CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
M. Banaru
ON NEARLY COSYMPLECTIC STRUCTURES ON HYPERSURFACES OF SIX-DIMENSIONAL KAHLERIAN SUBMANIFOLDS OF THE OCTAVE ALGEBRA
Six-dimensional submanifolds of Cayley algebra equipped by Kahlerian structures induced by means of three-fold vector cross products are considered. The Cartan structural equations of the almost contact metric structures on hypersurfaces of such submani-folds are obtained. It is proved that the type number of the nearly cosymplectic hypersurfaces of six-dimensional Kahlerian submanifolds of the octave algebra is at most one.
УДК 514.75
О.О. Белова
(Калининградский государственный университет)
ПУЧОК СВЯЗНОСТЕЙ 3-го ТИПА, ИНДУЦИРОВАННЫЙ ОСНАЩЕНИЕМ БОРТОЛОТТИ МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА
В п-мерном проективном пространстве рассмотрено многообразие Грассмана У=вг(ш,п) т-мерных плоскостей Ьт. С ним ассоциировано главное расслоение, в котором исследуется групповая связность. Осуществлено оснащение Бортолотти. Доказано, что данное оснащение индуцирует связности трех типов, причем связность 1-го типа является средней по отношению к связностям двух остальных типов. По данной зависимости введен пучок связностей 3-го типа, в котором выделена единственная связность.
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу (А,А:} (I,.. , = 1,п) с деривационными формулами
32
О.О. Белова
ал = ел+ю1А:, ал: = ел1+ ю^Лт+ютЛ.
Формы ю:, юТ, ю: удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п)
Бю: = ют люТ, Бю: = ю^ лю^
БюТ =ю^ люК +5Тюк люк + ют лю:.
В Рп рассмотрим многообразие Грассмана У=Ог(ш,п) т-мерных плоскостей Ьш. Произведем специализацию подвижного репера {Л, Аа, Ла}, помещая вершины Л, Ла на плоскость Ьш. Индексы принимают следующие значения: а,... = 1,ш; а,... = ш + 1,п . Уравнения стационарности плоскости Ьш имеют вид: юа = 0, юа = 0.
Над многообразием Грассмана V возникает главное расслоение О(У), типовым слоем которого является подгруппа стационарности О плоскости Ьш, а базой - многообразие Грассмана V. Пространством расслоения О^) является проективная группа ОР(п), а проекция п :ОР(п) ^ V относит
произвольному элементу группы ОР(п) ту плоскость Ьш многообразия V, которая инвариантна под действием этого элемента.
В главном расслоении О^) задается фундаментально-групповая связность способом Г.Ф. Лаптева, причем объект групповой связности Г содержит [1] подобъект
-р _с т а -раЪ т а т^ас р т-тЬ т а -раа |
1 1 = { Ьа а ,ЬЬа Ьа аа ,Х1аа,ЬрУ Ру } .
Произведем оснащение Бортолотти многообразия Грасс-мана, состоящее в присоединении к каждой ш-мерной плоскости Ьш (п-ш-1)-мерной плоскости Рп-ш-1=[Ва], не имеющей с Ьш общих точек, где Ва = Ла + А,ааЛа + А,аЛ. Данное оснащение,
задаваемое полем квазитензора А, = (А,аа, А,а} на многообразии
01 02 03
V, индуцирует связности трех типов [2] с объектами Г, Г и Г,
33
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
01 1 02 03
причем Г =—(Г+Г), т. е. связность 1-го типа является средней
по отношению к связностям 2-го и 3-го типов.
В [3] доказано, что оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа в расслоении О^), из которого выделяется единственная связность 1-го типа. В [2], используя тензорность ковариантных производных, строится пучок групповых связностей 2-го типа; из него выделяется единственная связность 2-го типа.
Учитывая, что построенные в работах [2; 3] пучки связно -стей имеют одинаковые параметры, являющиеся компонентами подобъекта Г1, и принимая во внимание зависимость групповых связностей трех типов, можно построить пучок
3 1 2
групповых связностей 3-го типа с объектом Г = 2 Г-Г, зависимые компоненты которого имеют вид:
3 ^
Г= -А,аар - А,аЦ,р + А,ауЦф - Ц + 2А,3рЯа,
(1)
ПаЬ л аЬ л с т-^аЪ . л а т-«уЪ л -г^аЪ . лл^Ь
«Р =-Аар -Аа1ср +Ау1ар -АаГр + 2ХрХа,
3 а у
Цар = -Хар - ХаГар + ХуЦар + 2ХаХр,
СгОср = -Лаар - А,ЬаПЬр + ^уГав + 2ХрХа •
Придавая компонентам подобъекта Г1 их охваченные осна-
0
щающим квазитензором X значения Г1 [1], выделим из пучка (1) связностей 3-го типа единственную связность:
03а 03 и и 03 03а
Га 1а ттаЬ ла^ т л г-\а да
аР=-Хар, Пар=-Хар , Цар = -Хар, °ар = -Лар •
34
О.О. Белова
Теорема. Оснащение Бортолотти многообразия Грассмана V индуцирует в расслоении О(У) (п - т)(т+1)[(т - п)2+т(т+2)] - параметрический пучок групповых связностей 3-го типа
з за заЬ 3 з а
Г = {Г1ГО^р, Пар,Ьар,Оар},
из которого выделяется единственная связность 3-го типа
03 Л 03 03 аЬ 03 03 „
г = {П,ГО^р, ПОф,Lар,GаР}.
Список литературы
1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. Вып. 31. С. 8 - 11.
2. Белова О.О. Связности 3-х типов в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2001. С. 3 - 5.
3. Белова О.О. Интерпретация связности 1-го типа в расслоении над грассмановым многообразием // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 14 - 17.
O. Belova
BUNCH OF CONNECTIONS OF THIRD TYPE, INDUCED BY BORTOLOTTI'S EQUIPMENT OF GRASSMAN'S MANIFOLD
Grassman's manifold V=Gr(m,n) of m-planes Lm is considered in n-dimension projective space. The group connection is investigated in associated principal fibering. Bortolotti's equipment is realized. It is proved, that Bortolotti's equipment induces connections of 3-types, at that the connections of first type is average with respect to connections of the other types. The bunch of connections of third type was introduced. One connections is set apart in this bunch of connections.
35
