CC BY
4
В.С. Малаховский
УДК 514.76
В.С. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
КОНГРУЭНЦИИ И КОМПЛЕКСЫ КОНИК, ПОРОЖДАЕМЫЕ ПРОЕКТИВНОЙ СФЕРОЙ
В трехмерном проективном пространстве Р3 рассмотрены гладкие нелинейчатые поверхности Б0, все первые директрисы Вильчинского которых проходят через одну точку (проективные сферы) и поверхности Бь все такие директрисы которых пересекают одну прямую (проективные поверхности вращения). Исследованы конгруэнции и комплексы невырожденных коник, порождаемые проективной сферой Бо.
§1. Проективные сферы
Рассмотрим в проективном пространстве Рз гладкую нелинейчатую поверхность Б, отнесенную к каноническому реперу С.П. Финикова {Ао, Аь А2, Аз,} [1, с. 4—7].
Матрица его деривационных формул
аАа= юЛ Ав (а,р,у=0,1,2,3) (1.1)
имеет вид 1
2
ркю
к
ак ю
Ьк юк
1
-(Р2ю - Р!ю ) 6
1(Р1ю1 - Р2ю2) 6
Ь2 ю1 + а1ю2
Ьк юк
к
ак ю
:Ркю
(1.2)
где
. def ю1 = Ю *
2
0
ю
ю
2
ю
ю
2
ю
ю
1
65
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Здесь и в дальнейшем i,j,k = 1,2; i Ф j и по индексам i и j суммирование не производится.
Определение 1.1. Проективной сферой называется гладкая нелинейчатая поверхность So, все первые директрисы Виль-чинского которой проходят через одну точку М, называемую центром проективной сферы.
Исключая из рассмотрения поверхности So, с центром Аз, положим
М=Аз - аАо (а Ф 0). (1.3)
Теорема 1.1. Проективные сферы существуют и определяются с произволом двух функций одного аргумента. Доказательство. Из условия dM = ЯМ находим
а = а2 = bi; ai = 0, b2 = 0. (1.4)
Замкнутая система пфаффовых и квадратичных уравнений поверхностей So приводится к виду
pkюк -2ю0 = 0, pю1 -p2ю2 -6ю2 = 0, юО + ®3 = ®i + ®2 = (1.5)
ю- = ю1, ю3 = ю-, ю^ = 0, ю° = 0, ю0 = аюJ, ю1 = ю0, da + 2аю° = 0 dpk люк = 0, dp1 лю1 -dp2 лю2 + (6(1 -2а)-2/3р1р2)ю1 лю2 = 0.
Эта система — в инволюции и определяет проективные сферы с произволом двух функций одного аргумента.
Число а Ф 0 назовем радиусом проективной сферы. Обозначим М*=Аз + аАо (1.6)
Определение 1.2. Главной проективной сферой называется проективная сфера So радиуса 1/2.
Теорема 1.2. Проективная сфера So тогда и только тогда является главной, когда ее радиус постоянен.
Доказательство. Пусть а = const. Из уравнений (1.5) следует
р1 = 0, р2 = 0, а = 1/2. (1.7)
Учитывая равенства (1.7) в уравнениях (1.5), убеждаемся в том, что главные проективные сферы определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
66
В.С. Малаховский
Теорема 1.3. Гладкая нелинейчатая поверхность Б тогда и только тогда является проективной сферой, когда любая линейчатая поверхность конгруэнции ее первых директрис Вильчинского (А0А3) является торсом.
Доказательство. Фокусы Ф = А^Ао + А2А3 луча А0А3 и торсы прямолинейной конгруэнции (А0А3) определяются соответственно уравнениями
А + (Ь + а2) А1А2 + (а2 - а^) А22 =0, (1.8)
а:( (ю1)2 + (а2 - Ь^ю1 ю2 - Ь2 (ю2)2 =0. (1.9)
В силу условий (1.4) уравнение (1.9) является тождеством. Наоборот, если уравнение (1.9) тождественно обращается в нуль, то выполняются условия (1.4), характеризующие проективные сферы.
