CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
3. Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР. 1943. Т. 41. № 8. С. 329—331.
4. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2005. № 4. С. 21—27.
5. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
6. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности // Изв. вузов. Математика. 2003. № 11. С. 70—76.
T. Alenina
REGULAR HYPERBAND DICTRIBUTION IN THE SPACE OF AFFINE-METRIC CONNECTION
The work is devoted to studying the dual spaces of affine-metric connection on the regular hyperband distribution of m-dimensional line elements H in the space of affine-metric connection.
УДК 514.75
О. О. Белова
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ СВЯЗНОСТИ В РАССЛОЕНИИ НАД ГРАССМАНОПОДОБНЫМ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Рассмотрены четыре основных способа продолжений уравнений грассманоподобного многообразия центрированных плоскостей и один обобщающий способ. Найдены структурные уравнения форм групповой связ-
18
О. О. Белова
ности в главном расслоении, ассоциированном с грасс-маноподобным многообразием. Получены выражения объекта кривизны групповой связности через компоненты объекта связности, фундаментального объекта 1-го порядка и пфаффовы производные компонент данных объектов. Показано, что в каждом из основных случаев объект кривизны связности является тензором, содержащим 2 простейших и 2 простых подтензора. При использовании обобщающего способа в дифференциальных уравнениях компонент объекта кривизны появляется тензор, названный виртуальным, поскольку он обращается в нуль в основных случаях.
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, Л:} (I, ...= 1, п ), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами [1]
ал = ел+ш1л1 , =ел1 +ю1 л,
причем формы Пфаффа ш1, ш1, ш1 удовлетворяют структурным уравнениям Картана для проективной группы ОР(п)
Вш1 = ш: лш1, Вшш = ш| лш, Вш1 =<к лш^ +51 <лшк +< лш1. (1)
В пространстве Рп рассмотрим грассманоподобное многообразие Ог*(ш,п) [2] центрированных т-мерных плоскостей
Ь*т. Грассманоподобное многообразие Ог*(ш,п) центрированных плоскостей имеет размерность (т+1)(п-т), совпадающую с размерностью многообразия Грассмана Ог(ш,п).
При помещении вершин А, Аа на плоскость Ьт и фиксации центра А (а, ...= 1, ш; а,... = ш + 1,п) уравнения грас-сманоподобного многообразия центрированных плоскостей выглядят следующим образом:
19
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ша = Л>„+ЛааЪш„, (2)
где Л = {ла, лаь} — фундаментальный объект 1-го порядка многообразия V* = Ог*(ш,и) . Дифференцируя уравнения (2) внешним образом, получим
а + ш„)ла*+АЛ? ла;+л;лХлИ; + (3) + Л»С л а; = 0,
где, например,
АЛа„ = ёЛа„ + ЛС„ша + Ла„СшЪ -Лар ш„.
В равенствах (3) можно группировать слагаемые четырьмя основными способами. Способ 1.
(АЛа„ + Ла„ шь + ш„ — ЛрЛ^Ш;) лш„ + (АЛ„ + Ла„ЛЪрс ш^ ) лш„ = 0. Разрешаем по лемме Картана:
АЛа„ + Ла„ шь + ш„ — Лр ЛХ =Л1„ р шр + Л1„Ьр шьр, (41)
АЛа„ + ЛааЛЬрс шсс = Л1„ьр шр + Л1„ЪрС шср, (51)
причем выполняются условия симметрии
Л1а„ и=о, Л1 *—Лха;„ = о, Л1а ^=о, (6)
где I = 1,4 и квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам или их парам.
