ВЫРОЖДЕННЫЕ КОМПЛЕКСЫ, ПОРОЖДЁННЫЕ КВАДРИКОЙ И ТОЧКОЙ, НЕ ИНЦИДЕНТНОЙ КВАДРИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

The author studies plane 2-forms which by virtue of their closureness can be considered in the capacity of symplectic structures on a Riemann manifold. The opportunity was indicated by the application of the theory of plane forms to the relativistic electrodynamics. In conclusion all plane 2-forms were found in the Euclidean space and plane 2-forms of a hypersphere of the Euclidean space were constructed were constructed. УДК 514.75

ВЫРОЖДЕННЫЕ КОМПЛЕКСЫ, ПОРОЖДЁННЫЕ КВАДРИКОЙ И ТОЧКОЙ, НЕ ИНЦИДЕНТНОЙ КВАДРИКЕ

Т.П.Ф у н т и к о в а

(Калининградский государственный университет)

В трёхмерном аффинном пространстве рассматриваются вырожденные комплексы (QP)3,2, порождённые квадрикой Q и точкой P, не инцидентной квадрике, причём многообразие квадрик Q - трёхмерное, а точек Р - двумерное. Изучен класс вырожденных комплексов (QP)3,2 , для которых центры квадрик Q описывают линию (Р*).

Между образующими элементами вырожденного комплекса (QP)3 2 устанавливается соответствие, при котором каждой квадрике Q соответствует единственная точка Р, полным прообразом которой является однопараметрическое семейство квадрик Qp. Устанавливается также соответствие между множествами точек (Р*) и (Р), при котором каждой точке Р* соответствует на поверхности (Р) линия Гр* .

Отнесём вырожденный комплекс (QP)3,2 к реперу R = в2, е3 }, который

характеризуется следующим образом: точка А совмещена с центром Р* квадрики Q, вектор е направлен по касательной к линии центров (Р*) квадрик Q , направления векторов в2, е сопряжены направлению вектора е относительно квадрики Q. Концы векторов еа (точки Aа, а=1, 2, 3) инцидентны квадрике Q.

Квадрика (эллипсоид) Q в репере R задаётся уравнением (х1)2 + (х2)2 + (х3)2 - 1 = 0 .

Квадрике Q соответствует на поверхности (Р) точка Р — А + гв3 .

Так как вектор е направлен по касательной к линии (Р*), то йА — Хе1 , следовательно:

ю2 — 0, ю3 — 0, ю 2 — аю1, ю 3 — Ью1. (1)

Многообразие (Р) двумерное, значит:

гащ( ю1 + гю1; гю 2; йг + гю 3) — 2 . (2)

Каждой точке Р* соответствует на поверхности (Р) линия Гр*. Тогда при Ю — тащ(ю1 + г; гю2; & + гю3) = 1 . (3)

Определение. Комплексами К называются вырожденные комплексы ^Р)32, для которых точки Аа являются фокальными точками эллипсоида Q.

Теорема. Существуют два класса комплексов К: комплексы К1 и К2, определяемые с произволом соответственно трёх функций двух аргументов и одной функции трёх аргументов.

Доказательство. Так как точки Аа принадлежат фокальному многообразию эллипсоида Q, то система дифференциальных уравнений Пфаффа комплекса К запишется в виде

1 1 О ^ О ^ У—V

Ю1 =— ю , Ю 2 = Ю з = Ю = Ю = 0 ; (4)

ю3 = Л3а®1, Ю2 = А32а©1, Ж = Ааю1, ю2 = аю1, ю3 = Ью1 , (5) где формы Ю ^ приняты за базисные. Тогда условия (2) и (3) выполняются при А2 = А2 = 0. Замыкая уравнения Ю2 = 0, Ю3 = 0, Ю1 = —Ю1, получим следующие соотношения: а = Ь = 0, А321А 32 = 0, А323А 32 = 0, А ^А33 — А = 0.

