О ПОДКЛАССАХ КОМПЛЕКСОВ КВАДРИКС ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ В ПОВЕРХНОСТЬ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

2. Кальницкий В.С. Алгебра обобщенных полей Якоби // Зап. науч. сем. ПОМИ. 1995. Т. 231.

3. Кальницкий В.С. Алгебры Якоби плоских многообразий // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2003.

4. Kalnitsky V.S. Spray Algebra // Proc. of Inst. Math. NAS Ukraine. 2004 (in print).

Работа поддержана грантом мэрии Санкт-Петербурга и Министерства образования РФ №PD03-1.1-27.

V. Kalnitsky

POLYNOMIAL SYMMETRIES OF FLAT AND HOMOGENEOUS CONNECTIONS

The classification theorem is formulated for symmetries of homogeneous connections on smooth manifold. The cases admitting realization on manifolds are described.

УДК 514.75

М.В. Кретов

(Калининградский государственный университет)

О ПОДКЛАССАХ КОМПЛЕКСОВ КВАДРИК С ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ В ПОВЕРХНОСТЬ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРОВ

Продолжается изучение комплексов (трехпарамет-рических семейств) КЪ1 центральных квадрик в трехмерном аффинном пространстве [1] путем рассмотрения подклассов многообразий квадрик со специальными свойствами ассоциированных образов. Геометрически охарактеризованы характеристические и фокальные многообразия [2] квадрик, являющихся образующими

62

М.В. Кретов

элементами подклассов комплексов центральных квадрик с вырождающимся в поверхность многообразием центров. Построено безынтегральное представление [3] специального подкласса комплексов К32.

Рассмотрим в трехмерном аффинном пространстве комплекс К32 центральных квадрик q , центры которых описывают поверхность Ф, причем аффинная нормаль в каждой точке поверхности Ф сопряжена относительно квадрики q касательной плоскости, а асимптотические касательные пересекают квадрику q в фокальных точках.

Отнесем комплекс К32 к реперу Я = {а, е{}, I, к = 1,2,3 , где А — центр квадрики q , векторы е1 , е2 направлены по асимптотическим линиям к поверхности Ф, а е3 - по аффинной нормали и концы А векторов е1 инцидентны квадрике q . Репер Я - канонический. Уравнение квадрики q имеет вид:

q = (х1 )2 + (х2 )2 + (х3 )2 + 2Лх1х2 -1 = 0 . (1)

Так как векторы е1 и е2 расположены в касательной плоскости, то

а3 = 0. (2)

Замыкая последнее уравнение и используя лемму Картана, находим:

ю3 =аа1 + Ра2, а\ = ¡5ах + уа>2. (3)

В силу выбора репера уравнение асимптотических линий поверхности Ф имеет вид:

а а2 = 0 . (4)

Из уравнений (3) и (4) следуют соотношения

а=у = 0, рФ 0, (5)

значит,

63

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

С = рю2, а>1 = рС. (6)

Осуществляя частичное замыкание системы (6), получаем

ар = с + с - с . (7)

Так как (А, е3) - аффинная нормаль, то

е1> е3 С =0 = 0 , (^2, е2, е3 С =0 = 0 ,

откуда получаем

со2 = А2С, со\ = АС . (8)

Принимая формы в =с , в =с , в =с3 за базис, запишем систему уравнений Пфаффа комплекса К 32 в виде:

С = 0, с2 = А2в1, С = Ав2, с3 = рв2, С = рв1, С = Ав, с2 = А22в, = 4в, С32 = Аз2в!, ал = ~в! , (9) а 1п р=С + с2-в3.

