CC BY
8
УДК 514.76
М. Б. Банару1
1 Смоленский государственный университет, Россия mihail.banaru@yahoo.com doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-4
О 6-мерных подмногообразиях Вайсмана — Грея алгебры октав
Установлено, что вполне геодезические гиперповерхности 6-мерных подмногообразий Вайсмана — Грея алгебры октав допускают слабо косимплектическую структуру.
Ключевые слова: почти эрмитово многообразие, многообразие Вайсмана — Грея, почти контактная метрическая структура, слабо косимплектическая структура, вполне геодезическая гиперповерхность, алгебра Кэли.
1. Опубликованная в 1980 году статья [1] Альфреда Грея и Луиса М. Хервеллы — наверное, самая цитируемая работа в области эрмитовой геометрии. Эта статья содержит ставшую общепринятой классификацию почти эрмитовых структур по дифференциально-геометрическим инвариантам первого порядка. В соответствии с этой классификацией почти эрмитовы структуры разбиты на 16 классов. Работа содержит оформленные в виде таблицы аналитические признаки принадлежности каждой конкретной структуры к тому или иному классу [1].
За многообразиями класса Ж1 ®Ш4 с 90-х годов прошлого
века закрепилось название многообразий Вайсмана — Грея, поскольку именно упомянутый выше американский геометр и израильский специалист Изу Вайсман внесли наибольший
Поступила в редакцию 12.05.2019 г. © Банару М. Б., 2019
вклад в изучение многообразий этого класса (а также классов приближенно келеровых и локально конформно келеровых многообразий, содержащихся в классе W1Ф W4). Многими глубокими работами в данной области отметился отечественный геометр В. Ф. Кириченко (он и предложил термин «многообразие Вайсмана — Грея»), а также его ученики (см., например, одну из недавно опубликованных работ [2]). Отметим, что важнейшей особенностью этого класса является его замкнутость относительно конформных преобразований метрики [3].
2. Как известно [1], под почти эрмитовой (almost Hermitian, AH-) структурой на четномерном многообразии M2п понимают пару {/, g = (•,•)}, состоящую из почти комплексной
структуры / и римановой метрики g = (•, ^ , причем / и g = (•,•) должны быть согласованы условием
/X, /Y) = (X, Y), X,Y е X(M2п),
где N(M2п) — модуль гладких векторных полей на многообразии M2п . Для всякой AH-структуры /, g = (•,•)} на многообразии M2п определяется так называемая фундаментальная форма:
F(X, Y) = (X, Л), X, Y е N(M2п).
Почти эрмитова структура принадлежит классу W1 Ф W4 [1], если
V x (F )(X ,Y ) = - ^ I X| |2 SF (Y )-< X ,Y) SF (x )--(/X,Y)S(/X)), X,Y е N(M2n).
Напомним, что почти контактной метрической структурой на многообразии N называется система gi, состоя-
щая из четырех тензорных полей на этом многообразии, в том случае, когда для нее выполняются условия:
)(£) = 1; Ф(£) = 0; т]°Ф = 0; Ф2 = -гй + (ФХ,ФУ) = (X,У) -)(Х)т)(У), X,У еК(N).
Здесь Ф — поле тензора типа (1,1), £ — векторное поле, ) — ковекторное поле, g = (•, — риманова метрика, ) —
модуль гладких векторных полей на многообразии N.
Хорошо известно, что многообразие, допускающее почти контактную метрическую структуру, нечетномерно и ориентируемо. Примерами почти контактной метрической структуры являются косимплектическая структура [3], характеризуемая тождеством
Уп=УФ= 0,
а также слабо косимплектическая структура, определяемая соотношением
(Ух Ф) X = 0,
где У — риманова связность метрики g .
По нашему мнению, ведущим специалистом в области геометрии слабо косимплектических структур является японский геометр Хироши Эндо. Кстати, в некоторых литературных источниках многообразия, снабженные слабо косимплек-тической структурой, называют многообразиями Эндо.
3. В [4] В. Ф. Кириченко получил первую группу структурных уравнений почти эрмитовой структуры на 6-мерном подмногообразий алгебры Кэли:
1 а а Ь , 1 ак\Ь глс] 1 аЬк гч с
аю = СЬ А С +—¡=8 юь АЮС +—¡=8 Аюь ;
\2 л/2
7 b ,1 r^h b c , 1 j^hc b
d®a =~®a A®b Sah[bDc]® Л® + ^abhD ®c Л® •
n 123 abc abc Tr
Здесь sabc = sabc, s = s123 — компоненты тензора Кро-некера третьего порядка;
D = +Г8 + iT7, D-. = ±T8 - iT7,
С/ Cj cj ' С-/ С С :
где (7^} — компоненты конфигурационного тензора; ф = 7, 8;
a, b, c, d, h = 1, 2, 3; i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6; a = a + 3.
Используя условия принадлежности произвольной почти эрмитовой структуры классу многообразий Вайсмана — Грея [5; 6], мы получаем
Предложение 1. Почти эрмитова структура на 6-мерном подмногообразии алгебры октав принадлежит классу W1 Ф W4 тогда и только тогда, когда
Dab = Db = 0, Dab = ÄS?, D^ = ^ . C1)
Условия (1) позволяют получить структурные уравнения почти контактной метрической структуры, индуцированной на ориентируемой вполне геодезической гиперповерхности 6-мерного подмногообразия Вайсмана — Грея алгебры Кэли.