Теорема 1.4. Гладкая нелинейчатая поверхность Б, не являющаяся проективной сферой, тогда и только тогда является поверхностью пары Годо [1, с. 13], когда торсы прямолинейной конгруэнции ее первых директрис Вильчинского высекают на Б сеть асимптотических линий.
Доказательство. Пусть 8 — поверхность пары Годо, т. е.
а1 = 0, Ь2 = 0. (1.10)
Уравнение торсов (1.9) приводится к виду:
(а2 - Ь1)ю1ю2 = 0. (1.11)
Если 8 не является проективной сферой, то а2 - Ыф0 и уравнение (1.11) определяет на 8 сеть асимптотических линий.
Наоборот, если уравнение (1.9) определяет на 8 сеть асимптотических линий, то а1 = 0, Ь2 = 0, а2 -Ь1 Ф 0, т. е. поверхность 8 есть поверхность пары Годо, не являющейся проективной сферой. Из уравнений (1.5) непосредственно следует:
Теорема 1.5. Проективная сфера является поверхностью
пары Годо. Вторая поверхность 80 = (А3) также является проективной сферой с радиусом 1/а. Плоскость (А1А2М*), порожденная проективными сферами Бо и , стационарна.
Замечание. Так как проективная сфера 80 является поверхностью пары Годо, то она обладает следующими свойст-
67
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
вами: 1) прямые Демулена [1, с.11] проективной сферы 80 совпадают; 2) прямые АзА; являются асимптотическими касательными
поверхности Б0, причем асимптотические линии на поверхностях Бо и Б0 соответствуют; 3) квадрика Ли поверхности Бо в точке Ао является также квадрикой Ли поверхности Б0 в точке Аз; 4) репер {Аа} является репером С.П. Финикова как для проективной сферы Бо, так и для проективной сферы Б0.
§2. Проективные поверхности вращения
Характеристическим признаком поверхности вращения в евклидовом пространстве является то, что все ее нормали пересекают одну прямую — ось вращения.
Это позволяет для проективного пространства Рз ввести следующее определение.
Определение 2.1. Гладкая нелинейчатая поверхность Б1 называется проективной поверхностью вращения, если все ее первые директрисы Вильчинского пересекают одну прямую, называемую осью вращения.
Теорема 2.1. Проективные поверхности вращения существуют и определяются с произволом четырех функций одного аргумента.
Доказательство. Пусть прямая 1 = МК, где
М = Аз - 1Ао, К=А2 + ПоАо + П1А1 (2.1)
— ось вращения. Из условия
а[МК]=ЦМК] (2.2)
следует, что Ю3 = п ю2 + ^ю1 - п ю2),
& = ю0 -п0ю2 + +Ш0ю2,
2 0 12 2 0 0 ёп0 = п0(ю2 — ю°) + (^п -0ю + (п2 - Ш^ю — ю° -пю°,
ёп = (п2 -^)ю1 + (п0п! - 1)ю2 + 2пю2.
(2.з)
68
В.С. Малаховский
В силу теоремы Пуанкаре о тождественном обращении в нуль внешнего дифференциала от дифференциала внешней формы (в частности, формы Пфаффа) система (2.3) вполне интегрируема.
Из последнего уравнения этой системы следует, что
П1 Ф 0. (2.4)
Замкнутая система дифференциальных уравнений поверхности 81 состоит из уравнений (2.3), пфаффовых уравнений
2ю0 = pkюк, р^1 - р2ю2 - 6®2 = 0, ®0 = 0, ®2 =®:, ®2 = ю2,
ю0 + = 0, Ю +®2 = 0, (2.5)
ю0 = акюк, ю2 = ®з, ю0 = ®з, ю3 = юJ, ю0 = п1(а2 - О®1 + а1 ю2
и внешних квадратичных уравнений dpk люк + 2(а1п1 +1 -а2)ю1 ли2 = 0,
dp1 лю1 -dp2 лю2 -6(п1а1 +1 + а2 -1 + 1р1р2)ю1 лю2 = 0,
da1 лю1 + da2 лю2 + (а2р1 -2а1р2)ю1 лю2 = 0, (26)
n1da2 лю1 + da1 лю2 -(2а2п1п0 -а2 + р2а2п1 -21п1п0 +1 -
4 , 2 - 1п1р1 -п1а1 -— а1р1)ю лю = 0.
