ПРИМЕРЫ НЕГОЛОНОМНЫХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

где Ay = gi JHess^y - лапласиан функции \ув метрике g, H - средняя кривизна

гиперповерхности M.

Доказательство. Расписав (6) в координатах и свернув с g1 J, получим (7). Если M - гиперплоскость, то A = 0,

VXY = VXY - b(X,Y)U, Ау = (п-1)Ш.

В частности, если M - минимальная гиперповерхность, то функция y - горизонтальная и удовлетворяет уравнению Лапласса Ay = 0. Если M - гиперсфера радиуса р, то A = - ^5,

V Y = Vx Y + w( X)Y + ю(У)Х + c(X, Y)U,

w(X) = Xln|р + y|, c(X,Y) = —i— b(X, Y),

P + У

Ay = (n-l)H + ^ gijg1J.

P J

Библиографический список

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т2. 414 с.

M.A. C h e s h k o v a

ON A MAPPING OF A HYPERSURFACE ALONG NORMAL IN THE EUCLIDEAN SPACE

A pair of smooth hypersurface M, M and a mapping f:M^ M along normal to the hipersurface M in Euclidean space are examined. Function y of distance between corresponding points of the hipersurface is considered.

УДК 514.76

ПРИМЕРЫ НЕГОЛОНОМНЫХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Ю.И. Ш е в ч е н к о

(Калининградский государственный университет)

Голономное и неголономное гладкие многообразия определяются в зависимости от полноты дифференциалов элементов подвижного репера многообразия. Получены формулы, показывающие эквивалентность полноты этих дифферен-

циалов и симметричности базисных векторов касательных пространств высших порядков.

С целью доказательства существования неголономных гладких многообразий приведены их примеры: 1) группа Ли и параллелизуемое многообразие;

2) главное расслоение, расслоения групп Ли и параллелизуемых многообразий;

3) пространство геометрической связности как частный случай составного многообразия; 4) пространство групповой связности как специальное главное расслоение; 5) обобщения пространства групповой связности - расслоения групп Ли и параллелизуемых многообразий со связностями; 6) пространства линейной (аффинной) и центропроективной связности.

Пространства со связностями являются неголономными гладкими многообразиями, что соответствует термину Картана [1] «неголономное пространство с фундаментальной группой». Примеры показывают, что понятие неголономности шире понятия связности.

1. Голономное и неголономное многообразия. Рассмотрим гладкое многообразие Vn размерности n. В каждой точке A е Vn имеется n-мерное векторное

пространство-касательное пространство 1-го порядка T1 = Tn. Отнесем пространство Tn к подвижному реперу (ej , тогда смещение точки A с точностью

до бесконечно малых первого порядка записывается деривационной формулой Слебодзинского [2]:

dA = ю ^ (ij,k,p,q,t=1,n), (1)

где d - символ обычного дифференциала, ю1- независимые линейные дифференциальные формы. Справедлива цепочка эквивалентностей

A = const dA = 0 ^ ю 1e1 = 0 ^ ю1 = 0.

Условиями полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений ю1 = 0 являются структурные уравнения Лаптева [3]:

Dw1 = юj люj, (2)

где D - символ внешнего дифференциала. Продолжая уравнения (2), получим

Dw1 = юJ л юк + юk л ю-к, (3)

юjk люj люk = 0. (4)

Для выполнения равенств (4) достаточно условий голономности: ю^к] = 0, но они не являются необходимыми [3]. Равенства (4) могут выполняться, когда формы юjk не симметричны по индексам j,k. Продолжения уравнений (3) приводят к формам ю1 : , несимметричным по нижним индексам в общем случае

ji.....jp

[3].

Дифференцируя уравнение (1) обычным образом, имеем 2-ой дифференциал d2A = dtt 1e1 + ю 1de1, принадлежащий касательному пространству 2-го порядка T2 . Пространство T2 определяется векторами e и их дифференциалами [4] :

dei = ю je j + ю Je^j , (5)

где ey eT2. Касательное пространство 3-го порядка T3 натянуто на векторы e, ejj и дифференциалы [4]:

deij = Ю!kek + Юfej+œ -elk + Юkeijk ( eijk e t3 ). (6)

Дифференцируя уравнение (1) внешним образом с помощью уравнений (2,5), получим

DdA = ю jAœ lelj , (7)

откуда следует , что равенство DdA = 0 эквивалентно следующим:

еш =0 • (8)

Аналогично, дифференцируя уравнения (5) с помощью уравнений (2,3,6), найдем

Dde = Юk люЦк, (9)

откуда Dde = 0 ^ e^] = 0, что вместе с результатом альтернирования уравнений (6) при условиях (8) приводит к симметрии векторов e^ по всем индексам. Подобно показывается эквивалентность симметричности векторов e i и

li.......lp

обращения в нуль-вектор внешних дифференциалов от обычных дифференциалов точки A и векторов e .

