ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КОНГРУЭНЦИЙ КВАДРИК ДАРБУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.И. Долгарев

УДК 514.75

В.С. Малаховский

(Российский государственный университет им. Иммануила Канта)

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КОНГРУЭНЦИЙ КВАДРИК

ДАРБУ

В трехмерном проективном пространстве Р3 исследуется двупараметрическое семейство (конгруэнция) бЦ квадрик Дарбу ^ индекса И Ф 0 гладкой нелинейчатой поверхности 8, имеющее на каждой квадрике ^ е Б И фокальную точку Ф^ на первой директрисе Вильчинского А А, отличную от четырехкратной фокальной точки А0 е 8.

Доказано, что конгруэнции Б0 существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа. Фокальные точки фИ, фИ, ФИ квадрики ^, не совпадающие с А, обладают следующими свойствами: прямая Ф % Ф ^ пересекает вторую ди-

ректрису Вильчинского А1А2 поверхности 8 в ее фокусе М2 = А _ А; прямая ФИ N1", где N — четвертая гармоническая точке М2 относительно пары точек Ф^, Ф 4 , пересекает вторую директрису Вильчинского в ее фокусе М = А + А, а первую директрису Вильчинского в точке МИ = Ь(4Ь + 1)А + А.

§1. Конгруэнции квадрик Дарбу.

69

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Рассмотрим в трехмерном проективном пространстве Рз гладкую нелинейчатую поверхность 8, отнесенную к реперу С.П. Финикова { Ла } (а,Р, У = 0,1,2,3). Деривационные

формулы dA а_ юаЛр такого репера определяются матрицей

(см. [1, с. 4—7]):

"1 ^

2РкЮ Ю

к а1 Ю 1 (Р2ш2 " 6

Ь1 юк Ю2

Ь2 Ю1 + а Ю2 Ь1 ю

- Р2Ю2) Ю1

2

РкЮ

(1.1)

■ ёеГ

где Ю1 = ©О (1, ¿к = 1,2)

о (1,.,к 1,2). (1.2)

Уравнение квадрики Дарбу ^ индекса Ь в репере С.П. Финикова имеет вид [2, с. 75]:

-с"® 12 0 3 1 / 3 \ 2 п

= XX - XX + п(х ) = 0.

Обозначим:

= Ьрх + Ь2, Ш2 = Ир2 + ах.

Используя формулы

аха = —х Рюа,

(1.3)

(1.4)

находим:

где

— ^ = Ккш ,

^(х1)2 + 2Ьх^х3 — Ш1(х3)2.

(1.5)

(1.6)

1

2

0

Ю

2

Ю

Ю

1

к

к

ак ю

А.И. Долгарев

Здесь и в дальне йшем 1, _), к=1,2; 1 Ф j и по индексам 1 и j суммирование не производится. Символом Б обозначим конгруэнцию квадрик Дарбу.

Из (1.3), (1.5) следует, что фокальные точки квадрики Дарбу ^ е Б определяются системой алгебраических уравнений

Р = 0, = 0, ^ = 0. (1.7)

Конгруэнция квадрик Ли (случай Ь=0) подробно рассмотрена в [3]. В данной работе исследуются конгруэнции квадрик Дарбу ненулевого индекса, т. е. И ф 0.

аеГ

Теорема 1.1. Поверхность 8 = (А) является четырехкратной фокальной поверхностью конгруэнции Б. Четыре фокальные точки Ф£ квадрики Дарбу ^ е Б> отличные от точки А , определяются формулой

фИ + &А, + ^ + А3, (1.9)

где (^а, , ) — решения системы уравнений:

= ^2 + И, О;1)2 + 2И^3 -ш1 = 0, {(^)4 - 2ш1(^1)2 + БИ3^1 + ш2 - 4И2ш2 = 0. .

Доказательство. Из (1.7) следует

(х3)2((х0 - Их3)2 - (шх3 - 2Их2)(ш2х3 - 2ИХ1)) = 0. (1.11) Уравнения

х'х2 = 0, (х1)2 = 0, (х2)2 = 0, (х3)2 = 0 (1.12) определяют четырехкратную фокальную точку А .

Пусть х3 ф 0. Обозначим

71

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

х0 х1 х2

е = ^ ^ = ^ ^ = ^ (1.13)

х3 х3 х3

Приравнивая нулю второй множитель уравнения (1.11) и учитывая (1.7), (1.13), получим систему (1.10), определяющую фокальные точки Ф1.

§2. Конгруэнции Б0

Определение 2.2. Конгруэнцией Б0 называется конгруэнция Б с фокальными точками Ф^, которые не совпадают с А на первой директрисе Вильчинского Л0Л3.

Теорема 2.1. Конгруэнции Б0 существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.

Доказательство. Первая директриса Вильчинского пересекает квадрику Дарбу (1.3) в точке А и точке

Ф1 = ЪЛ2 + Л (Ь * 0). (2.1)

Из (1.7) следует, что точка тогда и только тогда является фокальной точкой квадрики р е Бь, когда

т = 0, ш2 = 0. (2.2)

Обозначим

а2 = а. (2.3)

Учитывая (1.4), (2.2), (2.3), приводим систему уравнений Пфаффа конгруэнции БЦ к виду:

А.И. Долгарев

= 0, ю° + = 0, ю1 + ®2 = 0, ю1 = ю1, ю3 = ю\ ю3 = ю°, 2ю0 = ркюк, 6ю2 = р1ю1 -р2ю2, (2.4)

ю0 = -Ьр -ю1 + аю-, ю3 = 2Ью3.