Анализируя эту систему, убеждаемся в справедливости теоремы.
Теорема 2.2. Если поверхность Б; образует пару Годо, то она является проективной сферой Б;.
Доказательство. Пара Годо характеризуется уравнением
ю0 = 0 . (2.7)
Из последнего уравнения системы (2.5) и неравенства (2.4) следует, что
а1 = 0, а2 = г. (2.8)
Учитывая в уравнениях (2.3) эти равенства, находим
ю3 = &2юю . (2.9)
69
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Значит,
b2 = 0, bi = a2. (2.10)
Условия (2.8) и (2.10) характеризуют проективные сферы.
Определение 2.2. Поверхностью S° называется проективная поверхность вращения, ось которой пересекает вторую директрису Вильчинского и не содержит точку А3 ее первой директрисы.
Теорема 2.3. Поверхности S° существуют и определяются с произволом двух функций одного аргумента.
Доказательство. Полагая, что в формулах (2.1) и (2.3) no = 0, приводим замкнутую систему дифференциальных уравнений поверхности S1 к виду
2ю° = pk юк, 6roJ + p ю1 - р2ю2 = 0, ю^ = 0, ю° = 0, ю| = 0,
®з =ю0, ю3 =юJ, ю° =—— ю1, ю° =-tnю2, ю0 = -tajЮд —— ю2, (2.11) n1 nj
dt = ю0 + 2to3 , dn = 2nю2 + njV - ю2 (taj ф 0),
dpk люк = 0, dp1 лю1 -dp2 лю2 -2(4/3рдр2 -6)юд лю2 = 0. (2.12)
Анализируя эту систему, убеждаемся в справедливости теоремы.
Точки М = Аз - tAo и N = A2 + niAi являются фокусами лучей А0А3 и А1А2 прямолинейных конгруэнций (А0А3) и (А1А2). Они описывают вырождающуюся в прямую MN общую фокальную поверхность. Два других фокуса этих прямолинейных кон-груэнций определяются формулами
М* = Аз + tA0, N* = A2 - П1А1. (2.13)
Точки прямолинейных конгруэнций задаются одним уравнением:
(ю1)2 -п2(ю2)2 =0. (2.14)
Приходим к следующему результату:
Теорема 2.4. Поверхности S° обладают следующим свойствами:
70
В.С. Малаховский
1) конгруэнция (Ао Аз) сопряжена поверхности В0, а конгруэнция (А 1А2) гармонична ей [2, с. 251 ];
2) торсы прямолинейных конгруэнций (Ао Аз) и (А г А2) соответствуют;
3) фокусы лучей АоАз и АгА2 гармонически делят соответственно точки А0,А3 и Аг,А2.
§3. Конгруэнции коник, порожденные проективной сферой
Проективная сфера 80 определяет конгруэнцию Са коник Са:
Б = х1х2 - х0х3 = 0, х0 - ах3 = 0, (3.1)
образованную пересечением ее квадрик Ли со стационарной плоскостью
а = (А1А2М*). (3.2)
Все коники Са этой конгруэнции принадлежат плоскости а.
Характеристические точки коники Сае(Са) вдоль направления
¡9 + 2| ф 0, 9ф 0) (3.3)
определяются системой уравнений
хЧ2 - а(х3)2 = 0, х0 - ах3 = 0, Я1(х1)2 + А, 2(х2)2 = 0 . (3.4)
Следовательно, вдоль асимптотических линий ю1 = 0 и ю2 = 0 точки А1 и А2 являются двукратными характеристическими точками коники Са. Другие две характеристические точки этой коники вдоль направления (3.3) определяются системой уравнений
^1)2 + А,2Й2)2 = 0, ^ = а, (3.5)
где ^ = х3 ф 0.
х3
Рассмотрим на проективной сфере 80 семейство линий Га: а2ю2+ю1=0. (3.6)
71
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Характеристика квадрики Ли Q проективной сферы So в точке Ао вдоль линии Га распадается на пару невырожденных коник — (Ае)-коник:
х1х2- х0х3 = 0, x2 - sax1 = 0, (в = ±1). (3.7)
Из системы уравнений (3.7) следует, что плоскости коник А_1 и Ai пересекаются по первой директрисе Вильчинского А0А3.