Гладкое многообразие Vn, отнесенное к подвижному реперу

{A,el,elj,eljk,...}, где A e Vn , el et1 , elj et2, eljk et3,...

(T1 œ T2 œ T3 œ...) , называется голономным [5], если все дифференциалы

dA,del,delj,deljk,... (10)

полные, т.е. внешние дифференциалы от них равны нуль вектору. Согласно формулам (7, 9, ...) это эквивалентно симметрии векторов e^e^,... по всем индексам. Если же последние векторы не симметричны, т.е. дифференциалы (10) неполные, то V называется неголономным гладким многообразием [5].

2. Параллелизуемое многообразие и группа Ли. Пусть Пг - гладкое многообразие размерности г со структурными уравнениями

Dwa = юР лЮр (аДуДе =1г), (11)

продолжения которых имеют вид

D«a =юу люр +Юу люру . (12)

а

'Р

Потребуем, чтобы формы Юр были линейными комбинациями базисных форм

Юу :

юР= СРуЮУ, (13)

где C ; - некоторые функции на многообразии Пг. Подставляя выражения (13) в уравнения (11), получим

Эюа = Сауюрлюу. (14)

Откуда видно, что функции С; можно считать антисимметричными

еав,) = 0 . (15)

'(РУ )

Дифференцируя уравнения (14) внешним образом, найдем

(^аг - caУ«p - с;8ю8) лйрлйу=0. (16)

Предположим , что функции С; образуют на многообразии Пг тензор с уравнениями

def

д с;, = dcaí - саю - с>8+е^тша = сау8»8 , (17)

причем согласно соотношениям (15)

СЗРУ)5= 0. (18)

С учетом выражений (13) из уравнений (17) получим

dcaт= с ^ю8 , (19)

РУ РУ8

СРу8 = СРу8 + Сеу Ср8 + СреСу8 — СРу Се8 , (20)

1 ^ гла

т.е. каждая из функций Ср является относительным инвариантом.

Преобразуем равенства (16) с помощью уравнений (17) и выражений (13):

(С^ - еру с; )ю8люРлюу = 0 ,

откуда С^ 5] - с^у с^ = 0. С учетом соотношений (15,18) найдем обобщенные тождества Якоби

/~\а _ /-ч£ /-ча

с{Ру5} = с{Ру с|е|5}, (21)

где фигурные скобки обозначают циклирование. Такое многообразие Пг называется параллелизуемым с тензором кручения С; [2] или обладающим структурой абсолютного параллелизма [6].

Дифференцируя внешним образом формы (13), получим

= dCay ЛЮу + С;уС5>8 ЛЮе . Используем уравнения (17) :

Эю; = (С;У8Ю8 + С;УЮ8 - СХ ) ЛЮу . (22)

Внешнее произведение ю, лю; = ®8 л С;уюу совпадает со 2-м слагаемым в

формуле (22) после раскрытия скобок, поэтому ее можно представить в виде (12), где

ю;,= сруюа- С;У8Ю8 . (23)

В силу соотношений (15,18) формы Юр антисимметричны по индексам |3,у. Теорема 1. Параллелизуемое многообразие Пг неголономно. Тензор Ср назовем абсолютным (ср.[7]), если правые части дифференциальных уравнений (17) равны нулю, т.е.

ср,= 0. (24)

Теорема 2. Параллелизуемое многообразие Пг с абсолютным тензором С^у

является группой Ли.

Доказательство. С учетом условий (24) соотношения (21) принимают вид:

С?Ру С^|5} = 0. (25)

А

Подставляя условия (24) в выражения (20), найдем СР § = 3С?т С^, откуда с

помощью равенств (25) получим Сру5 = 0. Тогда упрощаются уравнения (19): dCp = 0 ^ Ср = const, т.е. относительные инварианты стали абсолютными.

Итак, постоянные Ср , удовлетворяющие условию антисимметрии (15) и тождествам Якоби (25), определяют r-членную группу Ли Gr со структурными уравнениями (14).

Теорема 3. Параллелизуемое многообразие Пг, относительные инварианты которого являются абсолютными, есть группа Ли G .