В уравнениях (41, 51) переносим слагаемые, содержащие базисные формы, в правую часть
АЛа„ + Ла„ шь + ш„ = Л1„ р шр + (Л1„Ьр +ЛарЛь„ )ш;, (4' 1)
+ЛашЪ +ш„ =Л1„ р ш + (Л1„ р + Л рЛ„ )шЪ
АЛа„ =Л1„Ършр + (Л1„ЪрС — ЛааЛЪрс)шС . (5' 1)
Продолжая эти уравнения, получим
20
О. О. Белова
ДЛ1 аар + (Л1 аъ;+Л1 - 0,
дл^+(Л1а^ -ла л;ъ -ла л; -ла л; -Л^ ш+
+ (3%ла-8?алаЪр )шу- 0, дма;+(л1аъ -л^лаъ -л^-л;лас -ла л; ш + (71)
+да;-зулаш 0, дл1 а; - (лаь л; +лаЪл;к+(¿;л;ъ +з;л;к + +(зе° лсь лас - 0,
где символ - означает сравнение по модулю базисных форм
ш , ш
а Ь .
Способ 2.
(дла +л^ шь +ша) лша + (^ +Лaа Л>Р +Лaа лЬ;с ЮР ) лшЬ = 0. Разрешаем по лемме Картана:
дл; +Л;:Ь шь +ша =л2а у +Л2>Ь, <42>
^ +л;+л;л;шср =Л2>;+Л2аbpcшср, (52)
причем справедливы условия (6) при 1=2. Преобразуем уравнения (52)
дл£ = (Л2abf5 -л;Ль )ш; + ^ -Л"ал"рс)ШcC. (5'2) Продолжая уравнения (42), (5' 2), получим
дл2аР+^+Л2а1; -л^ -ла ль )шь - 0, дл2а,р+(Л2а; -ла л; - ла лсрьк+еда -зуло^ +
+Ль ш; +Л;Шь - 0, дл2а,'р+ад; -л^ -л^к+(зул; -5;ла>у + (72)
+лх+ла ль- 0, дл2а^? - (леаьл;+лabле!с)ше+(з^+зе л; )ша + + (зе лсь+ЗЬ лас )ш; - 0.
21
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Способ 3.
(АЛа„ +Ла„ Шъ +ш„ —ЛарЛЪашЪ) лш„ + (АЛа„ — ЛарЛс„ юр ) лш„ = 0. Разрешаем:
АЛа„ +ЛаЪШ; +Ш„ —ЛарЛЪашЪ = Л3„ рШр +Л3„ЪршЪ , (43)
АЛ„ —ЛарЛсаЬ шС =Лз„Ър шр +Л3аЪС шС, (53)
причем выполняются условия (6) при I=3. Преобразуем уравнения (43, 53)
АЛа„ +ЛаЪ Ш; +ш„ =Л3„ р Шр + (Л3„Ър +ЛарЛЪ„ )шЪ , АЛа„Ъ = Л3„ЪрШр + (Л3„ЪС + ЛарЛсаЬ)шС .
Продолжаем эти уравнения: АЛ3„ р + (Л3„Ъ +Л3„Ър)шъ - о,
АЛ3„Ъ + (Л3„СЪ — Лс„ЛарЪ —ЛЪаЛарс )шс + (8^Ла„Ъ —8аЛарЪ)шу- 0, АЛ3„Ър + (Л3„Ъс —ЛсрЛааЪ —ЛЪрЛас)Шс + (§„ЛарЪ —§ &Ла>у - 0, (73) АЛ3„Ъс — (Ле„ЬЛарс +Ла„ЪЛерс —Ла„ ЛЪрс —ЛареЛсаЬ)Ше +ЛарЪШ„ +
+ Л>Ъ - 0.
Способ 4.
