entered then, and prepositions about whether these objects are tensors or not are formulated. Second order torsion object of centroprojective connection of second order are built by analogy with the torsion object of first order.
