CC BY
6
В. С. Малаховский
УДК 514.76
В. С. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта)
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В трехмерном проективном пространстве Р3 рассматривается гладкая нелинейчатая поверхность с с параболическими конгруэнциями первых и вторых директрис Вильчинского [2, с. 40]. Доказана теорема существования и исследованы подклассы поверхностей с, выделяемые специальными свойствами ассоциированных геометрических образов.
§1. Теорема существования
Пусть гладкая нелинейчатая поверхность S отнесена к реперу С. П. Финикова {Аа} [3, с. 4—13]. Тогда матрица ее деривационных формул
dAа=юа Ар (а,р,7=03) (1.1)
имеет вид (1.2) из [1, с. 65], где
det
ш0 = ш\ (1.2)
Здесь и в дальнейшем 1, _), k = 1, 2; 1 Ф j и по индексам 1 и j суммирование не производится. Фокусы лучей А о Аз, А1А2
Т^Ао+Аз, Ф 1=ЯкАк (1.3)
и торсы прямолинейных конгруэнций (АоА3), (А1А2) первых и вторых директрис Вильчинского поверхности S определяются соответственно уравнениями
81
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
г2 + (Ь:+а2)1 + Ь:Я2 - Ь2а1=0, (1.4)
а: ^ + (Ь1 - а2) Я1Я2 - Ь2 А,22=0, (1.5)
а1(ш1)2 + (а2 - Ь1)ш1ш2 - Ь2(ш2)2, (1.6)
где г = ^УЪ.
Следовательно, торсы этих прямоугольных конгруэнций соответствуют и определяются одним и тем же уравнением (1.6). Из (1.5), (1.6) непосредственно следует
Теорема 1.1. Фокусы Ф1 и Ф2 тогда и только тогда гармонически делят точки А1 и А2, когда прямолинейная конгруэнция (А0А3) сопряжена поверхности а прямолинейная конгруэнция (А1А2) гармонична ей.
Определение 1. Поверхностью с называется поверхность 8 с параболическими конгруэнциями (А0А3) и (А1А2).
Теорема 1.2. Поверхности с существуют и определяются в общем случае с произволом пяти функций одного аргумента.
Доказательство. Из (1.4) и (1.5) следует, что совпадение фокусов Т1= Тг, Ф1=Ф2 характеризуется одним условием:
(а2 - Ы)2 + 4а1Ь2=0. (1.7)
Обозначим:
Т = Т = Т2; Ф = Ф1 = Ф2. (1.8)
Исключим из рассмотрения проективные сферы [1, с. 65— 68], т. е. будем считать
К1 + |Ь2| * 0. (1.9)
Замкнутая система дифференциальных уравнений поверхности с состоит из конечного соотношения (1.7), пфаффовых уравнений
2ш° = рк шк, 6ш2 = р1ш1 - р2ш2, = ак шк, ш2 = Ьк шк, ш° = Ь2ш1 + а1ш2, ш0 = 0, ш0 +ш3 = 0, ш1 + ш2 = 0, (1.10) ш^ = ш1, ш3 = ш-1, ш3 = ш0. (а2 - Ь1)(ёа2 - ёЬО + 2(^2 + ЪёаО = 0 (1.11)
82
В. С. Малаховский
и внешних квадратичных уравнений:
dplЛ ю1 + dp2Л ю2-2(а2 -Ы) Ю:ЛЮ2 = О, dplЛ ю1 - dp2Л ю2 - (2/3 рф2 +6(Ь1+а2 -1)) ю1Лю2 = О, dalЛ ю1 + da2Л ю2 + (a2pl -2/3alp2) ю1Лю2 = О, dblЛ ю1 + db2Л ю2-1/3(2ЬlP2 - Ь2Pl) Ю:ЛЮ2 = О, db2Л ю1 + dalЛ ю2 - (Ь2P2 - афО ю:ЛЮ2 = О. Рассмотрим сначала общий случай:
а1Ь2 ФО.
Из (1.11) находим:
dal=^^((a2-blXdbl-dа2) -2aldЬ2). 2Ь,
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Подставляя (1.14) в третье и пятое уравнения системы квадратичных уравнений (1.12), убеждаемся, что
81=5, д=5, 82=О, 0=^5. (1.15)
Следовательно, система (1.10) — (112) — в инволюции и определяет поверхность с с произволом пяти функций одного аргумента.
§2. Поверхности а и аг
При доказательстве теоремы 1.2 мы исключили из рассмотрения поверхности, для которых
^Ь=О. (2.1)
Геометрически такие поверхности характеризуются тем, что сдвоенная фокальная поверхность прямолинейной конгруэнции (А1А2) является либо поверхностью (А1), когда
^=О, Ь^2, Ь2ФО, (2.2)
либо поверхностью (А2), когда
Ь2=О, Ьl=a2, (2.3)
Поверхности S, характеризуемые условиями (2.2), назовем поверхностями С1, а поверхности, характеризуемые условиями (2.3), поверхностями С2.
83
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Теорема 2.1. Поверхности С1 существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
Осуществляя последовательно продолжения системы (1.10) при условии (2.2), убеждаемся, что
Р1=0, а2=1/2. (2.4)
При соотношениях (2.4) приходим к вполне интегрируемой системе уравнений Пфаффа:
2ш0 = р2ш2, ш° -3ш1 = 0, ш° = 1/2ш2, ш2 = 1/2ш1 + Ь2ш2,
< = Ь2ш1,ш- = ш1, ш3 = ш1, ш3 = ш0, + ш3 = 0, (2.5)
1 2 3 2 2 1 2
ш1 +ш2 = 0, ш0 = 0, 3dp2 + 5р2ш = 0, 6dЬ2 = р2(3ш -8Ь2ш ),
которая определяет поверхности с1.