Замыкание уравнения (7) приводит к следующим соотношениям:

А22 = А1, А323 = 0, А]3 = 0 . (10)

Так как асимптотические касательные пересекают квадрику q в фокальных точках, то координаты концов векторов е1 и е удовлетворяют системе уравнений:

q = 0, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0, (11)

где для ^ имеет место:

1 dq = qiв. (12)

Из системы уравнений (11) находим соотношения:

а222 + ла! +1 = 0, аз = а23 = 0, а;2 = а21 = -я, а^ + ЯА2 +1 = 0. (13) Тогда система дифференциальных уравнений комплекса К312 принимает вид:

64

М.В. Кретов

а3 = 0, а = А*в\ а>\ = Л\в2, а3 = рв2, а23 = рв1, = -а2 -в1 -Ав2, а22 =-Ха\-Ав1 -в2, а] = ав1 + А^2в2, а32 = Л321в1 + ав2, а 1п р = а!1 + а22 - в3, ¿А = Дв1 + А2в2

где

А32 = Л31 = а :

А = (а2 А -1)-1 [(А2 )2 А+А2 А + 2А2 А2 + а2 - А - А2 (А2 )2 А -

- АРА12 А2 - АРА2 - 2АЛ2 - АА2 А1 - а РА2 - ар),

А = (А2 А1 -1)-1 ( А2 (А )2 + А2 А + 2А2 А1 + А2 - А - А2 А2 (А )2 -

- ара2! А - лрл\2 - 2АА - АА2 А - арА2 - ар).

Находя чистое замыкание системы уравнений (14), убеждаемся в том, что комплекс К\2 существует и определяется с произволом двух функций двух аргументов.

Характеристическое многообразие квадрики q определяется системой уравнений

q2 = 0, q2 = 0, q3 = 0, (15) записанной для конкретного комплекса.

Для комплексов К\2 имеет место:

Теорема 1. Характеристическое многообразие квадрики q содержится в касательной плоскости к поверхности Ф.

Определение. Комплекс К32 назовем комплексом К322, если индикатрисы векторов е1 и е2 описывают поверхности с касательными, параллельными координатной плоскости (л, е1, е3), а индикатриса вектора е2 описывает поверхность с

касательной, параллельной плоскости (л, е2, е3).

2

Из определения комплекса К322 получаем следующие со-

отношения:

А2 = 0, Л1 = 0, Л2 = 0, а = 0 . (16)

65

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Тогда

а2 = 0, = 0, а32 = 0 . (17)

Дифференцируя внешним образом уравнения (17), получаем Л32 = 0 .

Система дифференциальных уравнений комплекса К^2 принимает вид:

а3 = а = а\ = а1 = а2 = 0, а13 = рв2, а23 = рв\ ^ = -в1 -Ав2,

а2 =-Ав1 -в2, ал=(а-лА+в2) а 1пр=а1 +а2-в3.

Замыкание системы (18) удовлетворяется тождественно, значит, комплекс К322 существует и определяется вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.

Обозначим асимптотические линии а1 = 0, а2 = 0 на поверхности Ф символами I и /2.

Следующие теоремы дают геометрические свойства комплекса К322 .

Теорема 2. Комплекс К322 обладает следующими свойствами:

1) аффинные нормали поверхности (л) параллельны;

2) плоскости (л,е~.,е3), г,у,к = 1,2 , составляют однопа-

раметрические семейства параллельных плоскостей;

3) при движении точки Л вдоль асимптотической линии

Ц плоскость (л,е~.,е3), прямая (л,е~.) и точка Л~.(г Фу) являются неподвижными;

4) асимптотические линии на поверхности (л) являются

прямыми, а поверхность (л) - линейчатой квадрикой <2 ;

5) направление, определяемое аффинной нормалью к поверхности (л), является для образующей квадрики q сопряженным с плоскостью (л, е, е2), а направления, определяемые проекциями касательных к линиям (Л) в точке А■ на плос-

66

М.В. Кретов

кость (а,е1, е2), являются сопряженными для квадрики q относительно соответствующих диаметральных плоскостей

(а, ^, е3);

6) проекции касательных к линиям (А) в точках А~. на

плоскости х = 1 совпадают с прямолинейными образующими Q в точках А- ;

7) линии (а, ) являются огибающими семейств линий пересечения квадрики Q с квадриками q .

