CC BY
4
УДК 514.75
КОНГРУЭНЦИИ К0
С.В. Ш м е л е в а
(Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота)
Исследован подкласс конгруэнций N [1], в котором наряду с фокальными поверхностями (А0) и (А3), описанными соответственно фокальными точками второго и первого порядков, имеются ещё две фокальные поверхности () и (М2) , где , М2- точки пересечения с квадрикой Qeпрямой,
пересекающей прямые А А и А А
(А0 А;, А А0 - прямолинейные образующие квадрики Q, 1=1,2). Доказано, что фокальная поверхность (А3) конгруэнции является двухкратной.
1. Рассмотрим в трехмерном проективном пространстве Р3 конгруэнцию
К линейчатых невырожденных квадрик. В репере { Ао, А1, А2, Аз}, где А0 и А3 - фокальные точки квадрики QeK, а А; ( 1, ],к=1,2 ) - точки пересечения прямолинейных образующих квадрики, проходящих через А и А , уравнение квадрики Q и система уравнений Пфаффа конгруэнции К запишутся соответственно в виде:
х1х2 - х0х3 = 0 , (1.1)
© 3=0 , © з=0 > ©о=а1к ©к > ©3—©1=с1к ©к ,
0 1 к 1 1 1 к ^ 1 к (1.2)
© 1 -©3 = ^ 1к © , © 3 = Ьк ю , О- пк ю ,
1 1 0 12 3
где © — © 0 , О — ©0 — Ш1 —©2 Т ©3 , ^ и по индексам 1 и j здесь и в даль-
аеГ
, О - © 0 © 1 © Т©^
нейшем суммирование не производится.
Замыкая первые два уравнения системы (1.1), получим соотношения:
С12 = С21 . Ь1^12 — 21 Т 22 — Ь2^11 = 0 . (13) Конгруэнции N выделяются из конгруэнций К соотношениями [1]:
сп = с12 = С22 = 0 , а0] -— . (1.4)
2. Определение. Конгруэнцией называется конгруэнция N у которой на прямых А0А3, А А2 имеются точки ^, такие, что прямая ^ пересекает квадрику QeN в её фокальных точках М1, М2 .
Пронормируем вершины репера так, чтобы точки ^ и Ь2 были единичными точками соответствующих ребер:
Ь1=Ао + Аз , Ь2 = Л1 + А2. (2.1)
Прямая ^ Ь2 пересекает квадрику (1.1) в точках:
М1 = Ао+Л1 + А 2+Аз , ММ 2=Л1 + А 2 - Ао - Аз. (2.2)
Фокальные точки квадрики QeK определяются системой уравнений [2, с. 44 ]:
х1х2 - х0х3 = о , ^х1х2 - а^х1)2 - а^(х-')2 + Хк1хкх3 + сЛх0хк = 0 . (2.3) Учитывая, что для конгруэнции выполняются соотношения (1.4) и что точки М и М удовлетворяют ей, получим :
а 11 = К + , X11 + ХJ1 = 0 . (2.4)
Обозначим:
X11 = X1 . (2.5) Система уравнений Пфаффа конгруэнции запишется в виде:
ю3 = 0 , ю0 = 0 , ю3 -юJ=0 , ю| = (^ + !^)ю юЧ
ю0-ю2 = Х1ю1-Х2ю2, ю 1 = Ъкюк , П = \юк , (2.6)
ю0 = ткюк , ю1 = пкюк , ю0 +ю2 -ю3 - ю2 = 0 ,
причем
Х1(Ъ2 - ъ2)-х 2(Ъ1 - ъ2) = 0. (2.7)
Анализируя эту систему, убеждаемся, что конгруэнции существуют и определяются с произволом двух функций двух аргументов.
3. Теорема 1. Фокальная поверхность (А3) конгруэнции является двухкратной.
Доказательство. Условия двухкратности фокальной поверхности (А3) конгруэнции K имеют вид:
(Х11Х22 - Х12Х21)(Х12а21 - Х11а22) = 0 э
(Х11Х22 - Х12Х21)(Х21а22 - Х22а21) = 0 • Из (2.4) , (2.5) следует :
Х11Х22 - Х12Х21 = Х1Х2 - (-Х2)(-Х1) > (3.2) т. е. условия (3.1) выполнены.
Обозначим через
Е1 = А0 + А: , Н1 = Аз+А1 (3.3)
единичные точки соответственно ребер А0 А;, А3 А;, а через
Е*=А0 - А1 , Н1=Аз - А, (3.4)
четвертые гармонические к ним относительно А0, А; и Аз, А.
(3.1)
Теорема 2. Прямые ЕН и Е*Н* являются прямолинейными образующими квадрики Qe , проходящими соответственно через фокальные точки м и М2.
Доказательство. Уравнения касательных плоскостей к квадрике (1.1) соответственно в точках М1 и ММ 2 имеют вид :
х1 + х2 - х0 - х3 = 0 (3.5)
х1 + х2 + х0 + х3 = 0 (3.6)
Они пересекаются с квадрикой (1.1) по ее прямолинейным образующим
x1 - x0 = 0 2 x3 = 0
x
13
x - x = 0
x
x0 = 0
x1 + x0 = 0 x2 + x3 = 0
x1 + x3 = 0 x2 + x0 = 0
(3.7)
(3.8)
которые являются соответственно прямыми ЕН2, Е2Н и Е*Н*, Е*Н*. Из (3.7), (3.8) следует, что
М=ЕНпЕН, м2=е*Н2ПЕ*Н2 . (3.9)
Теорема 3. Фокальные точки М1, М2 квадрики Qe гармонически делят точки Е и Е пересечения прямой М1М2 с ребрами А0А3 и А1А2 репера.
Доказательство. Из (2.1) и (2.2) следует :
М1 = Е+Ь2, М2=Ь2 - Е. (3.10)
Имеем:
(М1М2; Ь1Ь2 )=-1. (3.11)
Библиографический список
1. Шмелева С. В. Об одном классе конгруэнций квадрик в Р3 с четырехкратной
фокальной поверхностью // Дифференциальная геометрия многообрарий фигур. Калининград, 1991. Вып. 22. С. 127-132.
2. Малаховская С. В. Конгруэнции линейчатых квадрик с кратной фокальной поверхностью // Там же, 1981. Вып. 12. С. 44-47.
S.V. S h m e l e v a
CONGRUENCES N,
Subclass N0 of congruences of nondegerate conics is investigated in which along with focal surfaces (A0) and (A3), described by focal points respectively of the second and of the first order, exist two more focal surfaces (M1), (M2), where M1,
M2 - are points of intersection with the quadric Q N0 of the line, intersecting
the
lines A0 A1 and A1 A2 (A0 Ai , A3 Ai (i = 1 , 2) - are rectilinear generatrices of
the
quadric Q). It is proved that the focal surface (A3) of the congruence N0 is double
and
that the focal points M1 , M2 harmonically divide the points of intersection of the
line
with the edges A0 A3 and A1 A2 .
