О ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ КЕНМОЦУ 6-МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ КЭЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Доказательство непосредственно вытекает из уравнений (14).

Список литературы

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. М., 1999. Т. 1, 2.

2. Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ-1) // Функциональный анализ и его приложения. 1981. Т. 15. Вып. 3. С. 54 - 66.

3. Амишева Н.В. О семействах алгебраических элементов второго порядка в эквиаффинном пространстве // Геом. сб. Томск, Изд-во Томского унта, 1972. Т. 212. Вып. 9. С. 198 - 209.

N. Amisheva

ON INVARIANT DIRECTIONS AND THEIR PROPERTIES

ON AN ISOENERGETIC SURFACE OF NON-INTEGRABLE DIFFERENTIAL KIRCHHOFF'S EQUATIONS

Non-integrable differential Kirchhoff's equations describing motion of a body in liquid are considered in this work. Invariant directions are found on the isoenergetic surface and some their properties are pointed.

УДК 513.82

М.Б. Банару

(Смоленский гуманитарный университет)

О ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ КЕНМОЦУ

6-МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ КЭЛИ

Доказано, что гиперповерхность Кенмоцу 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав минимальна в том и только том случае, если ее типовое число равно четырем. Также доказано, что минимальная гиперповерхность Кенмоцу 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав не может быть вполне омбилической.

1. Теория почти контактных метрических структур занимает одно из ведущих мест в современных дифференциально-геометричес-

12

М.Б. Банару

ких исследованиях. Это объясняется как многочисленными приложениями ее в математической физике (например, в классической механике [1] и в теории геометрического квантования [2]), так и богатством внутреннего содержания самой теории, а также ее теснейшими связями с другими разделами геометрии.

Напомним, что почти контактной метрической структурой на не-четномерном многообразии N называется такая система ф, 4, т, gj

тензорных полей на этом многообразии, где Ф - поле тензора типа (1,1) ; 4 - векторное поле; ) - ковекторное поле; g = - римано-ва метрика. При этом должны выполняться условия:

Т(4) = 1; Ф(4) = 0 ; т}°Ф = 0; Ф2 = -id + 4®); < ФХ, Ф7 > = < X,Y > -)(X))(Y) , X,Y е K(N) , где Х(N) - модуль гладких векторных полей на многообразии N. Примером почти контактной метрической структуры является косимплек-тическая структура, характеризуемая тождеством V) = УФ = 0, где V - риманова связность метрики g. Многообразия, наделенные такой

структурой, локально эквивалентны произведению келерова многообразия на вещественную прямую [3].

Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми (almost Hermitian, AH-) структурами. Например, если (N, |ф, 4, Т, g j) - почти контактное метрическое многообразие, то

на многообразии N х R индуцируется почти эрмитова структура [4]. Если эта почти эрмитова структура интегрируема, то исходная почти контактная метрическая структура называется нормальной. Нормальная контактная метрическая структура называется сасакиевой [4]. Сасакиевы структуры можно охарактеризовать и с помощью тождества

VХ(Ф^ =(X,Y)4 - t(Y)X, X,Y е K(N) . (1)

Сасакиевы структуры, например, индуцируются на вполне омбилических гиперповерхностях келеровых многообразий [4]. Они обладают многими замечательными свойствами и играют фундаментальную роль в контактной геометрии.

13

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

В начале семидесятых годов двадцатого века Кенмоцу ввел в рассмотрение класс почти контактных метрических структур, характеризуемых тождеством [5]:

Ух (Ф)У = (ФX, У)4 - г/(У)ФХ, X, У е К(№>. (2)

Многообразия Кенмоцу нормальны и интегрируемы, но не являются контактными, и, стало быть, не могут являться сасакиевыми [5]. Несмотря на внешнее сходство тождеств (1) и (2), свойства многообразий Кенмоцу в определенном смысле полярны свойствам сасакиевых многообразий. Заметим, что исчерпывающее описание многообразий Кен-моцу, а также множество различных примеров таких многообразий содержится в новейшем исследовании [6] по данной тематике.

Данная статья посвящена гиперповерхностям Кенмоцу 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли. Она является продолжением исследований автора, ранее рассматривавшего почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях 6-мерных подмногообразий алгебры октав (см., например, [7 - 9] и др.). Отметим, что исследованием различных аспектов геометрии, 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли занимались такие авторитетные геометры, как А. Грей, Е. Калаби (США) и В.Ф. Кириченко (Россия).

