CC BY
4
УДК 514.75
О. О. Белова
(Российский государственный университет им. И. Канта)
СВЯЗНОСТЬ 2-го ТИПА В РАССЛОЕНИИ, АССОЦИИРОВАННОМ С ГРАССМАНОПОДОБНЫМ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В п-мерном проективном пространстве исследуется грассманоподобное многообразие Ог*(ш,п) центрированных плоскостей размерности ш. Осуществлен аналог сильной нормализации Нордена данного многообразия. Доказано, что эта нормализация индуцирует связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с многообразием Ог (ш, п).
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А1} (I = 1,п ), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
<1А = 0А + ю1А1, <1А1 =0А1 + ш|А, +ю1А,
причем формы Пфаффа ш1, ш1, ш, удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п)
Эш1 =ш: лш,, Эш1 = ш, лш,, Эш, = шК лшК + 5,шк лшк + ш, лш1.
6
О. О. Белова
В пространстве Рп рассмотрим грассманоподобное многообразие Ог* (т, п) центрированных т-мерных плоскостей Ь*ш. Помещаем вершины А, А а на плоскость Ь*т и фиксируем центр А (здесь и в дальнейшем индексы принимают значения: а, ... = 1, т ; а, ... = т +1, п ). Уравнения
„ а да а . д аЬ а ю = ЛаЮ + Ла ЮЬ ,
где Лаа, < — некоторые функции, являются уравнениями [1] грассманоподобного многообразия Ог* (т, п) центрированных плоскостей.
Компоненты фундаментального объекта 1-го порядка Л = {Лаа, Ла(Ь} удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм юа , юа
АЛ^+Л*шь 0, ААа,Ь - 0.
Предложение 1. Фундаментальный объект 1-го порядка Л грассманоподобного многообразия Gr*(m,n) образует квазитензор, содержащий подтензор Л^. Обращение подтен-зора Лаа в нуль характеризует такие грассманоподобные многообразия, у которых центр А описывает (п-т)-мерную поверхность с уравнениями ша = Лааша.
Над многообразием V* = Gr*(m,n) возникает главное расслоение G*(V) со структурными уравнениями
Бша = шр лю; + Ларшр лю^ +ЛарьшЬ Л<,
Ша Ь а , В а а
„ = ш лшь лю„ +ш лш ;
a а ь a р a j
эшь =шь лша +шьалша+шьсалша, Бшалша +ша лш' +шата лш^, оша = ш а лшь +ша лш; +шаР лшр +шаьр лшь,
D^ =шЬ лшь +ша лша , 0ша =ша лша + < лшр ,
7
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
где
< =5 ь л>с +5 ь ша+л>ь, ш;: =5 ь л: ше -5ь < +л: шь,
=5;л>а +5^ +5>в, = 5:ль;ш; +5>в, (1) ш:Р=л>а, «X ша.
Типовым слоем данного расслоения является подгруппа стационарности О* центрированной плоскости Ь*т. Главное расслоение 0*(У ) содержит следующие фактор-расслоения: плоскостных линейных реперов со слоевыми формами ш Ь, нормальных линейных реперов (слоевые формы ш^ ) и аффинное фактор-расслоение («Ь, ю^ , ), типовым слоем которого служит аффинная фактор-группа [2] группы О*.
В главном расслоении О (V ) задается фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву:
шь -гх - вд, ш а =«а -Г^ - ц>а, ш: =ша -г>в - ь>ь, =ша - ьах -п ьх,
ш : =ш: - Ь:ршР -П Ьрш ^ .
Согласно теореме Картана — Лаптева [3] связность в ассоциированном расслоении О*(У*) определяется с помощью поля объекта связности
т-" _ /Т^а Т ас у: т :а ра т аь т ТГ^ Т ТТа \
Г = ь: , Ьь: , Г ру , ЬвУ , Г :р , Ь:р , Ьа: , П а: , Ь:р , П:в }
на базе V* следующими сравнениями:
АГьа: + Ь>с -шь: - 0, АЬ- - ш £ - 0, АГ^ + Ц> а - ш £ - 0,
аь:р; -ш:; - о, аг:р+ь>ь+(5 ь г:р -5:гьар )шь -ш:Р - о,
АЬ- + (5 СЦЪр -5: ЬаСв)ш! -ш:ьв - о, АЬа: + (П ^ + Г* )ш ь - 0,
"': в V с : в : с в' у : в ' а: V а: а: ' ь
гь 'т;ьш +5ьш
а: с а :
АП ь:+ Ь>с +5 ь ш:- 0, (2)
АЬ :в + (П :в +Г:ав )ш а - Ьавш: + Г> у - 0,
ап :в+ ь>ь -п х+ь>т- 0.