Таким образом системы уравнений Пфаффа для комплексов К1 и К2 состоят

из уравнений (4) и соответственно уравнений

ю3 = А>1 + А233Ю1 , Ю2 = дю3, & = А1ю1 + АЗю^ ; (6)

Ю 2 = 0, ю 3 = Л>а, Ж = А1ю\ + А3Ю\. (7)

Анализируя замкнутые системы (4), (6), (7), убеждаемся в справедливости теоремы.

Доказано, что комплексы К1 обладают следующими геометрическими свойствами:

1) характеристическое многообразие квадрики Q состоит из прямых АА2, АА3 и точки А1;

2) фокальное многообразие квадрики Q состоит из точек Аа, М(0;0;-1), К(0;-1;0);

3) фокальная точка А1 и прямая АА1 неподвижны;

4) фокальные поверхности (А2), (А3), (М), (К) являются цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельными прямой АА1, и касательными плоскостями в точках А2, К, А3, М, параллельными соответственно координатным плоскостям (А, е, е ) и (А, в2 );

5) если 0, то поверхность (Р) является цилиндрической с образующей, параллельной прямой АА1 и касательной плоскостью в точке Р, параллельной (А,

е1, е2 ).

Для комплексов К2 получены следующие результаты : 1) линия (Р*) центров квадрик Q является прямой; 2) характеристическое многообразие квадрик Q со-

стоит из прямых АА2 , АА3 и точек А1

Р

( А 32 А33 А32 А33 ^

А2 А2 А2 А2

Д32Д33 А 31 Д32Д33 Д31 Д32Д33 д3

\ А2 А2 + А2 А2 А2 + А2 А2 А2 + А2

3) фокальное многообразие квадрики Q состоит из точек Аа, М, К; 4) фокальная точка Аз описывает прямую, параллельную прямой (Р*); 5) плоскость (А, е, е ) неподвижна; 6) фокальная поверхность (А2) является плоскостью, параллельной плоскости (А, е, е); 7) если &=0, то поверхность (Р) является плоскостью, параллельной плоскости (А, е3 ).

Библиографический список

1. Малаховский В.С. О вырожденных конгруэнциях пар фигур // Дифференциальная геометрия многообразий фигур / Калининград, 1973. Вып.3. C.41-49.

2. Малаховский В.С., Махоркин В.В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т.6. C.113-133.

T. P. F u n t i k o w a

DEGENERATED COMPLEXES GENERATED BY A QUADRIC AND A POINT NONINCIDENT TO THE QUADRIC

The author consideres degenerated complexes (QP)3,2 in the three-dimensional affine space generated by a quadric Q and a point P nonincident to the quadric, where the manifold of quadrics Q is three-dimensional, and the set of points is two-dimensional. The class of degenerated complexes (QP) 32 is studied for which centers of quadrics Q describe a line (P* ).

The correspondence between the generating elements of the degenerated complex (QP) 3,2 is estableshed by which to each quadric Q corresponds a single point P, whose pre-image is a one-parametric family of quadrics Qp . The correspondence is also esta-bleshed between the sets of points (P* ) and (P) by which to each point P* corresponds a line Г » on the supface (P).

Degenerated complexes (QP) 3,2 are studied in detail for which three focal points of the quadric Q define mutially conjugate directions with respect to the quadric Q, where one of these directions coincides with the direction of the tangent to the line (P* ). It is proved that there exists two classes of such complexes and their geometric characteristic is obtained, characteristic and focal manifolds of the quadric Q are found.

УДК 514.754.7

ОПЕРАТОР ХОДЖА НА МНОГООБРАЗИИ С ЭКВИАФФИННОЙ

^ 1

СТРУКТУРОЙ1 И.И. Ц ы г а н о к , С.Е. С т е п а н о в

(Владимирский государственный педагогический университет )

1. Настоящая работа является продолжением серии статей авторов [1] - [ 3] по геометрии ^мерного многообразия с эквиаффинной структурой [ 4]. Доказывает-

1 Работа написана при поддержке РФФИ , проект 94 - 01 - 01595