CC BY
4
О. О. Белова
УДК 514.75
О. О. Белова
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИНДУЦИРОВАННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ ГРАССМАНОПОДОБНОГО МНОГООБРАЗИЯ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В п-мерном проективном пространстве исследуется грассманоподобное многообразие Gr*(m,n) центрированных плоскостей размерности m. Осуществлен аналог сильной нормализации Нордена данного многообразия. Эта нормализация индуцирует связности 1-го и 2-го типов в расслоении, ассоциированном с многообразием Gr (т, п) . Эти связности геометрически интерпретируются при помощи центральных проектирований и параллельных перенесений.
Отнесем п-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {А, А1} (I, ... = 1, ..., п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dA = 9А + ю1А1, dAI = 9А1 + ю]А., +ю1А,
причем формы Пфаффа ю1, ю1, ю] удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n):
Бю1 = ю] лю], Бю1 = ю] лш], Бю] = юК люК + 5]юк люк + ю] лю1.
В пространстве Рп рассмотрим грассманоподобное многообразие Gr* (т, п) центрированных т-мерных плоскостей Ь*т .
13
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
При помещении вершин A, Aа на плоскость Lm и фиксации центра А (здесь и в дальнейшем индексы принимают значения: а, ... = 1, т ; а, ... = т +1, п ) уравнения грассманоподоб-ного многообразия центрированных плоскостей будут выглядеть следующим образом:
^ а да а д аЬ а Ю = ЛаЮ + Ла Ю Ь ,
где Лаа, Лаа — некоторые функции. Грассманоподобное многообразие Gr*(m,n) центрированных плоскостей имеет размерность dim Gr*(m,n) = (n - m)(m + 1).
Замечание. Компоненты фундаментального объекта Л = {Лаа, Л^} удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм юа , Ю
ал; +лаьюь +< - о, длаь - о.
Над многообразием V* = Ог*(т,п) возникает главное расслоение 0*(У*), типовым слоем которого является подгруппа стационарности О* центрированной плоскости . В главном расслоении О(^) задается фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву:
~ а а уа а т ас а ~а а у а у т аа у
ЮЬ = ЮЬ -ГЬаЮ - LЬ аЮР=ЮР-ГРуЮ - Lву^
~ а а уа „ в таЬ в
Юа=Юа-ГавЮ - Lав^
ю =Ю -L юа-ПЬ юа, Ю =Ю -L вюв-Павюв.
а а аа аа Ь ' а а ав ав а
Согласно теореме Картана — Лаптева [1], связность в ассоциированном расслоении О(^) определяется с помощью поля объекта связности [2]:
у _ /уа т ас уа т аа уа т аЬ т угЬ т уга }
1 _ I1 Ьа , LЬа , ву ,Lву , 1 ав , ав , ^а^аа, Lав ,11 ав }
на базе V . 14
О. О. Белова
Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [3] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (п-т-1)-плоскостью Рп-т-1, не имеющей общих точек с
плоскостью Ь*т, и (т-1)-плоскостью Рт-1, принадлежащей
плоскости Ь*т и не проходящей через ее центр. Плоскость
Рп-т-1 зададим совокупностью точек ВЬ = АЬ + ЯаЬАа + ЯЬА , а
плоскость Рт . — точками Ва = Аа + ЯаА.
111—1 а а а
Теорема 1. Аналог сильной нормализации Нордена грасс-маноподобного многообразия Gr*(m,n) позволяет задать связности двух типов [2; 4] в ассоциированном расслоении.
Находим дифференциалы базисных точек оснащающих плоскостей:
dвa=е ва+к++ я>а)вр+(д^а+Юь+ях —
—юв — ГрЯЬХ)Ва + [ДЯа + Яааюа + Юа — ^ю13 — Яр^аю^ — (1) —(ДЯЬ +ЮЬ +Яаюа — ЯЬЯ;Ю3 — ЯЬ^Ю3 — я; ЯЬюЬ)Яа]А;
£ЮЬ )Вь
dв4 =е в, + (юЬ + Яа юь +я а Ях+Ях )Вь +
+ (Я а юЬ+юЬ )Ва+ (2)
+ [ДЯа — ЯаЯьюЬ + юа + (Я.Яь — ЯаЯь^)юЬ + ^ — Яь^Ъ)юЬ]А .
Дадим геометрическую характеристику индуцированным связностям с помощью отображений.