2. Как известно, почти эрмитовой структурой на четномерном многообразии М2п называется пара {/, g = •)}, где J - почти комплексная структура; g = ^ - риманова метрика на этом многообразии. При этом J и g = (•, должны быть согласованы условием /X, Л) = (Х, У), Х,У еК(М2п).

Здесь Х(М2п) - модуль гладких (класса Сш ) векторных полей на многообразии М2п Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым (АН-) многообразием. С каждой АН-структурой {/, g = (• , •на многообразии М2п

связано поле дважды ковариантного кососимметрического тензора (т.е. 2-формы), определяемого равенством

^(X, У) = (X, /У ), X, У е К(Ы 2п ) и называемого фундаментальной (или келеровой) формой структуры.

14

М.Б. Банару

Пусть (м2п, {.I, g = (•, }) - почти эрмитово многообразие. Зафиксируем точку р е М2п . Пусть Тр (М2п) - пространство, касательное к многообразию М2п в точке р, .р, gp = (•, •)} - почти эрмитова структура, порожденная парой ., g = (•, •)}. Реперы, адаптированные почти

эрмитовой структуре (или А-реперы), устроены следующим образом: (р, е1,...,еп, е-х ,...,еа), где Еа - собственные векторы оператора

структуры, отвечающие собственному значению оператора I = л/-1, а е^ - собственные векторы, отвечающие собственному значению -I. Здесь индекс а принимает значения от 1 до п; аа = а + п . Матрица оператора структуры в А-репере в точке р имеет вид

I )=

где 1п - единичная матрица порядка п; к, ] = 1,..., 2п. Хорошо известно [10], что матрицы римановой метрики g и фундаментальной формы F в А-репере примут соответственно вид

Ип 0

0 -Ип

п

»8

Пусть О = Я - алгебра Кэли. Как известно [11], в ней определены два неизоморфных 3-векторных произведения:

Р (X, У, 2) = -Х(У2) + (X, 7)2 + (У,2)Х - (2, Х)У; Р (X, У, 2 ) = -(ХУ )2 + (X,7)2 + (У, 2)Х - (2, Х)У. Здесь X,У, 2 е О; (•, •) - скалярное произведение в О , X ^ X -

оператор сопряжения в О . При этом любое другое 3-векторное произведение в алгебре октав изоморфно одному из вышеуказанных.

Пусть М6 с О - 6-мерное ориентируемое подмногообразие алгебры Кэли. Тогда на нем индуцируется почти эрмитова структура

1а,g =(•,•)}, определяемая в каждой точкер еМ6 соотношением

1а(.X) = Ра(X, в2\ а = 1,2,

15

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

где {е1, е2} - произвольный ортонормированный базис нормального к М6подпространства в точке р, X еТр(М6) [11]. Подмногообразие М6 называется эрмитовым, если индуцированная на нем почти эрмитова структура интегрируема. Напомним [12], что точка р е М6 называется общей, если е0 г Тр (М6), где е0 - единица алгебры Кэли. Подмногообразия, состоящие только из общих точек, называются подмногообразиями общего типа [12]. Все рассматриваемые далее подмногообразия М6 с О подразумеваются подмногообразиями общего типа.

3. Прежде чем привести основные результаты данной статьи, от-

метим, что типовым числом гиперповерхности риманова многообра-

зия называют ранг ее второй квадратичной формы [13].

Теорема 1. Гиперповерхность Кенмоцу (Ы, {ф, г, g})

6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли является минимальной в том и только том случае, если ее вторая квадратичная

форма а удовлетворяет условию = 0 .

Доказательство. Воспользуемся первой группой структурных уравнений почти контактной метрической структуры на гиперповерхности эрмитова подмногообразия М6 с О [8]:

Люа = юар люа + Баргт7 люа + (¡2Ба3р + лю +

+ Барз + /ааа^юалю,

Люа =-юра люа + Барю7 ЛюР + У2Ба3Р -'арР)юр лю + + 1 -Бар -

Лю = (42Б3аа -Т2бзаа -21аа)юа люа+(рз/ + газа)) люа + + (Бзаз - 1а0)юлюа.

Здесь \БаЬс} и {Ваъ } - компоненты тензоров Кириченко [7]. Условимся, что здесь и далее а,Ь, с = 1,2,3 ;а,а,7 = 1,2;

к, ] = 1,2,3,4,5,6 ; а = а + 3 .

