CC BY
4
4. Степанова Л.В., Банару М.Б. О квазисасакиевых и косимплектических гиперповерхностях специальных эрмитовых многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. №32. С. 87 - 93.
5. Банару М.Б. Тензоры Кириченко // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям. Смоленск, 2000. Вып.2. С. 42-48.
6. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois Journal Math. 1966. V10. №2. P. 353-366.
7. Banaru M. Six theorems on six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra // Изв. АН Республики Молдова. 2000. №3. С. 3-10.
8. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-вектор-ными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 1980. №8. С. 32 - 38.
G.Banaru, M. Banaru
THE [/-COSYMPLECTIC HYPERSURFACES AXIOM AND SIX-DIMENSIONAL HERMITIAN SUBMANIFOLDS OF THE OCTAVE ALGEBRA
It is proved that if a six-dimensional Hermitian submanifold of Cayley algebra satisfies the [/-cosymplectic hypersurfaces axiom, then it is a Kahlerian manifold.
УДК 514.75
О.О. Белова
(Калининградский государственный университет)
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СВЯЗНОСТИ 1-ГО ТИПА В РАССЛОЕНИИ НАД ГРАССМАНОВЫМ МНОГООБРАЗИЕМ
Дана геометрическая характеристика результатов, полученных в статьях [1; 2].
В проективном пространстве Рп, отнесенном к подвижному реперу {А, А!} с деривационными формулами
аА=0А+ю1Аь аА1=0А1+ ю ? Ал+юА
и структурными уравнениями проективной группы ОР(п):
DюI = ю? Лю5, DюI = ю? Лю ? (1,1,К = 1, п);
DюJ =®К ЛюК +8 ? юК ЛюК + ю? Лю1,
рассмотрено многообразие Грассмана У=Ог(т,п) т-мерных плоскостей Ьш. Осуществлена специализация подвижного репера {А,Аа,Аа}: вершины А,Аа помещены на плоскость Ьт. Над многообразием Грассмана У построено главное расслоение О(У), типовой слой которого - подгруппа стационарности О плоскости Ьт. Расслоение О(У) содержит главное подрасслоение Р(У) с типовым слоем
- проективной группой P=GP(m)^G^GP(n), действующей на плоскости Lm. Групповая связность в главном расслоении G(V) задается объектом связности
-р_с т a pa^ a -r^ac -p TT^ TTab T a p^a т \
i=l La,1 a ,Lba,1 ba,1 aa, Xiaa,1 ар , Xiap ,Lpy,1 py ,Lap ap },
который содержит простейший подобъект 11={ Laa,Fab,Laba,Fba, 1aa,ni^a } и простой подобъект T2={ 11, Lay, ray}.
Произведено оснащение Бортолотти многообразия Трассмана, состоящее в присоединении к каждой m-мерной плоскости Lm (n-m-1)-мерной плоскости Pn-m-1, не имеющей общих точек с плоскостью Lm. Плоскость Pn-m-1 определена совокупностью точек Ba=Aa+ Aaa Aa +AaA. Дадим геометрическую интерпретацию индуцированных связностей из работы [1].
Теорема 1. Оснащающую плоскость P„.m.j в групповой связности 1-го типа
01
Y переносить параллельно нельзя. Доказательство. Имеем
o 01 01
-"a _ V" Ayœ )Ba 1 5a Bp + VAa Aa + V/aA
dBa = (0-/y®y )Ba + Sa Bp +V/aa Aa + VAa A , (1)
~ В В % ° Ра и1 и1
где соа = - Ь^у ю7 - ГауЮ^; УАаа, УАа - ковариантные дифференциалы от-
01 01 01
носительно групповой связности Г. Если УА,^ =0, V Аа =0, что возможно с учетом
выражений ковариантных дифференциалов и теоремы 2 [2], то dBa=0 (modBа), т.е. плоскость Рп-ш-1 остается на месте.
Замечание. Аналогичное вырождение параллельного перенесения на поверхности рассматривалось в работе [3].
о о °ь°а °ас° °Ь
Теорема 2. Простейший подобъект Г = {Ьа, Га , Ььа, ГЬа, Гаа, Паа} характеризуется центральным проектированием плоскости Lm+dLm, смежной с образующей плоскостью Lm , на исходную плоскость из центра - плоскости Бортолотти Р„.т.¡:
О р
Г!: Lm+dLm > (2)
Доказательство. Плоскость Lm задается совокупностью точек А,Аа, дифференциалы которых приводятся к виду:
dA=(0-АaЮa)A+(юа- Аааюа )Aa+юаBа,
dAa=0Aа+( Ю^ - А^Ю^^ )Ab+(Юa-Аа юа )A+ ®аВа .