0 0 Ь 0 ьа
Теорема 2. Простой подобъект П = } объектов
01 02
связности Г, Г [2; 4] характеризуется центральным проектированием плоскости Рп—т—1 + dPn—т—1, смежной с оснащающей плоскостью Рп—т—1, на исходную плоскость Рп—т—1, из центра — образующей плоскости Ь*т
Г1: Рп—т—1 + dPn—т—1 Рп—т —1 . (3)
15
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Доказательство. Плоскость Рп-т-1 задается системой точек Ва , дифференциалы (1) которых приводятся к виду:
п в 01 01
ава =уВа +й а Вв +укл + , (4)
где у=е-( ла ха)ша-льа «а, ^
Проекция (3) плоскости Рп-т -1 + dPn-m -1, смежной с плоскостью Рп-т-1, на плоскость Рп-т-1 из центра — плоскости Ь*т
0 в
определяется формами связности й а, которые выражаются с
0
помощью подобъекта Г1 .
Теорема 3. Оснащающую плоскость Рп-т-1 в групповой
01
связности 1-го типа Г переносить параллельно нельзя.
Доказательство. Приравнивая нулю компоненты ковари-
01 01
антных дифференциалов УЯа = 0, = 0 в (4), получим
0
dB(x = уВа + й а Вр, т. е. плоскость Рп-т -1 остается на месте.
Теорема 4. Плоскость Рп-т-1 переносится параллельно в связ-
01 0 а 0 0а 0аа 01а 01аЬ ности, определяемой подобъектом Г2 = {ГЬа,ЬСа,Грт,Гар,ЬХр}
01
объекта связности Г, тогда и только тогда, когда она смещается в плоскости Рп-т = [Рп-т-1, А], являющейся аналогом
нормали 1-го рода Нордена [3].
Доказательство. Преобразуя дифференциалы (2) точек В , учитывая в них выражения точек Ва и охваты 1 -го типа [2], получим
01 01 01 dBx = (•••)Вв +У^аВа + (У^ У^)Л. (5)
16
О. О. Белова
Из выражений (5) видно, что обращение в нуль ковариантного
01
дифференциала УА^, характеризует рассматриваемый парал-
01
лельный перенос в связности, определяемой подобъектом Г2
01
объекта связности Г, при котором плоскость Рп_т _1 смещается в плоскости Рп_т.
Теорема 5. Плоскость Рп_т-1 переносится параллельно в линейной комбинации [5] связности 1-го типа тогда и только тогда, когда она смещается в гиперплоскости Р = Р © Р
Гп_1 т _1 ^ Гп_ т_1 •
Доказательство. Из выражений (5) следует, что обращение в нуль линейной комбинации ковариантных дифферен-
01 01 01
циалов = УАа _ Аа УА^, характеризует рассматриваемый параллельный перенос в линейной комбинации связности, при котором плоскость Рп_т_1 смещается в гиперплоскости Рп_1.
Список литературы
1. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
2. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грас-сманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. № 5 (52). С. 18—20.
3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
4. Белова О. О. Связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. № 38. С. 6—12.
5. Шевченко Ю. И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Диф. геом. многообр. фигур / Калинингр. ун-т. Калининград, 1987. № 18. С. 115—120.
17
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
O. Belova
THE GEOMETRICAL CHARACTERISTIC FOR INDUCED CONNECTIONS OF GRASSMAN-LIKE MANIFOLD OF CENTRED PLANES
Grassman-like manifold Gr*(m,n) of centred m-planes is considered in the projective space Pn. Analog of Norden's normalization is made. This analog induces the connection of 1-st and 2-nd types in the fibering associated with the manifold Gr* (m, n).
Geometrical interpretation of the connections of two types in the fibering over the Grassman-like manifold of centred m-planes is given by means of mappings and parallel displacements.
УДК 514.75
С. Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт им. Ф.Ф. Ушакова, г. Калининград)
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ S-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Продолжается изучение нормальных связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей 1-го и 2-го рода базисного Л-подрасслоения данного S-распределения [1—5], оснащенного в смысле Нордена — Картана [2] и Нордена — Бортолотти [5—7]. Выясняются аналитические и геометрические условия вырождения различных подгрупп этих связностей в одну связность.
Схема использования индексов такова:
J,K = 1,n; J,K = 0,n; p,q,t = 1,r;
u, v, w = r + 1,n -1; a = m + 1,n -1; U,V = r + 1,m.
В данной работе мы применяем обозначения и охваты геометрических объектов, построенных в работах [1—5]. Кроме
18