Предложение 2. Первая группа структурных уравнений Картана почти контактной метрической структуры, индуцированной на гиперповерхности 6-мерного подмногообразия Вайсмана — Грея алгебры октав, имеет следующий вид:
j а а ß naßy л aß
dю =аß лю + H cüß люу + H ЮрЛа ;
d са=-сввлср + Haßycß лС + HaßC ЛЮ ; (2)
1 2 ^ а ß 2 aß
dс = - — Gaßa лю -—G ю1ХлЮр,
где a, ß, х = 1, 2. Уравнения (2) в точности соответствуют структурным уравнениям слабо косимплектической структуры [7; 8].
Теорема. Вполне геодезические гиперповерхности 6-мерных подмногообразий Вайсмана — Грея алгебры октав допускают слабо косимплектическую структуру.
Отметим, что для приближенно келеровых многообразий (то есть для многообразий класса W1, который входит в состав класса многообразий Вайсмана — Грея) известно, что слабо косимплектическая структура является единственно возможной почти контактной метрической структурой, реализуемой на вполне геодезических гиперповерхностях таких многообразий. Допускают ли вполне геодезические гиперповерхности 6-мерных подмногообразий Вайсмана — Грея алгебры октав почти контактные метрические структуры, отличные от слабо косимплектической, — вопрос, на который нам только предстоит ответить.
Список литературы
1. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Mat. Pura Appl. 1980. Vol. 123, № 4. P. 35—58.
2. Ignatochkina L.A., Abood H.M. On Vaisman — Gray manifold with vanishing conharmonic curvature tensor // Far East Journal of Mathematical Sciences. 2017. Vol. 101, № 10. P. 2271—2284.
3. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.
4. Кириченко В. Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Матем. 1980. № 8. C. 32—38.
5. Банару М. Б., Кириченко В. Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли // Успехи математических наук. 1994. № 1. С. 205—206.
6. Банару М. Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли // Математический сборник. 2002. Т. 193, № 5. С. 3—16.
7. Банару М. Б. Геометрия 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 126. C. 10—61.
8. Степанова Л. В. Контактная геометрия гиперповерхностей ква-зикелеровых многообразий : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1995.
9. Банару М. Б. Почти контактные метрические гиперповерхности с типовым числом 1 или 0 в приближенно келеровых многообразиях // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2014. № 3. С. 60—62.
M. Banaru1 1 Smolensk State University 4 Przhevalsky St., Smolensk, 214000, Russia mihail.banaru@yahoo.com doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-4
On six-dimensional Vaisman — Gray submanifolds of the octave algebra
Submitted on May 12, 2019
The W1 © W4 class of almost Hermitian manifolds (in accordance with the Gray — Hervella classification) is usually named as the class of Vaisman — Gray manifolds. This class contains all Kahlerian, nearly Kahlerian and locally conformal Kahlerian manifolds. As it is known, Vaisman — Gray manifolds are invariant under the conformal transformations of the metric.
A criterion in the terms of the configuration tensor for an arbitrary six-dimensional submanifold of Cayley algebra to belong to the Vaisman — Gray class of almost Hermitian manifolds is established. The Cartan structural equations of the almost contact metric structures induced on oriented hypersurfaces of six-dimensional Vaisman — Gray submanifolds of the octave algebra are obtained. It is proved that totally geodesic hypersurfaces of six-dimensional Vaisman — Gray submanifolds of Cayley algebra admit nearly cosymplectic structures (or Endo structures). This result is a generalization of the previously proved fact that totally geodesic hypersurfaces of nearly Kahlerian manifolds also admit nearly cosymplectic structures.
Keywords: almost Hermitian manifold, Vaisman — Gray manifold, almost contact metric structure, nearly cosymplectic structure, totally geodesic hypersurface, Cayley algebra.
References
1. Gray, A., Hervella, L.M.: The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Ann. Mat. Pura Appl., 123:4, 35—58 (1980).
2. Ignatochkina, L.A., Abood, H. M.: On Vaisman — Gray manifold with vanishing conharmonic curvature tensor. Far East Journal of Mathematical Sciences. 101:10, 2271—2284 (2017).
3. Kirichenko, V. F.: Differential-geometric structures on manifolds. Odessa (2013) (in Russian).
4. Kirichenko, V.F.: Classification of Kählerian structures, defined by means of three-fold vector cross products on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra. Izvestia Vuzov. Math., 8, 32—38 (1980) (in Russian).
5. Banaru, M.B., Kirichenko, V.F.: The Hermitian geometry of the 6-di-mensional submanifolds of a Cayley algebra // Russian Mathematical Surveys, 49:1, 223—224 (1994).
6. Banaru, M. B.: Hermitian geometry of 6-dimensional submanifolds of the Cayley algebra. Math. Sbornik. 193:5—6, 635—648 (2002).
7. Banaru, M.B.: Geometry of 6-dimensional Hermitian manifolds of the octave algebra. Journal of Mathematical Sciences (New York). 207:3, 354—388 (2015).
8. Stepanova, L. V.: Contact geometry of hypersurfaces of quasi-Käh-lerian manifolds. PhD thesis. Moscow (1995) (in Russian).
9. Banaru, M.B.: Almost contact metric hypersurfaces with type number 0 or 1 in nearly-Kählerian manifolds. Moscow University Mathematics Bulletin, 69:3, 132—134 (2014).
