CC BY
31
РАЗНОЕ
УДК 514.75
М. В. Кретов
О ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОМ СЕМЕЙСТВЕ КВАДРИК В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрен один из комплексов (трехпараметрических семейств) K32 центральных квадрик в трехмерном аффинном пространстве.
А complex (three-parametrical families) K32 central quadrics in three-dimensional affine space is considered.
Ключевые слова: комплекс, центральная квадрика, аффинное пространство, трехмерное пространство.
Для построения модели многообразия фигур необходимо, чтобы это многообразие существовало и определялось вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений Пфаффа. Многие многообразия фигур позволяют их смоделировать.
Построим геометрическую модель одного из подклассов комплексов (трехпараметрических семейств) K32 [1] центральных невырожденных квадрик в трехмерном аффинном пространстве.
Рассмотрим в трехмерном аффинном пространстве комплекс K312 центральных квадрик q, центры которых описывают поверхность Ф, причем аффинная нормаль в каждой точке поверхности Ф сопряжена относительно квадрики q касательной плоскости, а асимптотические касательные пересекают квадрику q в фокальных точках [2]. Отнесем комплекс K32 к реперу R = {А, et},, i, j, k = 1, 2, 3, где А — центр квадрики q, векторы e1, e2 направлены по асимптотическим линиям к поверхности Ф, а e3 — по аффинной нормали, и концы Аі векторов e инци-
дентны квадрике q. Репер R — канонический. Уравнение квадрики q q = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 + 2Xx 1x2 -1 = 0.
Векторы e1 и e2 расположены в касательной плоскости и ю3 = 0. Замыкая последнее уравнение и используя лемму Картана, находим:
®3 =аю1 +Рю2, ю2 =Рю1 +Y®2. (1)
В силу выбора репера уравнение асимптотических линий поверхности Ф имеет вид
ю1®2 = 0. (2)
Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 95 — 98.
96
М. В. Кретов
Из уравнений (1), (2) следуют соотношения а = у = 0, Р ф 0, значит,
= Рю2, ю3 = Рю1. (3)
Осуществляя частичное замыкание системы (3), получаем
йв = Рю2 +Р®1 -Рю3- (4)
Так как (А, ё3) — аффинная нормаль, то
(1,еі,ез)Ш1 = о = 0, (йе2, е2, е3)ю2 =0 = 0,
откуда получаем
®2 = А2®1, ю2 = А2ю2.
-| 10 ^ о о
Принимая формні 9 = ю , 9 = ю , 9 = ю3 за базис, запишем систему уравнений Пфаффа комплекса К32 в виде
ю3 = 0, ю2 = а1291, ю2 = А^2, ®3 = Р92, ®2 = Р91, ю1 = А^1,
®2 = А|;9г, ю3 = А3,91, ю2 = А^1, йХ = А191, й 1пР = ю1 +ю2 -93.
Замыкание уравнения (4) приводит к следующим соотношениям:
А322 = А311 , А323 = 0, А313 = 0 .
Так как асимптотические касательные пересекают квадрику ц в фокальных точках, то координаты концов векторов е1 и е2 удовлетворяют системе уравнений
ц = 0, ц1 = 0, ц2 = 0, ц3 = 0, (5)
■л
где для ц1 имеет место 1 йц = ц191.
Из системы уравнений (5) находим соотношения А^2 + ХА1 +1 = 0, А13 = А^3 = 0, А12 = А|1 = -Х, А11 + ХА2 +1 = 0.
Тогда система дифференциальных уравнений комплекса К\2 принимает вид
ю3 = 0, ю2 = А291, ю2 = А292, ю3 = Р92, ю2 = Р91, ю1 =-Хю2 -91 -Х92, ю2 =-Хю2 -Х91 -92, ю3 = Я91 + А329 2, (6)
юз = А3191 + я92, й 1пР = ю1 +ю2 -93, йХ = А191 + А292,
где
А32 = А31 = я,
А1 = (А2а2 -1)-1 ((А2)2А1 + А2А1 + 2Х2А2 +Х2 -Х-Х2(А2)2А1 -хра32 а2 -хра31 - 2ха2 -ха2 а2 - ЯРА2 - яр),
А2 = (А2А1 -1)-1 (а2(А2)2 + А2А2 + 2Х2А2 +Х2 - Х-Х2А2(АІ)2 - ХРа31 а1 - ХРА32 - 2ХА2 - ХА? а2 - яРА1 - яв)
О трехпараметрическом семействе квадрик в аффинном пространстве у—*
-----------------------------------------------------------------®
Находя чистое замыкание (6), убеждаемся, что комплекс К32 существует и определяется с произволом двух функций двух аргументов.