Пусть р - точка пересечения прямых, проходящих через середины отрезков АА и АА и параллельных, соответственно, прямым (а, е2) и (а, е1), а р - точка пересечения прямых, проходящих через точки, аффинно-симметричные точкам А1 и А2, и параллельных, соответственно, прямым (а, е2) и (а, е1).

Теорема 3. Для того чтобы точки р и р принадлежали фокальному многообразию квадрики q , описывающей ком-

2 1

плекс К32, необходимо и достаточно, чтобы Я = 1, Я = -—,

причем при Я € |-1,1^ фокальное многообразие состоит

только из двух точек - А и А2.

Геометрические свойства комплекса К322 , доказанные в теореме 2, позволяют получить его безынтегральное представление. Построение проводим следующим образом:

1) задаем произвольный гиперболический параболоид Q и выбираем на нем точку А;

2) фиксируем точки А и А на прямолинейных образующих, проходящих через точку А ;

67

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

3) на аффинной нормали квадрики Q , проходящей через точку A, выбираем точку Д ;

4) с текущей точкой поверхности Q совмещаем подвижный репер R = {о,ej,e2,e3} - такой, что 0 = A и et = AAt ;

5) для получения образующего элемента комплекса -квадрики q , соответствующей центру A, - зададим с помощью оставшейся одной постоянной некоторое число А и построим направление (e2 — Aej ). Точками Д , центром A и сопряженными направлениями aax , aa3 , (a, e3 — Aej ) однозначно определяется квадрика q . Каждой точке A соответствует одномерное многообразие квадрик q , получающееся изменением полуоси aa3 . При движении точки A по поверхности Q получается комплекс k32 квадрик q .

Список литературы

1. Кретов М.В. Об одном комплексе центральных квадрик с вырождающимся многообразием центров // Седьмая Всесоюз. конф. по совр. пробл. геометрии. Минск, 1979. С. 99.

2. Малаховский В.С., Махоркин В.В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 113 - 134.

3. Фунтикова Т.П. Безынтегральное представление двух классов вырожденных конгруэнций // Диф. геом. многообр. фигур / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1976. Вып. 7. С. 130 - 134.

M. Kretov

ABOUT SUBCLASSES OF COMPLEXES OF QUADRICS WITH DEGENERATING IN A SURFACE VARIETY OF THE CENTRES

In work studying of complexes (three-parametrical families) K32 of central quadrics in three-dimensional affine space proceeds

68

М.В. Кретов

by consideration of subclasses of varieties of quadrics with special properties of the associated images. Characteristic and focal varieties of quadrics, being forming elements of subclasses of complexes of central quadrics with variety of the centres degenerating in a surface are vectorially characterized. It is constructed unintegral representation of a special subclass of complexes K32.

УДК 514.76

В. С. Малаховский

(Калининградский государственный университет)

О ГОЛОНОМНОСТИ РАССЛОЕНИЯ РЕПЕРОВ НА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОМ МНОГООБРАЗИИ

На п-мерном дифференцируемом многообразии Мп

класса Сж исследуется расслоение Нр (Мп) реперов гр

порядка p>2. Установлена голономность расслоений реперов произвольного порядка p, а следовательно, и

голономность линейных дифференциальных групп БП

ф>2). Cформулированы принципы корректного применения метода внешних форм и подвижного репера в дифференциальной геометрии и проанализированы принципиальные ошибки некоторых работ, выполненных с нарушением этих принципов.

§1. Голономность линейной дифференциальной группы БП второго порядка

Рассмотрим п-мерное дифференцируемое многообразие Мп класса Сш со структурными базовыми 1-формами ю1 и слоевыми 1-формами 9а (1, _), ^ s=1,n ; а, р, у = п + 1,К). Система N пфаффовых форм ю1, 0а - линейно независима (см. [2, с. 24]):

69