16

М.Б. Банару

Г (3)

Поскольку первая группа структурных уравнений структуры Кенмоцу должна иметь вид [6]

dma = юар люр + ю люа; dma = —юр люр+ю люа; dm = 0,

условия, одновременное выполнение которых есть критерий принадлежности почти контактной метрической структуры на N классу Кенмоцу, таковы:

а) Бару = 0 ; б) 41ВаЪр + iaap = —8ар ; в) —BaP + аар = 0 ;

г) 4lB3ap —42въра — liaap = 0; д) Бзрз — iap = 0 и формулы комплексного сопряжения (ф.к.с.), запись которых мы

опустим. Из условий (3)в следует аар = —г-=Барз. Проальтерниру-

V2

ем это соотношение

0 = арр = —-Ыррз =—~^= (варз — Бррз)=—-^Бррз . V2 2у/2 V2

Следовательно, Бррз = 0, а значит, аар = 0. Аналогично, из (3)д получаем ар = 0.

Таким образом, условия (3) можно переписать так:

а) Барг = 0 ; б) аар = 0; в) ар = 0 ; г) ар = ^Ба3р + iSp (4)

и ф.к.с.

Пусть теперь гиперповерхность N будет минимальным подмногообразием эрмитова подмногообразия M6 с O . Критерием минимальности является условие [14]:

gpsaps = 0, p, s = 1, 2, 3, 4, 5.

Матрица контравариантного метрического тензора гиперповерхности N имеет вид [8]

(gps) =

( 0 0 0 1 01

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

V 0 1 0 0

17

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

В силу вышесказанного для гиперповерхности Кенмоцу N эрмитова подмногообразия M6 с O

gpS°ps = g^ daß + g~Hdß + g"Hdß + g^ daß + g

- naß

aß

aßr

aßr

33,

aß

aß

= naß

aßr

^ °äß + ^ vab + g

33,

Из (4) следует

g*

a„s = i42Ba3a + 2i-i4lBa3 -2i + d„ = d„.

ps

'33 = d33 .

Поэтому gps&ps = 0 « а33 = 0. Последнее равенство означает, что ст(<?,£) = 0 .

Итак, гиперповерхность Кенмоцу N эрмитова подмногообразия M6 с О минимальна в том и только том случае, если = 0 ,

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Гиперповерхность Кенмоцу 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли минимальна в том и только том случае, если ее типовое число равно четырем. Доказательство.

1. Пусть N - минимальная гиперповерхность Кенмоцу эрмитова подмногообразия M6 с О . Тогда в силу условий (4) и доказанной теоремы 1 матрица второй квадратичной формы гиперповерхности имеет вид

(dps )

0

0 d ~

0 aß

0 0 0 0 0

0 0

daß 0

Поскольку daß = d , получаем, что rang(dps) = 2rang(aäß).

Теперь воспользуемся выражениями для компонент тензора Кириченко 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли [7]:

Babc =sabhD

S

hc,

33

33

18

М.Б. Банару

где Dhc =±Tlc + iThc. Здесь {Th^} - комговенш конфигурационного тензора эрмитова подмногообразия M6 с O [15]; <р = 7,8 ; eabc = е^С, siéc =е1]С - компоненты тензора Кронекера третьего порядка [16]. Вычислим все компоненты «блока» (&ар) с помощью условия (4г):

ah = ai = iyflB13! + iô\ = i4l(-^el3ïDn) + i = -iD12 + i ;

'22 =CT2 = ^ 2B 2 + "2 = ^ е D/2 =&2 = iV 2B132 + i"1 ' '

a^ =ст2 = i4ÏB 232 + iô2 = iV2(-^ е23/ Dr2 ) + i = iDr

= a1 = iV2B132 + i"1 = iV2(-^ e13r Dn) = -iD22 ;

12 ~2 """ 2 ■~2

Г.

. +

CT1 = CTi2 = i-JlB231 + i"i2 = /'л/2(—^ е23уDn) = iDii.

21 ^ """

Покажем, что матрица (с ар) не может быть вырожденной. В самом деле

= (-Д2 + ООА2 +О - (-ВДО'А:) = = (А2 -1)(-12 +1) - -1-22 = (^12)2 - -„-22 -1 .

В силу того, что для эрмитова подмногообразия М6 с О справедливо тождество [7] (012)2 = 0ц022, получаем det(стар) = -1 ф 0.