8
О. О. Белова
С учетом обозначений (1) получаем
Предложение 2. Объект групповой связности Г образует квазитензор лишь в совокупности с фундаментальным объектом 1-го порядка Л ; квазитензор {Г, Л} содержит три простых [2]
подквазитензора {Гьаа,ЬЬ,Л}, {Г" ,Ц;,Л}, {П^,1^,Л*}, в
которые входят два подквазитензора {Ьаьсь, ЛаЬ }, {Ь1^, ЛаЬ } с
общим подтензором Л^.
Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [4] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (п-т-1)-плоскостью Рп-т-1, не имеющей общих точек с
плоскостью Ь*т, и (т-1)-плоскостью Рт-1, принадлежащей
плоскости Ь*т и не проходящей через ее центр. Плоскость
Рп-т-1 зададим совокупностью точек Вь = А ь + Хаь Аа + Хь А, а
плоскость Рт , — точками В а = А а + Х а А .
т—1 а а а
Находя выражения для дифференциалов точек В ь, В а и учитывая относительную инвариантность оснащающих плоскостей, получим дифференциальные уравнения компонент оснащающего квазитензора Х = {Хаь, Хь, Ха}:
+ х>ь — Х>Ь + а а = Х>р + Х> ь,
+ ХаШа — ХРШЬ + Шь = ХьУ +Х Ь^^ (3)
аХа — Хь®ь + =Хаа®а +Хьаа®Ьа .
Внося формы связности в данные уравнения, найдем выражения компонент ковариантного дифференциала объекта X относительно групповой связности, задаваемой объектом Г, через ковариантные производные
УХаа = урх>р + уьХ>ь, УХь = У^ш" + VаХь^а,
УХ а ^ьХ а аЬ + V ЬХ а ШЬ , где компоненты ковариантного дифференциала имеют вид:
9
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
УГ": = аГ: +Яь: шь -Х^ ^¿С УГ: = + Г:^ -Гв®: + Ю:, УГ а = а -Г ь ®ь + ш : ,
а ковариантные производные выражаются по формулам
Ул а л а л ь т—> а I Л а т-1 У "Г"" а
вГ: = Г:в - А:Г ьв + АуГ :в - Г :в
Уь л а лаь Л с т аь . л а т Гь таь
вГ: =Г:в -Г:Ьсв + ГЬ:в - Ь:в ,
УвГ: = Г:в - Га:Ьав + Ч^в - Ь:в ,
ув Г:=х: в-гь: п ьв+гт ь^в-п: в,
У Г =Г + ГьГь -Ь , У" Г = Г + Г Ьсь -пь .
: а а: ь а: а: ' : а а: с а: а:
Продолжая дифференциальные уравнения (3), получим следующие сравнения:
АГа:в + Г> ь -Гь: шьв +Гатш1в -шОр - 0,
Ага:в-гс: шсь +г>:ьв-ш:ьв- 0,
АГ:в+Х : вша + Гуш^ + Г: вша - 0, (4)
АХ : в+ТХав+Г:>ь +Га: шв- 0,
АГ а: + Г! ш ь + Г ь шь: - 0 , АГ^ + Г с ш £ +5 ь ш: - 0.
Используя дифференциальные сравнения (4), находим дифференциальные сравнения для ковариантных производных
АУвГа: +Уь Га: шь - 0, АУь Га: - 0, АУвГ: + (Ув ^ +УвГа:)ша - 0, АУв ^ +Ув шь - 0, АУ:Г а +У ь Г а шь - 0, АУ ь Г а - 0. Предложение 3. Совокупность ковариантных производных УГ = {УвГа:, Уь Га:, УвГ:, Ув Г:, У^ а, У : Г а} оснащающего квазитензора Г образует тензор, содержащий три простых {УвГа:, уь Га:}, {Ув Г:, Ув Г:}, {У^ а, У: Г а} и два простейших УьГа:, У:Га подтензора.
