CC BY
4
М.Б. Банару
2. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Проблемы геометрии. М.,1986. Т. 18. С. 25 - 72.
3. Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей // Матем. сб.1998. Т. 189. №1. С. 21 - 44.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.
5. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., 1980.
6. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans. Amer. Math. Soc.1969. V. 141. P. 465 - 504.
7. Кириченко В.Ф. Почти келеровы структуры, индуцированные 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. 1973. № 3. С. 70 - 75.
8. Банару М.Б. О спектрах важнейших тензоров 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Новейшие проблемы теории поля. Казань, 2000. С. 18 - 22.
9. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М., 1960.
10. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois Journal Math. 1966.V.10. №2. P. 353 - 366.
11. Gray A. Six-dimensional almost complex manifolds defined by means of three-fold vector cross products // Tohoku Math. Journal. 1969. V. 21. P. 614 - 620.
12. Кириченко В.Ф. Устойчивость почти эрмитовых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Укр. геом. сборник. Харьков, 1982. Т. 25. С. 60 - 68.
13. Кириченко В.Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных симметрических подмногообразий алгебры Кэли // Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. 1994. № 3. С. 6 - 13.
М. Banaru
ON A CLASS OF ALMOST HERMITIAN MANIFOLDS
A criterion for an arbitrary almost Hermitian manifold to possess a J-invariant Ricci tensor is established. Some new examples of six-dimensional almost Hermitian manifolds with a J-invariant Ricci tensor are given.
УДК 514.763.8
М.Б. Банару, Г.А. Банару
(Смоленский гуманитарный университет, Смоленский государственный педагогический университет)
АКСИОМА ^-КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ И 6-МЕРНЫЕ ЭРМИТОВЫ ПОДМНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБРЫ ОКТАВ
Доказано, что всякое 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры Кэли, удовлетворяющее аксиоме £/-косимплектических гиперповерхностей, является келеровым многообразием.
Работа [1] посвящена 6-мерным эрмитовым (общего типа) подмногообразиям алгебры Кэли. Основным ее результатом является теорема о том, что если 6-мер-
ное эрмитово подмногообразие алгебры октав удовлетворяет аксиоме О-косим-
и т-ч и
плектических гиперповерхностей, то оно является келеровым. В данной статье этот результат подтверждается.
Пусть N - ориентируемая гиперповерхность почти эрмитова многообразия М2". Как известно, на N внутренним образом индуцируется почти контактная метрическая структура. Напомним [2], что почти контактной метрической структурой на нечетномерном многообразии N называется такая система {ф,£,ц, тензорных полей, где £ - векторное поле; ц - ковекторное поле, Ф - поле тензора типа (1,1), § = - риманова метрика. При этом выполняются условия:
ц(£) = 1; Ф(£) = 0; ц° Ф = 0; Ф2 = -\й (ФХ, Ф7) = (X,7) - ц(Х)ц(7); X, 7 е К(Ы),
где Ы) - модуль гладких векторных полей на многообразии N.
Почти контактная метрическая структура называется косимплектической [2], если Vц=VФ= 0, где V - риманова связность метрики g = (•, •). Напомним также, что почти эрмитово многообразие удовлетворяет аксиоме [/-косимплекти-ческих (О-косимплектических) гиперповерхностей, если через всякую его точку проходит вполне омбилическая (вполне геодезическая) гиперповерхность.
Основной результат данной работы содержит следующую теорему
Теорема. Всякое 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры Кэли, удовлетворяющее аксиоме и-косимплектических гиперповерхностей, является келеровым многообразием.
Доказательство. Пусть М - 6-мерное эрмитово (общего типа) подмногообразие алгебры октав. Тогда на его ориентируемой гиперповерхности Н индуцируется почти контактная метрическая структура. Первая группа структурных уравнений такой структуры имеет вид [3; 4]:
daa =aaßAaß+ Baßr) (V2Ba3ß + iaaß)ß ла +
i—L Baß3 + iaaßXßAv,
42
d)a = -)ßß Baß7ay л) + (V2Ba3ß - iajß))0 ß л)+\-^ Baß3 - ia aß ) ß Л ) (1)
da = (¡2B3ßß -42B3ßa - 2ia(ßpß ла(Х + (в3/ + ia3ß)a л aß + (B3ß3 -iaß)лaß.
Через а обозначена вторая квадратичная форма погружения гиперповерхности H в многообразие M6; Babc и Babc - компоненты виртуальных тензоров Кириченко [5]. Здесь и далее i = 4-1 ;a,ß,y = 1,2; a, b, c = 1, 2, 3.