Осуществляя четырехкратное продолжение системы (2.4),

получим:

= Рцю1 + (3 - 6а -

2 2 da + (Ьр22 + ар + —Ьр2)ю1 + (Ьрп + ар + — Ир^ю

3

3

2

dp11 = 8ГО1 + (6Ьр22 + 4Ьр2 + 6ар - 2р2рп)(В2,

2

dp22 = (6Ьр„ + 4Ьр2 + 6ар2 - 2р^ю1 +

8 -1 -1 8 о

+ ^(р1 - р2) + ^(Р1Р11 - Р2Р22) + Ю® ,

ds = ^ ю1 + ю2,

(2.5)

(3а + 18И2 + 4)(2 (р2 - р3) + р2р22 - р1рп) = 0,

(2.6)

где

s1 = 36Ь2р22 + 24Ь2р2 + 24Ьр1 + 10ар22 -8Ьр2р11 - 4ар2 -16 2

- Рls -у ^2 - 121ар1 - 2Р22,

s2 = 36Ь2р11 + 24Ь2р12 + 24Ьр2 -6ар11 + 8Ьр1р22 -

^ 2 11 16 2 8284

- 4ар1 ~Р2S ~Р^22 - 12Ьар2 Р22 - -Р2.

(2.7)

Анализируя алгебраическое уравнение (2.6), убеждаемся, что при

def

р1 = р2 = р (2.8)

73

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

оно обращается в тождество. Действительно, из условий (2.8),

(2.5) следует:

Р11 = Р22 = 3 - ба - ^Р2. (2.9)

Если же

Р1 Ф Р2, (2.10)

то последовательное дифференцирование каждого уравнения

(2.6) с учетом (2.4), (2.5) приводит к 2к новым соотношениям на инварианты р;, а, ри, 8, где к — число дифференцирований.

Только при нулевых значениях этих инвариантов все данные соотношения обращаются в тождества. Но это противоречит неравенству (2.10). Следовательно, возможен только случай (2.8). Конгруэнция Б И определяется следующей вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа:

ю3 = 0, ю° + ю3 = 0, ю[ + = 0, ю■ = ю1, ю3 = ю-1, ю'з =ю0, 2ю° = р(ю' +ю2), бю^ = р(ю'-ю2), ю° = 2Ию3

(2.11)

ю0 = -hpю1 + aroj, dp = (3 - 6a - Ip2)^1 + ю2),

da = (6ah - 3h - ap - 1-hp2)(ro1 +ю2).

Теорема доказана.

Из (2.11), (2.8) следует, что

p Ф 0. (2.12)

Используя формулы (2.1), (2.11), (1.10), находим фокальные точки Ф^ квадрик Дарбу Qh е Dh, не совпадающие с четырехкратной фокальной точкой A е S:

Ф}1 = hA0 + A, ф1 = h(4h + 1)A - 2hMj + A,

Ф} = h(4h + 1)A + h(M + 1л/зМ2) + A, (2.13)

Ф1 = h(4h + 1)A + h(M -1л/зМ2) + A,

А.И. Долгарев

где

М = А + А, М = А - А (2.14)

— фокусы луча А А конгруэнции вторых директрис Виль-чинского.

Обозначим:

= И(4И + 1)А0 + А, N = 1(ФИ +ФИ), N = 1(ФИ-ФИ). (2.15)

Из (2.13), (2.15) следует:

N = МИ + ИМ, N5 = Ьл/3М2, (2.16)

ФИ = МИ + 2ИМ, (MNÍ; ФИФИ) = -1, (2.17)

мИ =ФИм пАА, М =ФИФИпАА. (2.18)

Приходим к следующим результатам:

Теорема 2.2. Прямая, проходящая через две фокальные точки ФФ5 квадрики е бЦ , пересекается со второй директрисой Вильчинского в ее фокусе М2.

Теорема 2.3. Прямая, проходящая через фокальную точку Ф\ квадрики рь е Б° и четвертую гармоническую N точке М2 относительно фокальных точек Ф ^ и Ф4, пересекается со второй директрисой Вильчинского в ее фокусе М-

Из (2.18) следует простая геометрическая характеристика инвариантной точки МИ : это — точка пересечения прямой Ф2М1 с первой директрисой Вильчинского А 0 А 3.

Анализируя формулы (2.13), убеждаемся, что при фиксации точки А е 8 фокальные точки Ф}1 всех квадрик пучка Дарбу пробегают первую директрису Вильчинского А А , а фокальные точки Ф И — кубику

2(х1)2х3 -х1х3 -2х0 = 0, х1 -х2 = 0. (2.19)

75

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Список литературы

1. Малаховский В.С. Конгруэнции и комплексы коник, порожденные проективной сферой // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 65—74

2. Фиников С.П. Проективно-дифференциальная геометрия // ОНТИ. М.; Л., 1937.

3. Малаховский В.С. Конгруэнции линейчатых квадрик в трехмерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1977. Вып. 8. С. 32—38.

V. Malakhovsky

ABOUT ONE CLASS OF CONGRUENCES OF DARBOUX'S

QUADRICS

In three-dimensional projective space P3 the congruence Dh of Darboux's quadrics Qh of index h Ф 0 of the smooth nonlinear surface S is considered. A special class Dh С Dh for which

one of the focal points ф)1 £ S of the quadric Qh £ Dh is on the first directrix of Wilczynski, is investigated in detail/ It is proved that congruences D0h are defined by the total integrable system of Pfaffian's equations. Some geometrical properties of congruences Dh are established.

УДК 514.75

В.С. Малаховский

(Российский государственный университет им. Иммануила Канта)