CC BY
4
I.A. U n d a l o v a
LORENTZ'S MANIFOLDS, ADMITTING KILLING'S PLANE WITH A SINGULARITY
Analitical 4-dimentional Lorentz's manifolds admitting one-parameter group of motion with an isolated fixed point O are studied in the article. A form of metric of such spaces is obtained. Conditions are found under which the point O is a pole (in the sense of A.S.Solodovnikov).
УДК 514.75
ВЫРОЖДЕННЫЕ КОМПЛЕКСЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КВАДРИКОЙ И
ПРЯМОЙ
Т.П. Ф у н т и к о в а
(Калининградский государственный университет)
В трехмерном аффинном пространстве рассматриваются вырожденные комплексы ^Ь)зд, порожденные квадрикой Q и прямой Ь, причем многообразие квадрик Q - трехмерное, а прямых Ь - одномерное. Изучены классы вырожденных комплексов ^Ь)31, для которых центры квадрик Q описывают поверхность
(Р).
Между образующими элементами вырожденного комплекса ^Ь)3д устанавливается соответствие, при котором каждой квадрике Q соответствует единственная прямая Ь, полным прообразом которой является двупараметрическое семейство квадрик QL. Устанавливается также соответствие между множествами (Ь) и(Р), при котором каждой прямой Ь соответствует на (Р) линия ГЬ.
Отнесем вырожденный комплекс ^Ь)3д к реперу Я={Л, е 1, е2, е 3}, который характеризуется следующим образом: точка А совмещена с центром Р квадрики Q; векторы е 1, е 2 принадлежат касательной плоскости к поверхности (Р); конец вектора е 1 совмещен с точкой пересечения прямой Ь и касательной плоскости, а вектор е 2 направлен по касательной к линии Г4; вектор е 3 параллелен прямой Ь; концы векторов е 2, е 3 инцидентны квадрике Q. Квадрика (эллипсоид) Q в репере Я задается уравнением
а1(х1)2+(х2)2+(х3)2-2а2Х1Х2-2а3Х1Х3-2адХ2Х3-1=0 . Так как векторы е 1, е 2 принадлежат касательной плоскости к поверхности (А), то _
6 А=ю1 е 1+ю2 е 2, ю3=0,
следовательно
Ю 3 =кю1+ию2, Ю 3 =ию1+шю2. Вектор е 3 параллелен прямой Ь и многообразие (Ь) -одномерное, т.е.
12 1 12 2 га^{ш3, ш3, ш + ш 1? ш + ш2 }=1,
где ша, Шц (а, (3=1,2,3) - линейные дифференциальные формы, удовлетворяющие уравнениям структуры аффинного пространства.
Каждой прямой L соответствует на поверхности (А) линия Гь, определяемая условием ш1=0.
Приняв в качестве базисных форм комплекса ^Ь)зд формы ш1, ш2, ш3, получаем систему уравнений Пфаффа
12 2 ш3=0, ш3 =(а-1)ш1, ш3 =Ьш1-ш2, ш3 =сш1,
13 3
ш3 =гш1, ш3 =кш1+пш2, ш 2 =пш1+тш2, (1)
ш 3 =рш^ш2, ш3 = Г^ ш1+ Г32 ш2+ Г33 ш2,
дак=а1ш1+а2ш2+аз ш 2 (к=1,2,3,4), определяющую комплекс ^Ь)зд с произволом пяти функций трех аргументов. Пусть Г- линия на поверхности (А) с касательной, определяемой вектором е 1.
Теорема 1. Торсы прямолинейных конгруэнций (А е 1) и (А е 2) высекают на поверхности (А) сеть линий Гь, Г. Прямолинейные конгруэнции (АА1) и (АА3) имеют по одному семейству соответствующих торсов.
Доказательство. Уравнения торсов прямолинейных конгруэнций (А е 1), (А е 2), (А е 3) имеют соответственно вид
ш1(сш1-гш2)=0, ш2(кш1+пш2)=0, (ш1)2=0, отсюда следует справедливость утверждения.
Теорема 2. Касательные плоскости к фокальным поверхностям прямолинейной конгруэнции (А е 3) проходят через касательные к линиям Гь, Г.
Доказательство. Фокусами луча прямолинейной конгруэнции (А е 3) являются точки
1? = А - 3е3, Ё, = А - 3е3, г с
причем
(dFl,ë2,ëз )=0, (аЁ2,ё1,ё3 )=0.
Теорема 3. Если касательная плоскость к индикатрисе вектора е 1 параллельна касательной плоскости к поверхности (А), то поверхности (А) и (Ь) являются коническими поверхностями с вершиной в точке А1. Доказательство. Имеем:
& е 1=ш1[(а-1) е 1+Ь е 2+к е 3]+ ш2[- е 2+п е 3],
_ _ __3
(6 е 1 е 1 е 2)=0 при к=0, п=0, т.е. ш3 =0. Дифференцируя внешним образом это уравнение, получаем Ь=0, а=0. Тогда
(а А е 1 & е 1)=0, (а А1 е 3 & е 3)=0, аЛ1=0. Теорема 4. Если многообразие (Ь) - торс с точкой ребра возврата Л1, то линии Гь,Г сопряжены на поверхности (А).
Доказательство. Многообразие (L) -торс с точкой ребра возврата А1, если
— 1 2 (dАi ез dез)=0, т.е. b=0, a=0. Тогда ю1+ =0, ю2+ Ю3 =0. Дифференцируя
внешним образом эти уравнения получаем n=0. Уравнение асимптотических линий поверхностей (А) принимает вид к(ю1)2+т(ю2)2=0, т.е. линии TL,T сопряжены на поверхности (А).
Рассмотрим комплексы (QL)3, у которых линии Tl,T являются асимптотическими на поверхности (А) и точка А1 - характеристическая точка плоскости [ A е 1 е з]. В этом случае система уравнений Пфаффа имеет вид
1 2 2 ю3=0, Ю1 =(1/p-1) ю1, Ю =-ю2, Ю з =- 1/рю1
1 3 3 1
Ю1 = —Ю1, Ю 3 ^Ю2, Ю 2 =ПЮ1, Ю 2 =рю1, (2)
3 ^ 3 2 2
Ю з = Г 31 Ю1+ Г 32 ю2+ Г 33 Ю 3, dak=alЮ1+a2Ю2+aз Ю 3,
dak=alЮ1+a2Ю2+aз Ю 3, dln/= Ю 3 +(a+1) Ю1- Ю 3 -2рЮ2.
Теорема 5. Поверхности (A) и (L) являются одной и той же линейчатой квадрикой.
Доказательство. Точки А и А1 принадлежат квадрике К, уравнение которой имеет вид
-Их1Х2+Хз-Х1Хз +рХ2Хз=0
Из системы (2) следует, что dK=0, т.е. квадрика инвариантна.
Библиографический список
1. Малаховский В.С. О вырожденных конгруэнциях пар фигур // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1973. Вып.3. С.41-49.
2. Кретов М.В. О комплексах центральных квадрик в аффинном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1980. Вып.11. С.51-61.
T.P. F u n t i k o w a DEGENERATE COMPLEXES, GENERATED BY A QUADRIC AND A LINE
Degenerate comp^es, generated by a quadric and a line are considered in a three-dimensional affine space, where manifold of quadrics is threedimensional and that of lines is onedimensional. Klasses of degenerated temples are studied, for which centers of quadrics decribe a surface.