10
О. О. Белова
Приравняем компоненты тензора УА нулю, тогда
2 а 2 аЬ
_ та '^Ьу'а.лат-' ^ Т _ ^аЬ ^стаЬ.лат АЬ
ав = Аар -АаГЬр + АуГ ар , Ьар = Аар - АаЬср + АуЬар :
2 а
Ьар = Аар - АаЬар + АуГСр , Пар = Xар - АаПЬр + АуЬар
2 Ь 2 Ь ь ь
Ьаа = Ааа + АЬГаа , Паа = Ааа + АсЬаа •
0
Подставим в эти выражения охват Г [1]:
0 а 0 ас г =-5аА + цаА. +8ацсА т , =5сАа -(5аЛес +5еЛас)А
1 Ь а Ь а г^а Ь Ьг*а с? -1-^Ьа Ь а V Ь а Ь а' е?
0 а 0 аа
I-ру = -8^Ар -8САт +8рцтаАа, Ьру =-8^Аар -8САь;Аь,
где ца =Ааа-Лаа. Получим:
02 а ь 02 аЬ ь ь ь
Гар = Аар - ЦрАаАЬ - АрАа , Ьар = Аар + Лр А<а Ас - 2АрАа ,
02 к 02 Ь
т = А -А А + 2цЬА А. , П =АЬ +8ЬА Ас -2ЛсЬА А ,
1-^аа аа а а г~а а Ь' Паа аа а с а а а с'
02 а а а а Ь Ь ар = Аар - Аа А ар + Аа А а Ар - 2АаАр + АаА а Цр - 2А а А Ь Аа Ц|3 ,
02 а ~
Пар = Аа р - ЛЬа А Ь (Аа - 2Аа А с ) - АрАа - АЬрАа - Аа АЬрА Ь • (5)
Функции (5) удовлетворяют сравнениям (2), следовательно, справедливы
Теорема 1. Аналог сильной нормализации Нордена грасс-маноподобного многообразия V* = Ог*(ш, п) позволяет задать в ассоциированном расслоении О*^*) многопараметрический пучок связностей 2-го типа
2 2а2аЬ2 2а2 2 Ь
Г = { Гьа , ЬЬа , Гру , Ьру , Гар , Ьар , Ьар , Пар , Ьаа , Паа } • Теорема 2. Аналог сильной нормализации Нордена грасс-маноподобного многообразия V* = Ог*(ш,п) индуцирует связность 2-го типа
02 0 а 0 ас 0 а 0 аа 02 а 02 аЬ 02 02 а 02 02 Ь Г = { ГЬа , Ььа , Гру , Ьру , Гар , Ьар , Ьар , Пар , Ьаа , Паа } •
11
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Список литературы
1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грасс-маноподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары. 2006. №5 (52). С. 18—20.
2. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
O. Belova
THE CONNECTION OF THE 2-ND TYPE IN THE FIBERING ASSOCIATED WITH GRASSMAN-LIKE MANIFOLD OF CENTRED PLANES
Grassman-like manifold Gr*(m,n) of centred m-planes is considered in the projective space Pn. Analog of Norden's normalization is made. It is proved, this analog induces the conection of the 2-nd type in the fibering associated with the manifold Gr* (m, n).
УДК 514.76
К. М. Буданов
(Пензенский государственный педагогический университет)
ЛИФТЫ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ И ФУНКЦИЙ В РАССЛОЕНИЕ ВЕЙЛЯ НАД СПЕЦИАЛЬНОЙ АЛГЕБРОЙ ВЕЙЛЯ
Рассмотрен полный лифт линейной связности в расслоение Вейля над алгеброй Вейля специального вида и построены горизонтальные функции, порождаемые дифференциальными формами на расслоении Вейля.
Пусть A — алгебра Вейля высоты 2 и размерности N, Mn — дифференцируемое многообразие размерности n с линей-
12