Учитывая выражения форм групповой связности и охват Г, имеем
dA=(0-Aaœa)A+ °a Aa+œaBa, dA^G-A^A^ 55b Ab+ 55a A+ ¿a Ba.
o
Интересующая нас проекция определяется формами проективной связности ю ,
о о О
юа, Юа, которые выражаются с помощью подобъекта П.
Теорема 3. Объект псевдосвязности Гз = (Ьрт, Гр-^ } характеризуется центральным проектированием плоскости Рп.т-1 + dРn.m.1, смежной с оснащающей плоскостью Рп.т-1, на исходную плоскость из центра - образующей плоскости Ьт:
Гз : Рп-т-1 + аРп-т-1 —!—^ Рп-т-1. (3)
Доказательство. Дифференциалы (1) точек Ва, с помощью которых определяется смежная плоскость Рп-т-1 + йРп-т-1, приводятся к виду:
й Ва=(0-Яуюу) Ва+ 5Р Вр+(А^аа +Яаюа+ юр - А,рХьаю£ -А,рХаюв) Аа+ +(А^а + Харюа +юр- ^р^аа®а - ^а®Р ) А. Интересующая нас проекция из центра - плоскости Ьт =[А,Аа] - определяется фор-
~ в 0
мами связности ю а, которые выражаются с помощью объекта псевдосвязности Г з.
0 0 0
Следствие. Простой подобъект Г2 = {Г1; Г 3} характеризуется парой отображений (2; 3).
Преобразуем дифференциалы точек Ва, подставляя вместо дифференциалов компонент оснащающего квазитензора их выражения через ковариантные дифференциалы:
где
dßa=(...) £ Bß+(VA £ + 1аршр + 1аьршр )Aa+(V^a+ 1аршр + map®P )A,
!«ß = Г£р + ^аLbß — AyLYap + AaLp - Ap Aa ,
iab _TTab 1 лс T^ab ла т^yb . л т-^ab л a л b
laß = Пар + Аа1 cß — Ay1 aß + Аа1 ß — Aß Аа ,
!aß = Laß + Aa^aß — AyLaß — AaAß ,
(4)
maß= Gaß+A«пbß Ayгyaß .
Дифференцируя величины (4), получим сравнения:
Al£ß + ia>b + laß®a - 0, Aiabß + (5Cm£ß + S^ß К - 0, Alaß + (m£ß + l£ß К - 0, Am£ß + ^ + laß©a - 0,
т.е. объект l={ 1£ß, iabß, 1ap, m£ß} является тензором. По аналогии с работой [4]
будем говорить, что групповая связность Г принадлежит пучку 1-го типа, если
1
тензор l равен нулю. В этом случае обозначим объект связности Г через Г и получим следующие формулы для его компонент:
i i
-r^a _ Л а т y л b т a л ja 1 л a л Trab _ л a -r^ yb л с -r^ab л -r^ab л a л b
1 aß = AyLaß — AaLbß — Lß + AßAa » Пaß = Ay1 aß — Aa1 cß — Aa1 ß — AßAa » (5)
1 1
Laß = AaLaß — Aa 1aß + Aa Aß > G£ß = AyГaaß — AaПbß + Aß'Aa ' 1
т.е. групповая связность Г может быть сведена к подсвязности Т2.
o
Теорема 4. Оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа в расслоении G(V).
Следствие. Оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует связность 1-го типа.
Доказательство. Для выделения в пучке групповых связностей 1-го типа
o
единственной связности подставим в (5) выражения компонент объекта Г2 [1, 5]
01
и получим формулы [1] для компонент объекта связности 1-го типа Г .
Учитывая формулы (5) в выражениях ковариантных производных [2],
получим ковариантные производные относительно пучка связностей 1 -го ти-
1
па Г :
1 1
п a _ia лал v-yb а _ ^ab лалЬ
VPÀa - À«p _ÀpÀa' VpÀa -À«p _ÀpÀa>
(6)
11
VP - Aap _ V^P ' Va - Лахр _ ^a •
Теорема 5. Для того чтобы первый и второй [1, 2] охваты компонент объекта связности Г совпали, необходимо и достаточно обращение ковариантных производных (6) в нуль.
Доказательство вытекает из [5] и соотношений (6).
Список литературы
1. Белова О.О. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. № 31. С. 8 - 11.
2. Белова О.О. Ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора на грас-смановом многообразии // Там же, 2001. №32. С.13 - 17.
3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
4. Скрягина А.В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный оснащением Бортолотти плоскостной поверхности // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2000. С. 35 - 38.
5. Белова О.О. Связности трех типов в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Там же, 2001. С. 3 - 5.
O. Belova
INTERPRETATION FOR THE 1-ST TYPE CONNECTION IN THE FIBRE BUNDLE OVER GRASSMANNS MANIFOLD
Geometric characteristic for the analytic results, obtained in the two previous article of the author, is given.