(АЛа„ +Ла0Ъ ШЪ +ш„ ) лша + (АЛа„ + Ла„ЛЪр шр — ЛарЛс„ шр ) лш„ = 0. Разрешаем:
АЛа„ +Ла„Ъ шъ +ш„ = Л4„ р шр + Л4„Ър шЪ, (44)
АЛа„Ъ + Ла„ЛЪр шр — ЛарЛ„ шС = Л4„Ър шр + Л4„ЪрС шС, (54)
причем справедливы условия (6) при !=4. Преобразуем уравнения (54)
АЛаЪ = (Л4„Ър —ЛааЛЪр)шр + (Л4„ЪрС + ЛарЛс„)шС . (5'4) Продолжая уравнения (44, 5 ' 4), получим
22
О. О. Белова
дЛ4ар + (Л4а^ +Л4аbp -Л^а -Лаал' К - 0, дл4а,р+^а?-лса л?+ларл1ас к+^-зулр^шр+
+ лЬ шр +Ларша - 0, дл4а,р+(Л4а1рт -л^+лаа лр )ш0+(зулр' - зрла^)® у + (74) + Л>рша +ЛаашЬ - 0,
дл4ар - (леьларс+ла^лр0+лаае лЬС+лрела>е+лрч+ +лО^юЬ - 0.
Обобщающий случай.
длаа +л£Шь +<а =Лааршр + Л>Ь , длОЬ =Л "рш^Л-шС, где только Л^ = 0. Продолжения имеют вид
длаар + (Л^р +Лар -ль Лар)<ь - 0,
длОр + (ласр-ЛсалО>с + (8рла0? -5УлРь)шу +
+ Л1ашр +ЛарШЬа - 0, длаар + (Лар -лрлО- -л?лр -л^лас)шс + (врл? - (75)
-5рлaаb)шр- 0,
длаазс - (леЬлрс + ло^ле0+лае лр к +лрч + +(зе лСЬ+зЬ лас н - 0.
Утверждение. Фундаментальный объект 1-го порядка Л = {Лр, ЛРь} является квазитензором, содержащим тензор {Ар'}.
При указанной специализации подвижного репера структурные уравнения (1) принимают вид
23
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Бш„ = ш р л (ш„ + Л^ш„ ) + ш)р л ЛаЪш„, Бша=шЪ л (5а ша—5„шЬ) — шалша; БшЪ =шЪЪ лшС + шЪа ла° + шЪС л шС, Вша=штрлша+ш„глшт+шаалш1, (8)
Бша=шЬалшЪ+шалШ+ш^лШ + шаЪр лшЪ,
ОШа = ШЪ лШЪ +Ш„ лШа , ОШа = ш„ лШа + Ш„ лШ р ,
где
шЪа = 5ЪЛ„ШС + 5Ъш„ + Л„ШЪ , шЪСа = 5ЪЛ„Сше — 5Ъш„ + Л>Ъ , ш„ = 5„Л;Ша + 5„шт + 5„ш р, ш„а = 5„ЛЪа Шъ + 5„ш ;, ш„р=ЛарШа, ш„Ър =Л аЪш„.
Структурные уравнения (8) показывают, что над многообразием V возникает главное расслоение О (V ), типовым слоем которого является подгруппа стационарности О центрированной плоскости Ьт, причем
ШшО* = ш(ш — п) + п(п +1).
Групповая связность в расслоении О (V ) задается способом Г. Ф. Лаптева [3] с помощью форм
Ь = Ь Ьа ®р =®р -ГРу® "Цу®^
с5а = соа -Га„юр-ЬаЬ„сор, ю =со -Ь соа-Пь<, (9)
а а ар ар Ь' а а аа аа Ь ' V '
®а=®а-Ьар®Р"Пар®а,
где Г = {ГЪа,ЬаЪСа,Г™ ,Г„р,Ьа„Ър,Ьаа,,Ь„р,П„р} — объект групповой связности, компоненты которого удовлетворяют сравнениям, найденным в статье [2].
Подставляя дифференциальные уравнения компонент объекта Г в выражения внешних дифференциалов форм (9), получим структурные уравнения форм связности
24
О. О. Белова
БШЪ = ШЪ л ШС + ИЪарШ™ л шр + КЪСаРша л шС + ЯЪ>а л шё, бш„=шу л ш„+v лш^+ял ша+я„>а л <, эша=®а л ®ъ + ®а л ®а+яаРу®р л шу+я^ л шЪ+ +яаЪСШ лшС,
БШа =ШЪ лшъ + Яаа рШа лшр + кЪ„ рШа лшЪ + КЪа рша лшС,
а =®а лша +Ша лшр + Яа Ру®р л®У + ^ Ру®р л®1 +
+ КаЪруШаа лшЪ,
К а т> аС т> аСё т-> а т-> аа т> ааЪ т-> а т> аЪ т> аЪС •„р ,ЯЪар ,Яасср,Я руа,Я руа ,Я Руа1,Яару ,Яару ,Ясфу,
Яаар ,КЪар ,кЪРр,я ару, кРру ^ру объекта кривизны К- групповой
связности Г выражаются по формулам:
ра _
ЯЪар =
Т? аС —
ЯЪар =
■р аСё _
ЯЪар =
Га +Га ГС
1 Ъ[ар] + 1 С[аГ Ър ],
ГГ„ — ЦС„ — Га ЛС +Га ЬёС — ЦСГС
Ъа
т а Г Сё ЬЪ [ар
Ъ а
Ър^ 1а
ёа^ Ър
^ёрх Ъа'
]+Гъ ^Л ц [ а цр],
р а _ ЯЪар =
Га +Га ГС
1 Ъ[ар] +1 С[аГ Ър],
яаС„ = гаС „ — — га лС + га ьёС — ьа?„ г
Ъар
-р аСё _
ЯЪар =
Ъар
■^Ъра
Ър^ 1а
ёа^ Ър
^ё "'ёр1 Ъа,
Та [Сё 1 + Га Л ^ + Та [Стеё 1
ЬЪ [ ар 1 + 1 Ъ |аЛ р + Ье [а ЬЪр ] ,
па _ яруа
ра Т"1^ Г^а
1 р[ уа] — 1 р[ у1 лаР
■р аа _
я руа =
-р ааЪ _
я руа =
-р'аа т аа ра д а , т Л^Т"1 а ТЛ Т аа
1 руа — Ьрау — 1 ралу + ЬруГ лу — 1 руЬла,
т а Г аЪ "1 . -ра д ГаЪ Т Л Г а Т аЪ "I
Ьр [ уа _ р^Л а — Ьр[у Ьла],
Я„ру =Г
а[ру ]
^Ь д—<а ра
а[р Ъу]
а[р ау]'
аЪ
Я ару
-р аЪС _
Я ару =
ГаЪ — цаЪ — га лъ — ГС Ц
ару аур ау р
та Г ЪС "I . д ГЪС
Ьа[ру_|+1а[рЛ у
ар Су
. ТСЪ Га — га Та
ЬауГ Ср 1 Ь
т аъ га ар ау ау ар
ё Ъ аС а Ъ аС
Ьа[р Ьёу_ — Ьа[р Ьау]
25
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
D _ Т _ pb т
Raa ß La[ aß] 1 a[aLbß],
T^b — Tb _ T"rb _T A^iTcbT Tfb
Kaaß Laaß 11 aßa LaßAa + LaßLca 1 aancß'
Kaaß=na [ aß] + La^ Aß - La [ a1 eß ] ,
R - T -FaT T
Raßy - La[ßy] 1 a[ßLay] 1 a[ßLjy],
Va — T a — FTa — T A a — Fb TTa -i- T Tba 4- T Ja T _ Г^ ГГa
K aßy- L aßy nayß L ayAß 1 aß1 bf T LbßL ay T L ay Ljß 1 aßHy ,
Kabßy-na[ab] + La |ßA ^b]-La [ß П^]-Ц [ß ^y] .
