CC BY
4
Т.Н. Андреева
Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М.,
1979. Т. 9. 246 с.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. о-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275 - 382.
5. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
6. Столяров А.В. Линейные связности на распределениях конформного пространства // Изв. вузов. Математика. 2001. №3. С. 60 - 72.
T. Andreeva
THE CONJUGATE AFFINE CONNECTIONS ON NORMALLY EQUIPPED HYPERSURFACE IN A CONFORMAL SPACE
In the work the affine connections on normally equipped hypersurface in conformal space are investigated.
УДК 513.82
М.Б. Банару
(Смоленский гуманитарный университет)
О СЛАБО КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ 6-МЕРНЫХ КЕЛЕРОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ ОКТАВ
Рассматриваются 6-мерные подмногообразия алгебры Кэли, на которых 3-векторные произведения индуцируют келерову структуру. Получены структурные уравнения почти контактной метрической структуры на гиперповерхностях таких подмногообразий. Показано, что типовое число слабо косимплектических гиперповерхностей 6-мерных подмногообразий алгебры октав не превосходит единицы.
1. На всякой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия естественным образом индуцируется
27
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
почти контактная метрическая структура. Это - одна из причин важной роли почти эрмитовых многообразий в контактной геометрии и теоретической физике.
В настоящей заметке рассматриваются почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях 6-мерных ке-леровых подмногообразий алгебры Кэли. Отметим, что 6-мерные келеровы подмногообразия алгебры октав изучали такие известные геометры, как Е. Калаби, А. Грей, Р. Брайант (США), К. Секигава (Япония), В.Ф. Кириченко (Россия). Не вдаваясь в подробности столь обширной тематики, выделим статью [1], содержащую полную классификацию 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли. Данная работа является продолжением исследований автора, рассматривавшего ранее 6-мерные келеровы подмногообразия алгебры октав (см., например, [2 - 5]).
2. Напомним, что почти эрмитовой (almost Hermitian, AH-) структурой на четномерном многообразии M2n называется пара (J, g = (у)), где J - почти комплексная структура, g = (j ,
- риманова метрика. При этом J и g должны быть согласованы условием
JX, Л) = (X, Y), X,Y eK(M2n).
Пусть O = R - алгебра Кэли. Как известно [6], в ней определены два неизоморфных 3-векторных произведения
P (X, Y, Z) = -X(YZ) + (X, Y)Z + (Y, Z)X -(Z, X)Y; P2 (X, Y, Z) = -(XY )Z + (X, Y)Z + (Y, Z)X - (Z, X)Y.
Здесь X,Y,Z e O, ( • , • ) - скалярное произведение в O, X ^ X
- оператор сопряжения в O. При этом любое другое 3-век-торное произведение в алгебре октав изоморфно одному из вышеприведенных.
Если M6 с O - 6-мерное ориентируемое подмногообразие, то на нем индуцируется почти эрмитова структура (Ja,(• • , • У), определяемая в каждой точке соотношением
28
М.Б. Банару
^(Х) = Ра(ХЛ,в2), а = 1,2, где {е1, е2} - произвольный ортонормированный базис нормального к М6 пространства в точке р, X еТр (Мб) [6]. Подмногообразие называется келеровым, если
VJ = 0,
где V - риманова связность метрики на М6. Точка р е М6 называется общей, если
ео *Тр(Мб),
где е0 - единица алгебры Кэли. Подмногообразие, состоящее только из общих точек, называется подмногообразием общего типа [1]. Все рассматриваемые далее подмногообразия М6 с О подразумеваются подмногообразиями общего типа.
3. Пусть N - ориентируемая гиперповерхность келерова подмногообразия М6 с О, а - вторая квадратичная форма ее
погружения в М6. Как известно, под почти контактной метрической структурой на N понимают такую систему {ф, п, тензорных полей, где £ - векторное поле, п -ковекторное поле, Ф - поле тензора типа (1,1), g - риманова метрика. При этом
п(£) = 1, Ф(£) = 0, п ° Ф = 0, Ф2 = ^+£®п,
(ФХ, Ф7) = (X, 7) - п(Х)п(У), X,7 е N).
Воспользуемся первой группой структурных уравнений почти контактной метрической структуры на гиперповерхности эрмитова подмногообразия М6 с О [7]:
ёюа = аар лсов + Бавуюу лар + (л/2£а3в + ¡аар)юв ла +
( 1
+
Бавз + ¡аав |©вл®,
29
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Саа = Аа" + ВаРУау Аа" + У2ВаЪР - га" 0]юрАа +
+
( 1 3 ^ в (!)
