CC BY
4
М. В. Кретов
УДК 514.75
М. В. Кретов
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
КОМПЛЕКСЫ КВАДРИК С ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ В ТОЧКУ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРОВ
В трехмерном аффинном пространстве рассматриваются комплексы (трехпараметрические семейства) центральных невырожденных квадрик с вырождающимся в точку многообразием центров. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства исследуемых многообразий.
Отнесем комплекс К30 центральных невырожденных квадрик q с вырождающимся в точку многообразием центров к реперу R={А, 61, 62, ёз}, где А — центр квадрики q, построенному в работе [1]. Принимая формы 0Х = ®1 + 02,
О2 = + О, О3 = О + за независимые первичные, запишем систему дифференциальных уравнений комплекса Кзо:
О = 4,0', о = о
(г, к = 1, 2, 3 по г не суммировать!). (1)
Определение 1. Комплекс К30, в котором на квадрике q имеется, по крайней мере, три фокальные точки [2] Аг, которые не лежат на одной прямой и на одной плоскости, проходящей через центр, и определяют три сопряженных направления, называются комплексом К 30 .
Теорема 1. Комплексы К30 существуют и определяются с произволом трех функций одного аргумента.
67
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Доказательство. Специализируем репер Я таким образом, чтобы концы векторов е С совпадали, соответственно, с фокальными точками АС квадрик ^ . Такой репер будет каноническим. Принимая формы 61 = С, в2 = С и 63 = сС за
базис, получаем, что система уравнений Пфаффа комплекса
*
К30 имеет вид:
сС = 0, С = 0, с,2 = ав\ С = в, С = ув2. (2) Замкнутая система (2) в инволюции [3] и определяет комплексы с произволом трех функций одного аргумента.
Определение 2. Линии, огибаемые на поверхности (АС)
прямыми, параллельными [А, Аш], назовем линиями ГС+2,
йе/
где с + 3 = С.
Теорема 2. Комплексы К*30 обладают следующими геометрическими свойствами:
1) касательные плоскости к поверхностям (АС) в точках
АС параллельны, соответственно, координатным плоскостям (А, ё ], ё к ), где ], к Ф С;
2) прямые (А, ё С) описывают конические поверхности;
3) координатные плоскости (А, ё С, ё .), С< ], неподвижны при движении точки Ак вдоль линии Гк+2, а точки Ак+1
йе/
вдоль линии Г к, где k Ф С, ] ; k + 3 = k.
Доказательство. Из системы уравнений (2) следует:
йёх = а61ё2 + /36ъё3, йё2 = в1 ё, + у62ё3, йё3 = 63ё3 + в2ё2, (3)
откуда вытекает справедливость первых двух утверждений теоремы.
Пусть М, = А + X ё + X2 ё2, М 2 = А + X 1ё1 + X Зё
и
М3 = А + X 2е2 + X Зе3 — текущие точки, соответственно, ко-68
М. В. Кретов
ординатных плоскостей (А, ё 1, ё 2), (А, ё 1, ё 3) и (А, ё 2, ё 3). Тогда:
йМх = (¿X1 + X201)ё1 + (СХ2 + 101)ё2 + (вХО3 + уХ202)ё3,
й~Мг = (<К1 + X303)ё1 + (X302 + аХ 0')ё2 + (сХ3 + рХ 03)ё3, (4)
¿Мъ = X20[ё1 + (СХ2 + Х302)ё2 + (СХ3 + уХ202)ё3.
Теорема доказана.
Имеют место теоремы:
Теорема 3. Характеристическое многообразие [2] состоит из четырех двукратных объектов [4]: точки А и прямых (А, ё г).
Теорема 4. Фокальное многообразие состоит из шести точек, три из которых являются концами векторов ё г, а остальные диаметрально им противоположны.
Определение 3. Комплексом Кс называется трехпара-
метрическое семейство невырожденных центральных квадрик — такое, что фокальное многообразие квадрик семейства содержит конику.
Будем обозначать конику, принадлежащую фокальному многообразию квадрики q, через с .
Теорема 5. Комплекс Кс является подклассом комплекса К30 и определяется вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений Пфаффа.
Доказательство. Рассмотрим комплекс Кс в репере
й = {А, ё1, ё2, ё3} , где А — центр квадрики q, концы Аг векторов ё г лежат на рассматриваемой квадрике q, векторы ё2, ё3 расположены в плоскости коники с и сопряжены относительно этой коники, вектор ё1 сопряжен плоскости коники с относительно квадрики q . Уравнение квадрики q в выбранном репере имеет вид:
(X1)2 + (X2)2 + (X3)2 -1 = 0. (5)
69
Дифференциальная геометрия многообразий фигур Из уравнения стационарности квадрики q находим:
п = о, п = о, п +п1 = о, (6)
где г < 1 (по г не суммировать!). Тогда формы С, С,
сС +С являются главными.
г 1
Коника с определяется уравнениями:
(X2)2 + (X3)2 -1 = 0, X1 = 0. (7)
Из определения комплекса Кс следует, что
1=0 = Ас , (8)
откуда получаем
с2 = 0, С3 = 0, С23 = 0, С33 = 0, с23 +С32 = 0. (9) Используя уравнение стационарности коники с , находим:
П2 = 0, п3 = 0, п23 = 0, п33 = 0, п32 + п23 = 0. (10) Из формул (6) и (10) следует, что формы:
С, сС, сС , С2 +с32 , (11)
где г Ф 1, г Ф 2, j Ф 2 (по г не суммировать!), являются главными формами комплекса Кс . Система дифференциальных уравнений Пфаффа комплекса Кс имеет вид:
С = с3 = с2 = с33 = С + с32 = 0, сС = А]в',
С = А\бг, с-1 = А16', (12)
где 61 = С, в2 = с13, в3 = С . После замыкания соответствующих уравнений системы (12) получаем окончательную систему дифференциальных уравнений Пфаффа комплекса Кс:
С = фС = С + ®32 = 0, С = ав1, йа = -2ав1, (13) где 1 > 1 (по 1 не суммировать!). Чистое замыкание системы (13) обращается в тождество. Из системы (13) непосредствен-
70
М. В. Кретов
но следует, что Kc является подклассом комплекса K30. Теорема доказана.
Теорема 6. Коники c принадлежат стационарной квадрике Q, и квадрика q комплекса Kc касается Q вдоль с.
Доказательство. Рассмотрим квадрику Q, заданную следующим уравнением:
(X1)2-a((X2)2 + (X3)2 -1) = 0. (14)
Из уравнений (13) следует, что
dQ = -2dlQ. (15)
Учитывая уравнения (13) и (15), убеждаемся в том, что квадрика Q стационарна и касается квадрики q вдоль коники с .
Список литературы
1. Кретов М. В. Комплексы эллипсоидов в аффинном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во КГУ, 1979. Вып. 10. С. 41—47.
2. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Там же. 1974. Вып. 6. С. 113—133.
3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
4. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия семейств линий и поверхностей. «Алгебра. Топология. Геометрия». Итоги науки / ВИНИТИ АН СССР. М., 1972. С. 115—160.
M. Kretov
COMPLEXES OF QUADRICS WITH VARIETY
OF THE CENTERS DEGENERATING INTO THE POINT
In three-dimensional affine space complexes (three-parametrical families) of central non-degenerate quadrics with variety of the centers degenerating in a point are considered. It is shown, such complexes exist. Geometrical properties of researched varieties are found.
71
