CC BY
4
2. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование. 1 // Известия вузов. Ма-тем. 1992. № 6. С.63-71.
3. Шапиро Я.Л. О квазигеодезическом отображении // Известия вузов. Ма-тем. 1980. № 9. С. 53-55.
4. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig: Teubner, 1893. V.3. 830 s.
5. Егоров И.П. Движения в обобщенных дифференциально-геометрических пространствах // Итоги науки. Апгебра. Топология. Геометрия. 1965. ВИНИТИ. М., 1967. С.375-428.
6. Егоров А.И. Лакунарные общие пространства путей / Пензенский пед. инт. Пенза,1982. 56 с. Деп. в ВИНИТИ, № 4044-82.
7. Егоров А.И. Проективные движения в общих пространствах путей / Пензенский пед. ин-т. Пенза, 1982. 56 с. Деп. в ВИНИТИ, № 4542-82.
8. Tresse A. Determination des invariants punctuels de l'equation differentielle ordinaire du second ordre y"=ra(x,y,y'). Leipzig,1896.
9. Cartan E. Sur les varietes a connexion projective // Bull. Soc. math/ France. 1924. V.52. P.205-241.
10. Аминова А.В. Проективные преобразования как симметрии дифференциальных уравнений / Казанский гос. ун-т. Казань, 1991. 18 с. Деп.в ВИНИТИ. № 1707-В91.
V.A.I g o s h i n ON SYMMETRIES OF QUASIGEODESIC FLOWS
An every quasigeodesic flows (QF) f=(M,f) on a manifold M locally may be presented by a second order differentiale equation: d2x1/dt2=fi(xj,t,dxj/dt), 1 < i, j < n-1=dimM.
The series of theorems, concerning dimensions of the maximal Lie algebras of symmetries of QF, is obtained by the pulverization modelling. For example,
THEOREM 9. If the Lie algebra of projective symmetries of the QF f=(M,f) (dimM=n-1) have dimension r>n2-2n+6, then f is polinomial. QF of third order ( with respect to the "speed" dxj/dt), which is projectively equivalent to the trivial QF.
УДК 514.75
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КОНГРУЭНЦИЙ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ КВАДРИК ДАРБУ НЕЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В. С. М а л а х о в с к и й
(Калининградский государственный университет)
В трехмерном проективном пространстве Pз исследуется конгруэнция (Qm) соприкасающихся квадрик Дарбу [1] гладкой нелинейчатой поверхности S, ассоциированные квадрики которых являются невырожденными конусами, содержащими первую директрису Вильчинского [2]. Доказано, что точки пересечения квадрики Qm е ( Qm) с первой директрисой Вильчинского поверхности S являются фокальными точками квадрики Qm, причем поверхность S сдвоенная фокальная поверхность конгруэнции (Qm). Подробно изучен подкласс конгруэнций (Qm), определяемый вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа. Квадрики этого подкласса огибают поверхность нового типа, обладающую интересными геометрическими свойствами.
1. В трехмерном проективном пространстве Pз рассмотрим гладкую нелинейчатую поверхность S, отнесенную к каноническому реперу Финикова {А0 ,А^А2 ,А3}, где А0е S, AoAl и AoA2 - асимптотические касательные, AoAз и
AlA2 - первая и вторая директрисы Вильчинского поверхности S [2, с.4-7,12]. Замкнутая система дифференциальных уравнений поверхности S имеет вид:
ю0 = 0, ю3 = юю0 = ю3, ю3 = акюк, ю0 = 1 + ^ю
Л Л 1 А 11 Л 1
ю0 +ю3 = 0, ю1 +ю2 = 0, 2ю0 = ркю , 6ю1 = р2ю - р1ю , ёак люк = 3(а1р2 - а2р1 )ю1 л ю2, daj лю1 + ёЬ] лю] + 1(2p1bj - pjaj)ю1 лю] = 0, ёрк л ю к + 2(Ь1 - Ь2 )ю1 л ю 2 = 0,
ёр2 л ю2 - ёр1 л ю1 + (^р1р2 + 6(Ь1 + Ь2) - 6)ю1 л ю2 = 0,
(1.1)
(1.2)
^ >2 лю ёр1 лю +\др!Р2 + 6(Ь1 + ь2,
где ю1 ==ю0; 1,],к=1,2; 1^) и по индексам 1,] здесь и в дальнейшем суммирование не производится.