Фокальные точки и фокальные семейства конгруэнций Ав-коник определяются системой уравнений (3.7) и уравнений
(x1)2 ю1 + (x2)2 ю2 = 0,
2 4 (3.8)
О 2 1 2 3 1 4 2 1 0 3 2
(sax + (— sap - 1)x +sa x )ю + ((— sap + a )x - x - ax )ю = 0. Исключая из уравнений (3.8) ю1 и ю2, получим
(x1)2((4 sap2 + a2)x1 - x0 - ax3) -
3 . (3.9)
- (x2)2(sax0 + (j sap1 - 1)x1 +sa2x3) = 0
Анализируя системы уравнений (3.7) и (3.9), приходим к следующему результату:
Теорема 3.1. Проективные сферы S и S являются сдвоенными фокальными поверхностями конгруэнций (A-i) и (Ai).
Другие две фокальные поверхности этих конгруэнций определяются системой уравнений
П2 = san1, П3 = sa(n1)2, A(n1)2 + B^1 + C = 0, (3.10)
где
А= а2(в + а2), В = ва(1 ва^ -4р2)-2а2, С = ва3 +1. (3.11)
Так как проективная сфера имеет постоянный радиус только при а = 1/2 (теорема 1.2), то точки А0 и А3 не могут иметь фокальную кратность выше второй.
72
В.С. Малаховский
§4. Комплексы пар коник, порожденные проективной сферой
Рассмотрим на проективной сфере So пучок однопарамет-рических семейств линий
и2ю2 + ю1 = 0, (4.1)
где u — произвольный параметр.
Характеристика квадрик Ли проективной сферы So вдоль каждой линии пучка (4.1) распадается на пару невырожденных коник
xV - x0x3 = 0, x2 - eux1 = 0, (s = ±1) . (4.2)
Следовательно, проективная сфера So порождает комплекс К пар невырожденных коник, расслаивающийся на двухпара-метрическое семейство одномерных многообразий пар коник, инцидентных одной квадрике. Комплекс К включает в себя комплексы (К-1) и (К1), образованные кониками (4.2) при s = -1 и s = 1 соответственно.
Конгруэнции (А-1) и (А1), рассмотренные в §3, выделяются из комплексов К-1 и К1 , условием —
u = a. (4.3)
Так как изменение параметра u при фиксированных двух других независимых параметрах комплекса Ке (т. е. при фиксированной точке AoeSo) сохраняет значение инварианта а, то все образы, ассоциированные с конгруэнцией (As), остаются инвариантными и в комплексе Ке. Например, стационарная плоскость а = (А1А2М*), определяемая уравнением х°- ах3^, — центр М проективной сферы и точка М*=А3 + аА^
Список литературы
1. Малаховский В.С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве: Учеб. пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1986.
2. Фиников С.П. Теория конгруэнций / ГИТТЛ. М.; Л., 195o.
73
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
V. Malakhovsky
CONGRUENCES AND COMPLEXES OF CONICS GENERATED BY PROJECTIVE SPHERE
In 3-dimensional projective space P3 a non-ruled surface So whose all first directrixes of Wilczynski contain a fixed point (projective sphere) and a surface S1 whose all these directrixes intersect a fixed straight line (projective surface of rotation) are considered. Congruences and complexes of non-degenerating conics generated by surface S0 are analyzed.
УДК 514.75
В.С. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ПОДМНОЖЕСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ОБОБЩЕННЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Рассматриваются числовые подмножества (аПк, определяемые рекуррентной формулой
я« = я«+ й • пк, (0.1)
где а(к^ = р — нечетное простое число; й — четное положительное число (р < 104, й < 200). Показано, что при четном к < 20 число й кратно 6 . Дана компьютерная программа, составленная Н.В. Малаховским, определяющая для к < 20, р < 104, й < 200 все подмножества \а[к^,а(ка(кпростых чисел для т > 1.
74