Характеристическое многообразие квадрики ц определяется системой уравнений
ц1 = 0, ц2 = 0, ц3 = 0, записанной для конкретного комплекса.
Комплекс К32 назовем комплексом К32, если индикатрисы векторов в1 и в2 описывают поверхности с касательными, параллельными координатной плоскости (А, в1, в2), а индикатриса вектора в3 описывает поверхность с касательной, параллельной плоскости (А, в2, е3).
Из определения комплекса К32 имеем следующие соотношения:
а2 = 0, А1 = 0, а2х = 0, а = 0.
Тогда
<4 = 0, 4 = 0, = 0. (7)
Дифференцируя внешним образом уравнения (7), получаем А32 = 0.
Система дифференциальных уравнений комплекса К\г принимает вид:
ю3 = ®2 = ю2 = ю3 = юз = 0, ю3 = Р92, 4 = Р9Х, Ю1 = -61 -Х92 , (8)
4 = -Х91 -92, йХ = (X -Х2)(91 +92), й 1п Р = ®1 + ®2 -93.
Замыкание системы (8) удовлетворяется тождественно, значит, ком-2
плекс К32 существует и определяется вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
Обозначим асимптотические линии на поверхности Ф символами
11 и 12, которые задаются соответственно уравнениями
ю1 = 0, ю2 = 0 .
Следующая теорема дает геометрические свойства комплекса К 32. Теорема. Комплекс К32 обладает следующими свойствами:
1) аффинные нормали поверхности (А) взаимно параллельны;
2) плоскости (А,в-.,в3), г,;,к = 1,2, составляют однопараметрические
семейства взаимно параллельных плоскостей;
3) при движении точки А вдоль асимптотической линии I; плоскость
(А, в;, в3), прямая (А, в;) и точка А; (г ф ;) неподвижны;
4) асимптотические линии на поверхности (А) прямые, а поверхность (А) - линейчатая квадрика ^;
5) направление, определяемое аффинной нормалью к поверхности (А), является для образующей квадрики ц сопряженным с плоскостью (А, в1, в2), а
97
98
М. В. Кретов
направления, определяемые проекциями касательных к линиям (А;) в точке А; на плоскость (А, в1, в2), являются сопряженными для квадрики ц относительно соответствующих диаметральных плоскостей (А, в;, в3);
6) проекции касательных к линиям (А;) в точках А; на плоскости
х1 = 1 совпадают с прямолинейными образующими 0 в точках А;;
7) линии (А;) являются огибающими семейств линий пересечения квадрики 0 с квадриками ц.
Геометрические свойства комплекса К 32, доказанные в теореме, позволяют получить его геометрическую модель.
Построение проводим следующим образом:
1) задаем произвольный гиперболический параболоид 0 и выбираем на нем точку А;
2) фиксируем точки А1 и А2 на прямолинейных образующих, проходящих через точку А;
3) на аффинной нормали квадрики 0, проходящей через точку А, выбираем точку А3 ;
4) с текущей точкой поверхности 0 совмещаем подвижный репер Я = {0, в1, в2, в3} такой, что 0 = А и в. = АА.;
5) для получения образующего элемента комплекса — квадрики ц, соответствующей центру А, зададим с помощью оставшейся одной постоянной некоторое число X и построим направление (в2 -Хв1). Точками А., центром А и сопряженными направлениями АА1, АА3,
(А, в3 -Хв1) однозначно определяется квадрика ц. Каждой точке А соответствует одномерное многообразие квадрик ц, получающееся изменением полуоси АА3. При движении точки А по поверхности 0 полу-
2
чается комплекс К 32 квадрик ц.
Список литературы
1. Кретов М. В. Об одном комплексе центральных квадрик с вырождающимся многообразием центров / / Седьмая Всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии. Минск, 1979.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
Об авторе
М. В. Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