Пучок соприкасающихся квадрик Дарбу Qm поверхности S определяется уравнением:
Б(т) = х1х2 - х0х3 + т(х3)2 = 0, (1.3)
где т=сош1 - индекс Дарбу пучка. При каждом фиксированном значении т квадрики Qm описывают конгруэнцию ^т). Имеем:
т) = Ф к ю к, (1.4)
где
Ф1 ^ + ^)(х3)2 - тх]х3 -(х1)2. (1.5)
2. Уравнения Ф;=0 определяют две квадрики, ассоциированные с соприкасающейся квадрикой Qm [2, с.56]. Так как для конгруэнции ^т) эти квадрики являются невырожденными конусами с общей прямолинейной образующей А0А3, то
тФ0, (2.1)
а1 + 2 Р1 = 0, а2 + ^Р2 = 0. (2.2)
Используя (1.1), запишем (2.2) в виде:
ю 0 + ю 3 = 0. (2.3)
Замыкая уравнение (2.3), получим:
Ь = Ь2 == Ь. (2.4)
Продолжая систему (1.1) с учетом (2.2), (2.4), найдем:
ёа1 = айю1 +(+ 3Ь - |)ю■>, (2.5)
ёЬ = (а22 + 2а2Ь - |а2)ю2 +(а21 + 2а2Ь - |а2)ю2. (2.6)
Теорема 2.1. Точки пересечения квадрики Qm е( От) с первой директрисой Вильчинского А0А3 поверхности 8 являются ее фокальными точками, причем поверхность 8 есть сдвоенная фокальная поверхность конгруэнции (От).
Доказательство. Фокальные точки квадрики От определяются системой уравнений:
х1х2 - х0х3 + т(X3)2 = 0, тх2х3 +(х1)2 = 0, тх1х3 +(х2)2 = 0. (2.7)
Прямая А0 А3 пересекает квадрику (1.3) в точках А0, тА0 + А3, причем А0 - сдвоенное решение.
3. Назовем конгруэнциями L конгруэнции (От), характеризуемые условием:
а1 = а2 == а Ф 0. (3.1)
Поверхность 8, удовлетворяющую условиям (2.2), (2.4), (3.1), назовем поверхностью 8|_.
Теорема 3.1. Конгруэнции 1_ (поверхности 8ь ) существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
Доказательство. Уравнения (2.5) и (2.6) в силу (3.1) приводятся к виду:
ёа = (|а2 + 3Ь - |)(ю1 +ю 2), ёЬ = (3Ь + 2аЬ - §а2 )(ю1 +ю 2). (3.3)
Система уравнений Пфаффа конгруэнции 1_ состоит из уравнений (3.3) и уравнений:
ю 0 = 0, ю3 = ю \ ю 1 = ю1, ю0 = ю 3, ю0 = а(ю1 + ю2), ю0 = аю1 + Ью j,
(3.4)
1/12\03 12 00
3ю1 = а(ю - ю ), ю0 + ю3 = 0, ю1 + ю2 = 0, ю0 + ю3 = 0.
Чистое замыкание системы (3.3). (3.4) тождественно обращается в нуль. Следовательно, по теореме Фробениуса эта система вполне интегрируема.
Рассмотрим наряду с каноническим репером Финикова {А0,А1,А2,А3}, построенном на асимптотических касательных поверхности 8ь, репер {В0, В1, В2, В3} , определяемый формулами:
В0 = А0, В1 = А1 + А2, В2 = А1 -А2, В3 = А3. (3.5)
Обозначим:
01=ю1+ю2, 02=ю1-ю2. (3.6) Деривационные формулы репера {В0, В1, В2, В3} запишутся в виде:
ёВ0 = -а01В0 + 2 01В1 + 2 0 2В2,
ёВ1 = (а + Ь)01В0 + 2 01В1 + (3а - 1 )0 2В2 + 01В3,
ёВ2 = (а - Ь)02В0 + (-3а +1)02В1 - 201В2 - 02В3, ^
ёВ3 = а01В0 + 2(а + Ь)01В1 + 2(Ь - а)02В2 + а01В3.