А

Доказательство. В случае Ср = const из уравнений (19) имеем СРу5 = 0.

Используя выражения (20), найдем Ср 5 = 3С^ C^j. Циклируя эти равенства и

сопоставляя результат с условиями (21), получим тождества Якоби (25), характеризующие группу Ли G .

Теорема 4. Группа Ли Gr является неголономным многообразием.

Действительно, для группы Ли Gr формы (23) принимают вид:

^ р /^5 ^ р

Шру = Сруш8 , но остаются антисимметричными.

3. Главное расслоение и его обобщения. Рассмотрим (п+г)-мерное гладкое многообразие Vn+r специального строения со структурными уравнениями (2) и следующими

Вшр=шРлшр+й1 л юр (р,Р,у,5,е = n + 1,n + г) . (26)

Вполне интегрируемая система дифференциальных уравнений ш1 = 0 фиксирует точку многообразия V. Из уравнений (26) следуют уравнения

Бюр=юрлШр (ю = ю| i J ,

Р 'ш1 =0 у

являющиеся структурными уравнениями г - мерного подмногообразия Мг с Уп+Г. Используют следующие названия [8-10]: Уп+Г - составное многообразие или расслоение, V - база расслоения, Мг - типовой слой, слой. Удобно применять обозначение Вагнера [8]: Уп+г = Мг (V) , а базу V представлять как фактор-многообразие Уп+Г / Мг, т.е. многообразие слоев расслоения Уп+Г. Продолжая уравнения (26), найдем

Бшр=шулшр+ш1 лйр"+шулй^ , (27)

Бш" = лйр+ш[лшр+юJ лйр+йРлшр , (28)

йрлй1 л шJ + (шр -)л ш1 лшР + шр лшР лшу = 0 .

Последние условия выполняются, когда многообразие Уп+Г голономно, т.к. тогда

ш^ = 0 , шрл = 0 , шРр] = 0 , ШрРру ] = 0, (29)

что дает условия голономности 1-го порядка расслоения Мг (V). В частности, шрру] = 0 - необходимое условие голономности типового слоя Мг.

Теорема 5. Неголономность базы V или типового слоя Мг составного многообразия Мг (V) влечет неголономность самого многообразия.

Пусть шР = Ср,Шу, где С" - антисимметричные по нижним индексам функции на расслоении Мг (V). Тогда уравнения (26) принимают вид:

Бшр = СршР л шу + ш1 л шр , (30)

а при фиксации точки базы V имеем:

С РушРлшУ , СРу= СР,|ш, =0 .

Выделим четыре случая.

1) Функции С" образуют тензор на расслоении Мг (V):

АСру = Сру1ш 1 + Срубш6 ¿Сру = Сру1ш 1 + с: ру8ш6 ,

Л

причем величины Ср5 находятся по формуле (20). Предполагая, что функции СРу ,СР^ удовлетворяют обобщенным тождествам Якоби (21), получим Мг = Пг. Расслоение Пг (V) назовем расслоением параллелизуемых многообразий, т.к. в каждой точке базы V есть свое параллелизуемое многообразие

П г.

2) Функции С" составляют тензор на базе V :

дСРу = СРу, ш1«. аСРу = СРу.»1 + 3С®Ру Ср|8ю5 .

Требуя, чтобы величины Cpy удовлетворяли тождествам Якоби (25), получим

dCpy = 0 ^ Cpy = const, т.е. Пг = Gr. Расслоение Gr (Vn) назовем расслоением групп Ли (ср. [11]).

3) Функции Cp образуют абсолютный тензор:

ACpy = 0 ^ dCpy = 3C|py C5>5.

Предполагая выполнение тождеств (25) для величин C^ , обнаружим, что они

являются структурными постоянными группы Ли G г, одной и той же для всех

точек базы Vn. В этом случае имеем главное расслоение G°(Vn), в обозначении которого нулик обычно не пишется.

4) Функции CР постоянны на каждом слое , т.е. являются функциями на базе Vn: dCp = Cp^W1. Это частный случай 2-го случая при выполнении тождеств Якоби (25) для функций Cp . Здесь также возникает расслоение групп Ли.

Итак, главное расслоение, расслоения групп Ли и параллелизуемых многообразий имеют одинаковые по виду структурные уравнения (2,30), но входящие

в них величины Cp отличаются по смыслу. Их можно считать постоянными ,

функциями на базе, либо на расслоении. Из теорем 1,4 и 5 следует

Теорема 6. Главное расслоение, расслоения групп Ли и параллелизуемых многообразий неголономны .