Вав - 1аав 1®Р аС
Са = (¡2ВЪав -42взра - 2гаар)рв а аа + (вз/ + га3-)а а а-в +
+ (взвз - Асв,
где а,",у = 1,2; а, Ъ, с = 1, 2, 3; \ваЪе} и \ваЬс} - компоненты виртуальных тензоров Кириченко. Поскольку эрмитово многообразие является келеровым тогда и только тогда, когда [8]
вЛс = въ = о,
получаем следующий результат.
Теорема 1. Первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры на гиперповерхности 6-мерного келерова подмногообразия алгебры Кэли имеет вид:
-¡а а в , ■ а в , ■ ав
Са аг + га-а ас+ гаИа-Аа,
Сса=-с"в АЮр- га"арАЮ- га-а" а а, (2)
Са = -2гаарфв а аа + га3рЮ а а" - га" а а а-.
Отметим, что случай, когда почти контактная метрическая структура является косимплектической, изучен ранее [2; 4]. Этому случаю соответствуют следующие структурные уравнения:
Саа=аарАав, Саа = -а" Аа-, Са = О.
Однако, как видно из (2), почти контактная метрическая структура на гиперповерхности N с М6 не обязана быть косимплектической. Напомним, что почти контактная метрическая структура называется слабо косимплектической [9], если
Vх(Ф) 7 + У7(Ф)X = О, Vх(п)У + V7(п)X = О, X,7 е N) .
Наконец, отметим, что под типовым числом гиперповерхности риманова многообразия понимают ранг ее второй квадратичной формы (см., напр., [7] или [10]).
30
М.Б. Банару
Поскольку все келеровы многообразия входят в класс приближенно келеровых многообразий, используя [9], получаем следующий результат о слабо косимплектических гиперповерхностях 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры октав.
Теорема 2. Типовое число всякой слабо косимплектической гиперповерхности 6-мерного келерова подмногообразия алгебры Кэли не превосходит единицы.
Список литературы
1. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 1980. №8. С. 32 - 38.
2. Banaru M. Two theorems on cosymplectic hypersurfaces of six-dimensional Kahlerian submanifolds of Cayley algebra // Bul. Stin. Univ. «Politehnica». Math.-Phys. Timisoara, 2001. T. 46(60). №2. P. 13 - 17.
3. Banaru M. On spectra of some tensors of six-dimensional Kahlerian submanifolds of Cayley algebra // Studia Univ. «Babes-Bolyai». Math. Cluj-Napoca, 2002. 47. №1. P. 11 - 17.
4. Банару М.Б. О косимплектических гиперповерхностях 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 2003. №7. С. 59 - 63.
5. Банару М.Б. О почти контактных метрических структурах на гиперповерхностях 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры октав // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания. М: Прометей, 2003. С. 40 - 41.
6. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 141. P. 465 - 504.
7. Банару М.Б. Две теоремы о косимплектических гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 2002. №1. С. 9 - 12.
8. Banaru M. A new characterization of the Gray-Hervella classes of almost Hermitian manifolds // 8th International Conference on Differential Geometry and Its Applications. Opava, 2001. P. 4.
9. Банару М.Б. О типовом числе слабо косимплектических гиперповерхностей приближенно келеровых многообразий // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 357 - 364.
10. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quater-nionic space form // Tsukuba Journal Math. 2000. V. 24. №1. P. 127 - 132.
31
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
M. Banaru
ON NEARLY COSYMPLECTIC STRUCTURES ON HYPERSURFACES OF SIX-DIMENSIONAL KAHLERIAN SUBMANIFOLDS OF THE OCTAVE ALGEBRA
Six-dimensional submanifolds of Cayley algebra equipped by Kahlerian structures induced by means of three-fold vector cross products are considered. The Cartan structural equations of the almost contact metric structures on hypersurfaces of such submani-folds are obtained. It is proved that the type number of the nearly cosymplectic hypersurfaces of six-dimensional Kahlerian submanifolds of the octave algebra is at most one.
УДК 514.75
О.О. Белова
(Калининградский государственный университет)
ПУЧОК СВЯЗНОСТЕЙ 3-го ТИПА, ИНДУЦИРОВАННЫЙ ОСНАЩЕНИЕМ БОРТОЛОТТИ МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА
В п-мерном проективном пространстве рассмотрено многообразие Грассмана У=вг(ш,п) т-мерных плоскостей Ьт. С ним ассоциировано главное расслоение, в котором исследуется групповая связность. Осуществлено оснащение Бортолотти. Доказано, что данное оснащение индуцирует связности трех типов, причем связность 1-го типа является средней по отношению к связностям двух остальных типов. По данной зависимости введен пучок связностей 3-го типа, в котором выделена единственная связность.
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу (А,А:} (I,.. , = 1,п) c деривационными формулами
32