Из этих формул непосредственно следует
Теорема 3.2. Поверхность SL, ассоциированная с конгруэнцией L , обладает следующими свойствами:
1) Поверхности (В1) и (В2) являются фокальными поверхностями конгруэнции вторых директрис Вильчинского, причем поверхность (В2) вырождается в линию.
2) Касательные В0В; огибают линии 0]=О, высекаемые на поверхности SL торсами конгруэнций первых директрис Вильчинского.
3) Линии 01=О являются линиями А [2, с.38], т.е. линиями на поверхности SL, вдоль которых характеристика квадрики Ли распадается на две нераспадающиеся коники.
4) Вдоль линий 01=О и только вдоль них все инварианты поверхности SL постоянны.
5) Касательные к линиям 01=О на поверхностях SL и (А3) пересекаются в фокусе В2 луча А1А2, описывающем линию.
6) Пусть С*, С2 - точки на первой директрисе Вильчинского А0А3, гармоничные соответствующим фокусам С1, С2 луча А0А3 относительно А0 и А3.Тогда плоскость, проходящая через вторую директрису Вильчинского А1А2 и одну из этих точек, является касательной плоскостью к невырожденной фокальной поверхности (В1), а плоскость, проходящая через А1А2 и другую точку, содержит касательную к линии (В2).
7) Поляра фокуса В1 ( В2 ) луча А1А2 относительно квадрики Q т проходит через фокус В2 (В1 ) и первую директрису Вильчинского А0А3.
Библиографический список
1. Фиников С.П. Проективно-дифференциальная геометрия // М.; Л: ОНТИ, 1937. 264с.
2. Малаховский В.С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Калининград, 1986. 72с.
3. Малаховский В. С. Конгруэнции линейчатых квадрик в трехмерном проективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1977. Вып. 8. С.32-42.
4. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М.: ГИТТЛ, 1950. 528с.
V. S. M a l a k h o v s k y
ON ONE CLASS OF CONGRUENCES OF OSCULATING QUADRICS DARBOUX OF A NONRULED SURFACE
A congruence (Qm) of osculating quadrics Darboux of a smooth nonruled surface S is investigated in a three-dimensional projective space, whose associated quadrics are nondegenerated cones, containing the first directrix Wilczynsci. It is proved that points of intersection of a quadric Qm^(Qm) with the first directrix Wilczynsci of the surface S are focal points of the quadric Qm, where the surface S is a double focal surface of the congruence (Qm). A subclass of the congruences (Qm) is investigated in detail, defined by a totally integrable system of Pfaffian equations. Quadrics of this subclass envelop a surface of a new type, possessing interesting geometric properties.
УДК 514.75
ОБ п-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВАХ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Н. В. М а л а х о в с к и й
(Калининградский государственный университет)
Изучается п-параметрическое семейство Нп аффинных отображений И: Ап^ап п-мерных аффинных пространств. Построены поля фундаментальных геометрических объектов первого и второго порядков. Исследованы их подобъ-екты и охваты. Рассмотрены фокальные многообразия семейства Нп. В случае центроаффинного пространства Ап определена индуцированная семейством Нп инвариантная метрика в Ап, а в пространстве ап - аффинная связность.
§1. Фундаментальные объекты семейства аффинных отображений
Рассмотрим два п-мерных аффинных пространства Ап, ап и множество Н всевозможных аффинных отображений И: Ап^-ап. Отнесем пространства Ап и ап к реперам {А;Ё:}, {а;е1} ( у,к,1,1,К=1,п). Деривационные формулы этих реперов и структурные уравнения пространств Ап и ап запишутся в виде [1]:
