CC BY
6
УДК 514.75
Е. Е. Белова1 , О. О. Белова2
2 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия
1 el_liza_belova@mail.ru, 2 olgaobelova@mail.ru
1 ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0762-074X
2 ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1300-9587
doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-6
Об аналоге связности Нейфельда в пространстве центрированных плоскостей с одноиндексными базисно-слоевыми формами
В п-мерном проективном пространстве рассмотрено пространство центрированных плоскостей. Над ним возникает некоторое главное расслоение. В этом расслоении задается аналог связности Нейфельда. Рассмотрен случай, когда одноиндексные формы являются базисно-слоевыми формами. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует данную связность.
Ключевые слова: проективное пространство, пространство центрированных плоскостей, аналог сильной нормализации Нордена, связность Нейфельда.
Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А,А1} (I,... = 1, п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
йА = вА + С А1, йА1 = 6А1 + с/А/ + со ¡А, (1)
причем формы Пфаффа С , с/, со1 удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п) (см., напр., [1]):
Поступила в редакцию 04.02.2019 г. © Белова Е. Е., Белова О. О., 2019
Ва1 =а3 ла'3, Ва1 = а] ла3, Ва] = ] л С + 5\ак лск + с л а1.
(2)
В пространстве Рп рассмотрим пространство П [2] центрированных плоскостей Ь*т . Произведем специализацию по-
движного репера {Л,Ла,Ла } (а,... = 1, т; а,... = т +1, п), помещая вершину Л в центр т-мерной плоскости, а вершины Ла — на центрированную плоскость Ьт*. Из формул (1) следует, что для пространства П формы аа, аа, С являются базисными, Шш П = п + (п - т)т .
Базисные формы удовлетворяют вытекающим из (2) структурным уравнениям (ср. [3])
т~\ а а /~\а , В а т\ а Ь /~\а , а /~\а
Вс = С лП + С лП;, ВС = С Л11ь + с лП„ ,
а ; Ь а' ( з )
ВС = ] лПаВ +аа лП ,
а Ь ар а'
где
Па = -С, пр = П = С, П а = С, Па = -С , (4)
ПрВ =К п;-з; па.
В данном случае формы аа являются базисными, а формы Па = -аа — слоевыми (ср. [4; 5]).
Находим внешние дифференциалы от форм (4):
ВПа = Пь лП; -аа лПI,
вп;=п; лПг+С лп;г+аа лп;-с лп; ,
ВП = ПI л Па + аа л па + ас л ПаЬс + ] л П аа, (5) ВП а = -Пр л П;а + С лП а, ВП а = ПЬ лП ь + С л П а ,
где
^aPr=-s;®r-s;®p, о.;а = s;^a, = -s>c - St®b , = s>a, = -CDa .
Над пространством центрированных плоскостей П возникает главное расслоение L (П) со структурными уравнениями (3, 5), типовым слоем которого является группа Ли L, действующая в касательном пространстве к П, dim L = = (n - m)n + m(m + 2). В главном расслоении L (П) с многомерным приклеиванием [6] зададим аналог связности Ней-фельда [7—9] способом Лаптева — Лумисте.
Введем новые формы:
Qa -Qa т-ia ^^a - 1 a® Va y^b - 1 b ® - T ab a - L a ®b >
- Q a p - Гa ®r 1 Prw Va -1 pa® - L aa®r ^PrW a
Q b - Q b - гa ® a Va „ c - 1 bc® rac a - Lb a ®c
Q - ГP®p fa b - 1 ab® - Lab ®P ap b
q a -Q a - L ®a aa - L h®b - ab -Пb ®a. a a b
(6)
Находя дифференциалы форм (6), получаем, что связность в главном расслоении L (П) задается с помощью поля объекта связности Г={ г: , Га , La , r;r, г;а, L- , Г1, Г1, , ПР, гааь, , Laa, Lab, П^} на базе П уравнениями
аг: - г;Q - LaQ -о 0=га®0+га®+г>',
a a T^a ^ а . a ^ c . T^ac ^. a Аг b = 1 ba® + 1 be® + 1 ba® c ,
\j~ab 7~ab . ~f~ab . Tabc 0
AL = L я® + L ® + L a® ,
a a0 ae a0 e '
аг;7 - гаQ; - La;rQa + aaPr = га® + га® + гаa®,
Аг;а + 8;па = г;у+г;у+г;ъу , - 8аг п; = 1;су + г^У + г;у, Дга - гаЪспс - ^пс + 8ап а = г; + г;у + г;с,
дг;с + 81 пс + 8пъ = г1ауа + г-сУ + гцсо: ,
\тас . осг^а тас „в . тас . тасе ^.^В
Д1Ъа +6Ъ па = Ц,аРУ + Ц,аеУ + Ц,аРу , (7)
дг; - гаъп; - ъ - г;пъ + гу = гу + гу + гу, Дг:ь - гъ п с + г; п; + 61 п а = г; + г;у + гау,
ДЦЪ; + ь%п; - гу = ь^у + ь%у + ^у, Д^аа - ьаЬпьа + (гЬ: - пъаа )пъ = ьау + ьаау + ьЬвО, Д4ь + г саъ пс = ЬаЬа у а + ьаЬу + ьсаЬа у, ДПъ + Ръ п +6ъп = Пъ у; + Пъ У + Пъсур .
аа аа с а а аа; аас аа; с
Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [10] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (п-т - 1)-плоскостью Р„_т-1, не имеющей общих точек с плоскостью Ь*т, и (т - 7)-плоскостью Рт-1, принадлежащей плоскости Ь*т и не проходящей через ее центр. Плоскость Рп-т-1 зададим совокупностью точек В а = Аа + ГаАа + Ла А , а плоскость Рт-1 — точками Ва = Аа + ЛаА . Находя дифференциалы базисных точек оснащающих плоскостей и требуя относительную инвариантность этих плоскостей, получим
Дл; +па - 0, ДЛ„ - л;па -У а - 0, ДЛа -па - 0, (8) где символ - означает сравнение по модулю базисных форм
а а „ а
у , у , у .
Аналог сильной нормализации Нордена, задаваемой полем квазитензора 2 = {Хаа ,Ха ,Ха} на многообразии П, позволяет охватить компоненты объекта связности Г:
Г: =-К, гь = о, Lab = о,
т аа с a ia т~< а с а п т< а с a п с a „„
Lpf = -Г 2 , ГРа = -5р 2 , ГРУ = -5у Лр -5p1^r,
тае см а г* а £а л С а о Т"1 а ,ia-i
Lba = °Ъ Ла , be = -°Ъ Ле - °е ЛЪ , Гba = -°Ъ Vа + К\,
Lp = , Г :Ъ = -Slv a, Гар = -2Kxp, (9)
П1а = -Sa2a , L аЪ = , 4a = -K2b2i , где v а = Ла - • Функции (9) в силу сравнений (8) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7). Таким образом, справедлива
Теорема. Аналог сильной нормализации пространства центрированных плоскостей индуцирует аналог связности Ней-фельда в ассоциированном расслоении L (П).
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
2. Бв1оуа О. Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centred planes // Journal of Mathematical Sciences. 2009. Vol. 162, № 5. Р. 605—632.
3. Белова О. О. Индуцирование аналога связности Нейфельда в пространстве центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 24—28.
4. Белова О. О. Об аналоге связности Нейфельда в пространстве центрированных плоскостей с двухиндексными базисно-слоевыми формами // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2018. Вып. 49. С. 29—35.
5. Бв1оуа О. An analog of Neifeld's connection induced on the space of centred planes // Miskolc Math. Notes. 2018. Vol. 19, № 2. Р. 749—754.
6. Шевченко Ю. И. Об обобщениях проективной связности Кар-тана на гладком многообразии // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физ.-мат. и техн. науки. 2014. Вып. 10. С. 60—68.
7. Нейфельд Э. Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Изв. вузов. Матем. 1976. № 11. С. 48—55.
8. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Изв. вузов. Матем. 1981. № 11. С. 80—83.
9. Малахальцев М.А. О внутренней геометрии связности Ней-фельда // Изв. вузов. Матем. 1986. № 2. С. 67—69.
10. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
Е. Belova1, O. Belova2 12 Immanuel Kant Baltic Federal University
14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia
1 el_liza_belova@mail.ru, 2 olgaobelova@mail.ru
1 ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0762-074X
2 ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1300-9587
doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-6
About an analogue of Neifeld's connection on the space of centred planes with one-index basic-fibre forms
Submitted on February 4, 2019
This research is realized by Cartan — Laptev method (with prolongations and scopes, moving frame and exterior forms). In this paper we consider a space П of centered m-planes (a space of all centered planes of the dimension m). This space is considered in the projective space Pn . For the space П we have: dim П=п + (n - m)m. Principal fiber bundle is arised above it. The Lie group is a typical fiber of the principal fiber. This group acts in the tangent space to the П. Analogue of Neifeld's connection with multivariate glueing is given in this fibering by Laptev — Lu-miste way. The case when one-index forms are basic-fibre forms is considered. We realize an analogue of the Norden strong normalization of the space П by fields of the geometrical images: (n - m - 1)--plane which is
not having the common points with a centered m-plane and (m - ij-plane which is belonging to the m-plane and not passing through its centre. It is proved that the analog of the Norden strong normalization of the space of centered planes induces this connection.
Keywords: projective space, space of centred planes, analogue of Norden strong normalization, Neifeld's connection.
References
1. Shevchenko, Yu. I.: Clothings of centreprojective manifolds. Kaliningrad (2000) (in Russian).
2. Belova, О.: Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centred planes. J. Math. Sci. Springer New York. 162:5, 605—632 (2009).
3. Belova, О. O.: Inducing an analog of Neifeld's connection on the space of centred planes. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 47, 24—28 (2016) (in Russian).
4. Belova, О. O.: About an analogue of Neifeld's connection on the space of centred planes with two-index basic-fibre forms. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 49, 29—35 (2018) (in Russian).
5. Belova, О.: An analog of Neifeld's connection induced on the space of centred planes. Miskolc Math. Notes. 19:2, 749—754 (2018).
6. Shevchenko, Yu. I.: About generalizations of Cartan projective connection on a smooth manifold. IKBFU's Vestnik: Physics, Mathematics, and Technology. 10, 60—68 (2014) (in Russian).
7. Neifeld, E. G.: Affine connections on the normalized manifolds of planes of the projective space. News of High Schools. Math. 11, 48—55 (1976) (in Russian).
8. Norden, A. P.: Projective metrics on Grassmann manifolds. News of High Schools. Math. 11, 80—83 (1981) (in Russian).
9. Malakhaltsev, M.A.: About the internal geometry of Neifeld's connection. News of High Schools. Math. 2, 67—69 (1986) (in Russian).
10. Norden, A.P.: Spaces with an affine connection. Nauka, Мoscow (1976) (in Russian).
