CC BY
6
кальные расстояния соответствующих прямых пары Т и пары дополнительных конгруэнций. В силу теоремы 7 прямые конгруэнции общих перпендикуляров пересекают соответствующие прямые в их центрах и таким же свойством обладают пары Т дополнительных конгруэнций. Рассматриваемые пары существуют с произволом одной функции одного аргумента.
Библиографический список
1. Редозубова О.С. Основы метрической теории пар Т конгруэнций // МГПИ им. В.И.Ленина. Деп. в ВИНИТИ, № 2993-80 Деп.
2. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М.; Л., 1950.
3. Редозубова О.С. О симметричных парах Т конгруэнций // Геометрия погруженных многообразий. М., 1981.
4. Редозубова О.С. Пары Т конгруэнций, соответствующие прямые которых проходят через фокусы прямых конгруэнции общих перпендикуляров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1992. Вып.23.
5. Редозубова О.С. Специальные пары Т конгруэнций, у которых равны между собой произведения абсцисс фокусов // Там же, Калининград, 1993. Вып.24.
O.S. R e d o z u b o v a
SPECIAL PAIRS OF T-CONGRUENCES
The article represents concepts of the metric theory of special pairs T of congruences. The author uses the results which were obtained by him earlier. Theree were established connections between the separate parts of scientific results that were received by him in different years.
УДК 514.75
КОНГРУЭНЦИИ (СЬ)1Д Е.В. С к р ы д л о в а
(Калининградский государственный университет)
В трехмерном проективном пространстве продолжается исследование вырожденных конгруэнций (СЬ)12, порожденных кривой второго порядка С, описывающей однопараметрическое семейство, и прямой L, описывающей конгруэнцию. Каждой прямой L конгруэнции (СЬ)12 ставится в соответствие единственная коника С, полным прообразом которой является однопараметрическое семейтсво (Ь^ прямых L. В работах [1], [2] рассмотрены конгруэнции (СЬ)12, в которых прямая Ь не принадлежит плоскости соответствующей ей коники С. Поэтому настоящая работа, дополняющая предыдущие, посвящается изучению тех конгруэнций (СЬ)12, в которых коника С и прямая Ь пересекаются в двух различных точках. Семейство (Ь^ в этих условиях является плоским торсом. Изу-
чен класс конгруэнций (СЬ)1;2, в котором все коники С принадлежат одной инвариантной квадрике.
Конгруэнцию (СЦ)1;2 отнесем к реперу R={Ao,A1,A2,Aз}, вершины А1 и А2 которого совместим с точками пересечения прямой L с соответствующей ей ко-никой С, вершину А3 поместим в полюс прямой L относительно коники С, а вершину А0 выберем произвольно вне плоскости коники. Относительно такого репера R коника С задается уравнениями
(х3)2 -2х1 х2 = 0, х0 = 0. Коника С конгруэнции (СЬ)12 описывает однопараметрическое семейство, а прямая L-конгруэнцию, следовательно
гащ{ах ,(\,(3 -юг,а>3 -(г(х + аг -2юъ,ю° ,ю2,ю°) = 1, (1) гащ{а°х ,(0,(3(3} = 2, (2)
где (( (а,@ = 0,1,2,3) - линейные дифференциальные формы, удовлетворяющие уравнениям структуры проективного пространства и условию экви-проективности.
3 ^
Из равенств (1) и (2) очевидно, что формы ( = (■ (¡,у,к=1,2) являются линейно независимыми, поэтому их можно принять в качестве базисных форм конгруэнции (СЦ)1;2. Исключая из рассмотрения случай, когда характеристика плоскости коники С проходит через точку А3, получим Ф 0. Система уравнений Пфаффа конгруэнции (СЦ)1;2 тогда может быть записана в виде:
( = г/(0, (1 +(2 -2(3 = р(0, ( -(3 = С(0; (3)
( = г(з, ( =Лк(к. (4)
Здесь и далее ¡ф и суммирование по этим индексам не производится. Рассмотрим класс К конгруэнций (СЬ)12, в котором все коники С принадлежат одной инвариантной квадрике Q. Уравнение квадрики Q относительно репера R может быть записано в виде:
F = (х3 )2 - 2х1х2 + а00 (х0 )2 + 2а0ах0ха = 0 (а = 1,2,3), а условие ее инвариантности dF=(...)F приводит к следующим уравнениям:
( = а0(0, (3 = ( + а0( + а03( ,
(\ + о\ -2(\ = а0+ а02(( + 2а03
йа00 + а00((\ + ( - 2(1) - а00а0\(22 - а00а02(]° - 2а0а(0 = 0
¿а01 + а0( -(1) - - а00( - а03(3 - (5)
-а01 а0( - (а01)2( = 0,
3 к 0 12 0 3
daQЪ - ( - аок&к - а00(3 + а03((\ + ( - (о - (-$) -
03 ^0 3 "00^3 1 "03'
00 'а0\а03(2 - а02а03(\ =
<
Система уравнений (4), (5) определяет конгруэнцию К с произволом одной функции двух аргументов.