4. Пространства геометрической и групповой связности. Специальным случаем расслоения Mr (Vn) является пространство с линейной дифференциально-геометрической связностью [8-10] или пространство геометрической связности Mr п со структурными уравнениями (2) и следующими

Drop=wpAQp+^pffl1 лйj. (31)

В простейшем случае объект кривизны *p образует [5] тензор на пространстве

Mr,n:

d*p k -*pj®k + *pwp = *pkwk + *ppwp , (32)

* j =0 , * j k =0 , * (bp =0 . (33) Выясним голономность такого пространства Mr n. Запишем уравнения (31)

в виде (26), тогда ®p = *pwj. Их внешние дифференциалы

Dwp = (d*p k)лйj

преобразуем с помощью уравнений (32):

Бю« = k k + юр)люj.

1 v kj i у р yk ijp >

Раскрывая скобки, получим уравнения (28), в которых

ю«=-И£ю k, ю«=И«юj. (34)

У 4k ' 1р ijp v у

Можно также считать, что

ю« = -*jюk -И«рюр, ю«р = 0 . (35)

Из выражений (34), (35) в силу соотношений (33) следует антисимметричность форм ю« по нижним индексам в каждом случае. Кроме того, формы ю« в

уравнениях (27), вообще говоря, не совпадают с формами ю j (34), (35). Значит, условия голономности (29) не выполняются вне зависимости от голономности базы Vn и типового слоя Мг.

Теорема 7. Пространство геометрической связности Мг п, объектом кривизны которого служит тензор, неголономно.

Пространство с фундаментально-групповой связностью в узком смысле [1, 3, 4, 6, 9, 11, 12] или пространство групповой связности Gr п, являющееся специальным главным расслоением G ( V ), имеет структурные уравнения (2) и следующие

Бюа = C ?юрлюТ+ R «Q1 люj . (36)

ру У v '

В голономном случае [5] объект кривизны R j образует тензор на базе Vn :

dRi - R«ю k - R«ю k + RрШ = R« ю k, ij ik j kj 1 ij p ijk

°p= 2Cруюу. R(ij) = 0 , Rjk = 0 .

Специальные расслоения групп Ли и параллелизуемых многообразий со структурными уравнениями (2,36), обобщающие пространство групповой связности G , назовем расслоениями со связностью.

Теорема 8. Пространство групповой связности Gr п, расслоения групп Ли и

параллелизуемых многообразий со связностями неголономны.

5. Пространства линейной (аффинной) и центропроективной связности.

Частным случаем пространства групповой связности Gr п является пространство линейной (в классической терминологии - аффинной) связности L 2 со структурными уравнениями

Бю1 = юJ лю J + Slk юJ лю k , (37)

Бю1 =юk люk + Ripчюp люq . (38)

В простейшем случае [12] объекты кручения и кривизны Я1;рс1 являются тензорами:

^к = ю' ■ ^рч = »'. (39)

= о , е-» = о , = о , к;(рЧ)|, = о . (40)

Ковариантный дифференциал V действует обычным образом :

УБ^к = аБ^к - б;,юк - Б|кю; + Б^кю; . (41)

Неголономность пространства Ь 2 следует из теоремы 8, но мы покажем ее непосредственно. Уравнения (37) запишем в виде :

аю1 = ю- л е; , (42)

е; = ю; + б; к юк. (43)

Получили структурные уравнения (42) гладкого многообразия Уп, являющегося базой пространства Ь 2 . С учетом формулы (43) уравнения (39) запишем иначе :

дз;к = ю1 , д^рч = ю1 ; (44)

с1 _ с1 _ с1 ер _ с1

Ч кг = Ч к|г Ч р^кг ЧркЧ 1 + Ч к^рг,

1? 1 — 1? 1 _ 1? 1 с к ,вк сч

К] ря1 = К] ря|1 К] рЛ1 К] кд^р! КкрдЧ] 1 + К] •

(45)

Дифференциальный оператор А действует по формуле (41), в которой вместо ю надо писать е. В силу соотношений (40) и обозначений (45) выполняются

равенства к)1 = 0, Я- (р^ = 0.

Найдем внешние дифференциалы форм е1; :

эе; =юк люк + ^ - б-ек - я;*ю1) л юк.

Подставим выражения форм ю1 из формулы (43):

ое1 =ек лек + [^к + (3?а»рк -к!)ю']люк.

Учитывая уравнения (44), получим

эе; =е к лек +юк л е; к , е; к = (я; * - б; * - бр^ю1 .