Итак, матрица (сар) не может быть вырожденной, ее ранг равен двум, и поэтому та^(ар:1) = 4, т.е. типовое число гиперповерхности

N равно четырем.

2. Если же гиперповерхность Кенмоцу N эрмитова подмногообразия М6 с О не является минимальной, то типовое число, согласно условиям (4), будет вычисляться так: t = 2rang(с¿cр) + 1. Следовательно, I - нечетное число, поэтому оно не может равняться четырем.

Следствие 1. Минимальная гиперповерхность Кенмоцу эрмитова подмногообразия М6 с О не может быть вполне геодезической.

Естественно поставить вопрос: а может ли минимальная гиперповерхность Кенмоцу N эрмитова М6 с О быть его вполне омбилическим подмногообразием?

Если допустить, что ответ на этот вопрос утвердительный, то тогда

19

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

dps =lgps, к- const ,

и, учитывая условия (4), получим Л = 0, что противоречит следствию l. Таким образом, справедливо следствие 2.

Следствие 2. Минимальная гиперповерхность Кенмоцу эрмитова подмногообразия Mб с O не может быть вполне омбилической.

Если же исключить требование минимальности для вполне омбилической гиперповерхности Кенмоцу 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли, то снова в силу условий (4) получим

стзз =2, -iD12 + i = 2, iD12 + i = 2, iD11 = 0 , -iD22 = 0 . (5) Из еоотношений (5) вытекает, что D^ = 0. Таким образом, если допустить, что через каждую точку M б проходит вполне омбилическая гиперповерхность Кенмоцу, то условие

Dj = 0 (6)

выполняется в каждой точке M б . Но условие (6) есть критерий ке-леровости для 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав [7]. Доказана

Теорема 3. Если через всякую точку 6-мерного эрмитова подмногообразия M б алгебры Кэли проходит вполне омбилическая гиперповерхность Кенмоцу, то M б - келерово многообразие.

Список литературы

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 469 с.

2.Харт Н. Геометрическое квантование в действии. М.: Мир, 1985. 344 с.

3. Kiritchenko V.F. Sur la gèomètrie des variètès approximativement co-symplectiques // C.R. Acad. Sci. Paris, 1982. Ser. 1. Vol. 295. №12. P. 673 -676.

4. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lect. Notes Math. 1976. Vol. 509. P.1 - 145.

5. Kenmotsu K. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tôhoku Math. J. 1972. Vol. 24. P. 93 - 103.

6. Кириченко В.Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу // ДАН. 2001. Т. 380. № 5. С. 585 - 587.

7. Banaru M. Six theorems on six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra // Изв. АН Республики Молдова. 2000. Т. 34. № 3. С. 3 - 10.

20

М.Б. Банару

8. Idem. On six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra satisfying the G-cosymplectic hypersurfaces axiom // Annuaire de l'universite de Sofia «St. Kl. Ohridski». 2000. T. 94. P. 91 - 96.

9. Он же. Две теоремы о косимплектических гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Сер. мат. 2002. №1. С. 9 - 12.

10. Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей // Математический сборник. 1998. Т.189. №1. С. 21 - 44.

11. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 141. P. 465 - 504.

12. Кириченко В.Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных симметрических подмногообразий алгебры Кэли // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. 1994. № 3. С. 6 - 13.

13. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quaternionic space form // Tsukuba J. Math. 2000. Vol. 24. P. 127 - 132.

14. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Изд-во ГИТТЛ, 1956. 260 с.

15. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois J. Math. 1966. Vol. 10. № 2. P. 353 - 366.

16. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: Изд-во ИИЛ, 1960. 216 с.

M. Banaru

ON KENMOTSU HYPERSURF ACES IN SIX-DIMENSIONAL HERMITIAN SUBMANIFOLDS OF CAYLEY ALGEBRA

It is proved that a Kenmotsu hypersurface in a six-dimensional Hermitian submanifold of Cayley algebra is minimal if and only if its type number is equal to four. It is also proved that a Kenmotsu hypersurface in a six-dimensional Hermitian submanifold of the octave algebra cannot be totally umbilical.

УДК 514.75

О.О. Белова

(Калининградский государственный университет)

СВЯЗНОСТИ ТРЕХ ТИПОВ В РАССЛОЕНИИ НАД ОБЛАСТЬЮ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

В проективном пространстве рассмотрена область, описанная точкой. Над областью возникает главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности точки.

21