При нахождении дифференциальных сравнений для компонент объекта кривизны R групповой связности Г используются продолжения уравнений компонент объекта связности Г, сравнения (7) и учитываются условия симметрии (6). Эти сравнения для случаев 1—4 имеют вид
ARbaß + RbCaß]®c - 0, AR- ß + 2Rbt>d - 0, ARbCadß - 0,
^ + R0Ty,]®a - 0, AR- - 2Rß>b - 0, AR^Jb - 0, ARaßy+csbRaßy - saRbßy к+ Rabßy - 0, ARabßy+csaR aßy® - saR*н+2RS>0 - 0,
ARi;+csaRSß; - saRaßy к - 0, (10)
ARaaß + CR^aß + K[aß]K - 0, AK^ + (2^ + R^)®c - 0,
AKbCß+ Rd>d - 0,
AR aßy + R^ + CKa[ßy] + Raßy H - Raßy®a - 0, AKaßy+cRbaaßy+2Kbaaßy )®b + - Ka ßy®a - 0,
AKabßy+RO>c+Raay - K>a - 0.
Несмотря на различия продолжений уравнений компонент объекта связности Г и сравнений (71) — (74), дифференциальные сравнения компонент объекта кривизны в любом из четырех случаев имеют вид (10), откуда следует
26
О. О. Белова
Теорема. Объект кривизны Я групповой связности Г в расслоении 0*(¥*) над грассманоподобным многообразием V* = От" (т, п) является тензором, содержащим 2 простейших [4] подтензора {ЯрС^}, {К^} и 2 простых подтензора
Л?а Т?ас т?асП л? а т?^ т?ааЬ \
{КЬар ,КЬср ,КЬСР} , {Кру^ ,Кррц ,Кррц } .
Для обобщающего случая часть дифференциальных сравнений (8) принимает более общий вид:
дКСр+2<>а - (ЗЬМСР+зьаыаср )ша - 0,
д^Р-ЗЬМСРЧ - МС^ШЬ - 0,
дяа;- 2КС>ь -за М'; шь - 0, дяар;-зам;Ч - 0, (11)
;ат} ЦЬ
дкару + - заксру )ш; + 2касррШс - мр^ - 0,
дкару+(зркару - заязру )<; - мррсша - 0,
где
мер =лОр -лра лрлС, мсЬс =Аaаpc]+лГалпр].
ар 1 ар 1 ра 1 ^ 1а э ±у-*-ар _ 1 Чар 1 Ча р J
Компоненты введенного объекта М = {Мр^Мр1^} удовлетворяют дифференциальным сравнениям
дмсЬР- 2мрасшс - 0, дмсЬС - 0 .
Таким образом, М является тензором, содержащим подтензор. Назовем М виртуальным тензором, так как в каждом из четырех рассмотренных случаев он обращается в нуль. Тогда дифференциальные сравнения (11) превращаются в соответствующие сравнения из системы (10).
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. О структурных уравнениях проективной группы // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. № 31. С. 93—100.
2. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей //
27
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. № 5 (52). С. 18—20.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г. и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
4. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
O. Belova
THE CURVATURE TENSOR OF CONNECTION IN THE FIBERING OVER GRASSMAN-LIKE MANIFOLD OF CENTRED PLANES
Four basic ways and one generalizing way of continuations of the equations for Grassman-like manifold of centred planes are considered. The structure equations for the forms of group connection in the principal fibering assotiated with Grassman-like manifold are found. The expressions for the curvature object of a group connection by the components of the connection object, fundamental object of 1st order and phaffian derivatives of the components of this objects are obtained. It is shown, that in every basic case the curvature object of connection is a tensor. It contains 2 elementary and 2 simple subtensors. Using a generalizing way we have a tensor in the differential equations for the components of curvature object. This tensor is called virtual as it vanishes in the basic cases.
УДК 514.75
С. Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт им. Ф. Ф. Ушакова, г. Калининград)
ПЛОСКОСТИ НОРДЕНА — ТИМОФЕЕВА РЕГУЛЯРНОЙ КАСАТЕЛЬНО г-ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Дано задание гиперполосы Hm(r) в репере 1-го порядка и доказана теорема существования. Рассмотрены однопараметрические пучки ТЛ-виртуальных нормалей
28