Формы е 1к несимметричны по нижним индексам, т.е. база V неголономна, поэтому справедлива

Теорема 9. Пространство линейной (аффинной) связности Ь^2 ^, кручение

и кривизна которого являются тензорами, неголономно.

Исключением служит пространство ^ без кручения и кривизны, потому

что система (37,38) принимает вид :

Бю1 = юлю* , Бю* = ю к лйк , (46)

а это уравнения структуры аффинного пространства Ап, которое голономно.

Структурные уравнения пространства центропроективной связности СП(п+1) п состоят [10,13,14] из уравнений (37,38) и следующих

Бй = юI лю + Якю^ люк,

-1 -1. (47)

Бю = ю1 лю + 8^ ю1 лю -1,

причем последнее уравнение играет вспомогательную роль. В голономном случае [14] компоненты объектов центропроективных кручения {8^, 8^} и кривизны {Я1рс1,Яук} удовлетворяют дифференциальным уравнениям (39),

+ ю к = 8у|к ю к, УЯцк + Я^к ю 1 = ю1. Пространство центропроективной связности Сп(п+1) п, с одной стороны, обобщает пространство линейной связности Ь 2 , с другой стороны, является

частным случаем пространства групповой связности Ог п.

Теорема 10. Пространство центропроективной связности Сп(п+1) п, линейное

кручение 8^ и центропроективная кривизна {Я1рс1,Яук} которого являются

тензорами, неголономно.

Если линейное кручение и центропроективная кривизна равны нулю, то из

уравнений (37,38,47) получаем (46), Бю; = ю^ лю] - уравнения структуры центропроективного пространства, которое голономно.

Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ (СПкКЦ).

Библиографический список

1. Картан Э. Группы голономии обобщенных пространств. VIII Междунар. конкурс на соиск. премии им. Н.И.Лобачевского: Отчет. Казань, 1937. C. 63-110.

2. Slebodzinski W. Formes exterieures et leurs applications. Warszawa, 1963. Vol. 2.

3. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С. 139-189.

4. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977. 84 с.

5. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып. 25. С. 110-121.

6. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии . М., 1970. 412 с.

7. Лумисте Ю.Г. Параллельное перенесение. Математическая энциклопедия. М., 1984. Т. 4. С. 206-208.

8. Вагнер В.В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. М.; Л., 1950. Вып. 8. С. 11-72.

9. Ehresmann C. Les connexions infinitesimales dans un espace fibre differentiable // Colloque de Topologie . Bruxelles, 1950 . P. 29-55.

10. Близникас В.И. О геометрии некоторых классов оснащенных расслоенных пространств: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Вильнюс, 1970. 339 с.

11. Лаптев Г.Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. 3-го Всесоюз. Мат. съезда. М., 1958 Т. 3. С. 409-418.

12. Шевченко Ю.И. Связность в продолжении главного расслоения // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1991. Вып. 22 . С. 117-127.

13. Лемлейн В.Г. Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Литовский мат. сб. 1964. Т. 4. N1. С. 41-132.

14. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных центропроективных многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1996. Вып. 27. С.122-135.

Yu.I. S h e v c h e n k o EXAMPLES OF NONHOLONOMIC SMOOTH MANIFOLDS

Holonomic and nonholonomic shmooth manifolds are defined depending on the completeness of differentials of elements of the moving frame of the manifold. Formulas are obtained, showing the equivalence of the completeness of these differentials and the symmetry of base vectors of tangent spaces of higher orders.

With the purpose of existence proof of nonholonomic smooth manifolds their examples are brought: 1) Lie group and parallelizable manifold; 2) main fibering, fiber-ings of Lie groups and parallelizable manifolds; 3) space of geometric connection as a special case of composite manifold; 4) space of grouped connection as a special main fibering; 5) generalizations of space of grouped connection i.e. fiberings of Lie groups and parallelizable manifolds with connections; 6) spaces of linear (affine) and centro-proective connection.

Spaces with connections are nonholonomic smooth manifolds what correspond to Cartan term «nonholonomic space with a fundamental group». Examples shows, that the notion of nonholonomy is wider then the notion of connection.

УДК 514.75

СОПРИКАСАЮЩИЕСЯ ГИПЕРКВАДРИКИ ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

С.Н. Ю р ь ев а

(Калининградский государственный университет)

Рассматриваются поля соприкасающихся гиперквадрик, внутренним инвариантным образом присоединенных в окрестностях 2-го и 3-го порядка к гиперпо-