Завершим геометрическую фиксацию репера R, поместив его вершину А0 в полюс плоскости коники С относительно квадрики Q, тогда a0a=0. Пронормируем вершины так, чтобы a00 = 1. Уравнения (5) при этом примут вид:
10 Л Л А Л Л
( = 0, (о\ = Ю ., (Dx +а>2 = 0, Ю 0 = Ю3 = 0, (0 = СО J, COQ =
(51)
1 2
Рассмотрим следующие точки: F1=t2A1-t1A2 и F1=^ Л1+Я A2 - фокусы прямой L, описывающей конгруэнцию (L); T= t2A1+t1A2-A3 - точку пересечения линии (A0) с плоскостью коники С; P1= t2A1+t1A2 - точку пересечения прямой ТА3 c прямой L; P2=X A^X A2 - точку пересечения с прямой L касательной к линии ГС, соответствующей на поверхности (А3) торсу (L)C.
Теорема 1. Пары точек F1 и P1, а также F2 и P2 гармонически разделяют вершины A1 и A2 репера R.
Доказательство следует из равенств (F1P1; A1A2) = (F2P2; A1A2) = - 1.
Теорема 2. Конгруэнция (L) тогда и только тогда является параболической, когда параболической является конгруэнция (A0A3). Конгруэнция К, обладающая этим свойством существует и определяется с произволом трех функций одного аргумента. Линия ГС на поверхности (A3) в этом случае является асимптотической.
Доказательство. Условие совпадения фокусов F1 и F2 прямой L, так же, как и условие совпадения фокусов прямой A0A3, имеет вид
U1 + t2^2 = 0, (6)
т. е. конгруэнции (L) и (A0A3) одновременно являются параболическими. Если для конгруэнции К справедливо равенство (6), можно осуществить последнюю
def
нормировку вершин репера R так, что t1 = t2 = t, тогда
1 2 d4
X = -X = X. Уравнения (4) в силу этой нормировки примут вид: (0 = т\, с0 = X(C1 - с2), (41)
откуда получим
1 2 0 СС\ -Юг = аю^. (7)
Конгруэнция К с параболической конгруэнцией (L) определяется системой уравнений (41), (51), (7) с произволом трех функций одного аргумента. Асимптотические линии на поверхности (А3) в этом случае задаются уравнением
(dЛ + Л(\ аЛ + г)(( + (2))(( - (2) = 0,
т. е. одна из асимптотических соответствует торсу (Ь)с и значит совпадает с линией ГС.
Теорема 3. Фокусы F1 и F2 прямой L тогда и только тогда гармонически разделяют вершины А1 и А2 репера R, когда прямолинейная конгруэнция (А0А3) односторонне расслояема к прямолинейной конгруэнции (Ц). Конгруэнция К, обладающая этим свойством, существует и определяется с произволом трех функций одного аргумента.
Доказательство. Условие гармоничности четырех точек F1, Б2, А1, А2 выражается равенством
^Л1 = 12Л2 = 0. (8)
Условия одностороннего расслоения от конгруэнции (А0А3) к конгруэнции (Ь) записываются в виде:
ю\ лю° = 0, (¡к лю\ = 0, (¡к лю° лю\ = 0.
Равенство (8) является необходимым и достаточным для тождественного удовлетворения этих условий в силу уравнений (4) и (51). В случае справедливости равенства (8) последнюю нормировку вершин репера R осуществим так, чтобы
def def
^ = 1 Тогда Л1 = Л2 = Л, и уравнения (4) примут вид:
(0 = (0, (0 = Л(( + (2). (411)
Из (411) следует
t(( + юх—ю2= аю\. (9)
Конгруэнция К с гармонической четверкой F1, Б2, А1, А2 определяется системой уравнений (411), (51), (9) с произволом трех функций одного аргумента.
Библиографический список
1. Скрыдлова Е.В. Вырожденные конгруэнции (СЬ)1,2 в трехмерном проективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1974. Вып. 5. С.141-158.
2. Скрыдлова Е.В. О вырожденных конгруэнциях, порожденных коникой и прямой // Там же, 1978. Вып. 9. С.85-92.
E. V. S k r y d l o v a
(CL) 1,2 -CONGRUENCES The investigation of the degenerated congruences (CL)12 generated by a second-order curve C describing a one-parameter family and by a line L describing the conguence (L) is continued in the three-dimensional projective space. To each line L of the congruence (CL) 12 the single conic is set, whose pre-image is the one-parametric family (L)c of lines L. Congruences (CL) 12 in which the line L does not belong to the plane of correspronding to it conic C were examined by the author earlier. Therefore the
present article which complement the previous one is devoted to the study of those constructions in which the conic C and the line L intersect in two different points. The family (L)c , under these conditions, is a plane torse. The class of conguence (CL) 1;2 was also investigated, in which all the conics C belong to one invariant quadric.