Сопоставляя (1) с первой группой структурных уравнений косимплектиче-ской структуры [2]:
daa = ) л )ß, daa = -aß л aß, da = 0,
получаем условия, одновременное выполнение которых есть критерий того, что почти контактная метрическая структура на H является косимплектической:
V
М.Б. Банару, Г.А. Банару
1) Bap7= 0; 2) 42ва3Р + iaaB = 0; 3) —\= Варз + iaap = 0;
Р л/2
4) 42вЪар -42въ а - 2тар = 0; 5) B3ps - iap = 0
(2)
Р V 2вър
и формулы комплексного сопряжения (ф.к.с.), запись которых мы опустим. Из (2) следует, что матрица второй квадратичной формы погружения Н в M6 имеет вид:
а =
( 0 0 0 -iD12 iD 22
0 0 0 -iD11 юп
0 0 О 33 0 0
- iD12 - iD22 0 0 0
V iD11 iD 12 0 0 0
где
Dab =±Tab8 + iTab
Dab = П. = ±TJ - iT.,
Здесь [T£] - компоненты конфигурационного тензора [6] эрмитова подмногообразия M6 алгебры Кэли; к, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6; a = a + 3; ср = 7,8.
Если H - вполне омбилическая гиперповерхность, то матрица а имеет вид:
^0 0 0 Л 0л 0 0 0 0 Л 0 0 Л 0 0, Л-const. Л0000 v 0 Л 0 0 0 х
Поэтому, принимая во внимание тождества [7] (D12)2 = DnD22 (DjУ = DD22 и условия (2), получаем
Dkj = 0. (3)
Итак, мы показали, что (3) имеет место в каждой точке вполне омбилической гиперповерхности эрмитова подмногообразия M6 алгебры Кэли. Таким образом, если M6 удовлетворяет аксиоме [/-косимплектических гиперповерхностей, то условие (3) выполняется в каждой его точке. Но это условие есть критерий келе-ровости произвольного 6-мерного почти эрмитова подмногообразия алгебры октав [8]. Следовательно, если эрмитово M6 удовлетворяет аксиоме [/-косимп-лектических гиперповерхностей, то оно - келерово, что и требовалось доказать.
Список литературы
1. Banaru M. On six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra satisfying the G-cosymplectic hypersurfaces axiom // Annaire de Yuniversite de Sofia "St. Kl. OHRIDSKI". 2000. T. 94. P. 91-96.
2. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Проблемы геометрии. М., 1986. Т. 18. С. 25 - 71.
3. Степанова Л.В. Квазисасакиева структура на гиперповерхностях эрмитовых многообразий // Науч. тр. МПГУ. М., 1995. С. 187-191.
7
4. Степанова Л.В., Банару М.Б. О квазисасакиевых и косимплектических гиперповерхностях специальных эрмитовых многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. №32. С. 87 - 93.
5. Банару М.Б. Тензоры Кириченко // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям. Смоленск, 2000. Вып.2. С. 42-48.
6. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois Journal Math. 1966. V10. №2. P. 353-366.
7. Banaru M. Six theorems on six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra // Изв. АН Республики Молдова. 2000. №3. С. 3-10.
8. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-вектор-ными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 1980. №8. С. 32 - 38.
G.Banaru, M. Banaru
THE [-COSYMPLECTIC HYPERSURFACES AXIOM AND SIX-DIMENSIONAL HERMITIAN SUBMANIFOLDS OF THE OCTAVE ALGEBRA
It is proved that if a six-dimensional Hermitian submanifold of Cayley algebra satisfies the [/-cosymplectic hypersurfaces axiom, then it is a Kahlerian manifold.
УДК 514.75
О.О. Белова
(Калининградский государственный университет)
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СВЯЗНОСТИ 1-ГО ТИПА В РАССЛОЕНИИ НАД ГРАССМАНОВЫМ МНОГООБРАЗИЕМ
Дана геометрическая характеристика результатов, полученных в статьях [1; 2].
В проективном пространстве Рп, отнесенном к подвижному реперу {А, А^ c деривационными формулами
dA=0A+юIAь dAI=0AI+ ю ? А^А
и структурными уравнениями проективной группы GP(n):
Бю1 = ю? Лю1?, Бю: = ю? Лю ? (1,1,К = 1, п);
Бю? =юК ЛюК +8 ? юК ЛюК + ю? Лю1,
рассмотрено многообразие Грассмана V=Gr(m,n) т-мерных плоскостей Lm. Осуществлена специализация подвижного репера {А,Аа,Аа}: вершины А,Аа помещены на плоскость Lm. Над многообразием Грассмана V построено главное расслоение G(V), типовой слой которого - подгруппа стационарности G плоскости Lm. Расслоение G(V) содержит главное подрасслоение Р(У) с типовым слоем