Теорема 2.2. Поверхности с2 существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
Доказательство. Повторяя аналогичные рассуждения, находим
Р2=0, а2=1/2. (2.6)
Вполне интегрируемая система Пфаффа, определяющая поверхности с2, имеет вид:
2ш0 = р1ш1, ш0 -3ш2 = 0, ш° = а1ш1 + 1/2ш2, ш2 = 1/2ш1,
< ш° = а1ш22,ш1 = ш1, ш3 = ш-, ш3 = ш0, ш0 + ш3 = 0, (2.7)
1 2 3 2 1 2 1
ш1 +ш2 = 0, ш0 = 0, 3dp1 + 5р^ = 0, 6da1 = р1(3ш -8а1ш ).
§3. Геометрические образы, ассоциированные с поверхностями СТ1 и С2
Теорема 3.1. Прямолинейные конгруэнции (А1А3), (А2А3) ассоциированные и с поверхностью с1 и с поверхностью с2, сопряжены поверхности.
Доказательство. Уравнения торсов прямолинейных кон-груэнций (А1А3), (А2А3), ассоциированных с поверхностью С1, имеют соответственно вид:
84
В. С. Малаховский
4Ь2(ю:)2 -(ю2)2 = О, (ю1)2 + 4Ь2(ю2)2 = О. (3.1)
Уравнения торсов этих линейных конгруэнций, ассоциированных с поверхностью с2, имеют вид:
4a12(ю1)2 + (ю2)2 = О, (ю1)2 -4a1(ю2)2 = О. (3.2)
Из (3.1) и (3.2) следует, что торсы прямолинейных конгру-энций (А1А3) и (А2А3) высекают и на поверхности с1, и на поверхности с2 сопряженные сети линий. Ч. т. д.
Теорема 3.2. Фокусы Тц и Тц луча А1А3 прямолинейной конгруэнции (А1А3), ассоциированной с поверхностью с1, гармонически делят точки А1 и А3.
Доказательство. Используя формулы (2.5), (2.7), находим:
Т и=^А + А3; Т 2,1= ^л/ъ2"А1 + А3; (3.3)
Т l,2^Л/a7A2 + А3; Т 2,2= ^Л/alA2 + А3. (3.4)
Следовательно,
(А1А3; Т 1,1 Т 2,1) = -1, (А2А3; Т 1,2 Т 2,2) = -1. (3.5)
Ч. т. д.
Теорема 3.3. Касательная плоскость к поверхности (Т), описанной фокусом луча АоА3е (АОА3), содержит асимптотическую касательную к поверхности С1 и поверхности С2. Одно семейство торсов прямолинейной конгруэнции (АоА3) соответствует асимптотической линии этих поверхностей.
Доказательство. Из (1.4), (2.2), (2.3). (2.4), (2.6) следует, что сдвоенный фокус Те АоА3 определяется формулой
Т = -1/2Ао + А3. (3.6)
Для с1
dТ = -юо Т + (ЬюЧ^ю^Ао + Ь2ю2А:; (3.7)
для с2
Т = - юо Т + ^юЧ^ю^Ао + alЮ1A2. (3.8)
85
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Дифференцируя (3.7) и (3.8), используя соответственно (2.5) или (2.7), находим уравнение асимптотических линий поверхности Т соответственно в виде:
Ю2(2Ь2Ю1 - у ш2)=0, (3.9)
ю1(2а1ю2 - ^ ю1)=0. (3.10)
Из (3.7) — (3.10) непосредственно следует утверждение теоремы.
Теорема 3.4. Касательная плоскость к поверхности (А1), ассоциированной с поверхностью с1, пересекает первую директрису Вильчинского А0А3 в точке, гармоничной фокусу Т относительно точек А0 и А3.
Доказательство. Имеем: для с1
dAl=1/6p2Ю2Al + ю1Л2 + ю2(1/2Л0 + А3); (3.11)
для с2
dA2=1/6plЮ1A2 + ю2А1 + ю1(1/2А0 + А3). (3.12) Из (3.11), (3.12) следует, что точка
Т*= -1/2А0 + А3 (3.13)
лежит в касательной плоскости к поверхности (А1), ассоциированной с с1, и к поверхности (А2), ассоциированной с с2.
Список литературы
1. Малаховский В. С. Конгруэнции и комплексы коник, порождаемые проективной сферой // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 65—74.
2. Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия / ОНТИ НКТП СССР. М.; Л., 1937.
3. Малаховский В. С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве: Учеб. пособие. Калининград, 1986.
86
В. С. Малаховский
V. Malakhovsky
ABOUT ONE CLASS OF SURFACES IN 3-DIMENSIONAL PROJECTIVE SPACE
In 3-dimensional projective space P3 a smooth non linear surface c with parabolic line congruences of the first and the second directrexes of Wilcynski is considered. It is proved, the existence of such surfaces and sum special cases are investigated.
УДК 514.75
В. С. Малаховский, Н. В. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта)
ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА т-МЕРНОМ НЕВЫРОЖДЕННОМ МНОГООБРАЗИИ КВАДРАТИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В п-МЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (т<п)
В п-мерном проективном пространстве Рп рассмотрено т-мерное многообразие Ут (п - 2)-мерных невырожденных квадрик Qn_2 (квадратичных элементов) (п > 3, т < п) в предположении, что гиперплоскости
квадрик также образуют m-параметрическое семейство и что характеристика гиперплоскости не пересекается со своим полярным относительно Qn_2 подпространством.
С использованием компьютерной программы нахождения продолжений и охватов полей геометрических объектов на дифференцируемом многообразии [3, с. 77—107] найдены тензорные и квазитензорные поля на Ут и рассмотрены определяемые ими геометриче-
87
