О КОНГРУЭНЦИЯХ ОСНАЩЕННЫХ КОНИК В А3, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ КВАДРИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

О КОНГРУЭНЦИЯХ ОСНАЩЕННЫХ КОНИК В Аз, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ КВАДРИКЕ

Е.А. Щ е р б а к

(Калининградский государственный университет)

В трёхмерном аффинном пространстве А3 продолжаются начатые в работе [1] исследования конгруэнций Р оснащенных коник F = {Fi , F2 } при условии, что точка F2 описывает квадрику Q, которой принадлежат все коники F1 конгруэнции (Fi). Доказано необходимое и достаточное условие того, что координатная плоскость (А, e, e) (к = 2, 3) является касательной плоскостью к поверхности (А) центров коник F1 . Рассмотрен подкласс Р конгруэнций Р, обладающий интересными геометрическими свойствами.

1. Конгруэнции Р. Отнесём конгруэнцию Р к реперу R = {A, ёа } (а = 1, 2, 3), начало A которого совместим с центром коники F1 , конец Е3 вектора e3 - с точкой F2 , концы Ег- векторов ei ( i = 1, 2) расположим на конике F1 так, чтобы векторы e и e были сопряжены относительно коники F1, а вектор e2 был параллелен касательной плоскости у к квадрике Q в точке F2 .

Относительно построенного репера R уравнения коники F1 , квадрики Q и система уравнений Пфаффа конгруэнции Р имеют соответственно вид:

(x ')2 + (x2)2 - 1 = 0 , x 3 = 0 ; (1)

(x')2 + (x2)2 + 2ax'x3+ (1 - 2b)(x3)2+ 2bx3 - 1 = 0 ; (2)

3-'3.

da = a (w J + w 3) + w 1 + (1- 2b)w 3 + 2abw3, db = -aw J + (2b - 1)(w 3 + bw3),

•loo О

w1 + aw3 +w = 0, w2 + bw = 0, w 2 +w x + aw 2 = 0,

19 ^ 11 ^ ^

aw2 +w3 + (1 -2b)w3 = 0, a(w3 +w ) + (1 -b)(w +w3) = 0, w2 + bw 3 = 0, w1 + aw3 + bw 3 = 0,

(3)

«3 у © 3» © 3 =Л,- © 3» ©3 = ^ ©

1 2

где главные формы Пфаффа Ю3 и Ю 3 приняты за независимые формы конгруэнции Р, тем самым исключен из рассмотрения случай вырождения индикатрисы вектора ё3 в линию.

Анализируя систему (3), убеждаемся, что конгруэнции Р существуют и определяются с произволом трёх функций двух аргументов.

Теорема. Плоскость (А, ё, ёк) тогда и только тогда является касательной плоскостью к поверхности (А) центров А коники F1, когда касательная плоскость к индикатрисе вектора ё2 параллельна плоскости (А, ё1, ё1) (к #/; к, I = 2, 3).

Доказательство. Рассмотрим поверхность (А). Так как dA = Юа ёа, то касательная плоскость к поверхности (А) в точке А тогда и только тогда параллельна плоскости (А, ё1, ёк ), когда

Ю1 =0 (к #/; к, I = 2, 3). (4)

Для индикатрисы вектора ё2 имеем dë2 = Ю>аёа или, учитывая систему (3), получим

dё1 = ю ^ё - Ью Зё2 -1 ю 2ё3 . (5)

Ь

Здесь Ьф0, в противном случае поверхность (А) вырождается в точку. Очевидно, что касательная плоскость к индикатрисе вектора ё2 тогда и только тогда параллельна плоскости (А, ё, ё ), когда

Ю =0 . (6)

Сравнивая условия (5) и (6), убеждаемся в справедливости теоремы.

2. Конгруэнции Р1. Обозначим буквой m линию пересечения плоскостей (3 и у; буквой К - точку пересечения диаметра (А, ё) коники F1 с прямой m;

Еа= А - ёа .

Определение. Конгруэнция Р называется конгруэнцией Р , если прямая АЕ3 конгруэнции (АЕ3 ) пересекает квадрику Q лишь в одной точке и точка Е1 делит пополам отрезок АК.

Аналитически, условия, выделяющие конгруэнции Р1 из конгруэнций Р, за-

1 I, 1

писываются в виде: а = —, Ь = — .

2 2

1 2

Принимая главные формы Пфаффа ю , ю за независимые формы конгруэнции Р1 , запишем систему уравнений Пфаффа конгруэнции Р1 в виде:

ю 3 = 0, ю1 = 0, ю 2 = 0, ю 3 = -ю1, ю 3 = -2ю 2, ю 3 = -2ю 1,

1л2 2 2,л2 1121-' г (7)

ю2 = -2ю3, ю2 = ю + 2ю3, Ю1 = ю , юз = г.ю .

Конгруэнции Р1 существуют и определяются с произволом одной функции двух аргументов.

Для конгруэнций Р1 легко доказываются следующие геометрические свойства:

1) прямолинейная конгруэнция (АЕ1) и конгруэнция координатных плоскостей (А, ё2, ё) тогда и только тогда односторонне аффинно расслояемы, когда

односторонне аффинно расслояемы прямолинейная конгруэнция (АЕ3) и конгруэнция плоскостей (А, ёх, ё2 );

2) точка К является фокусом прямой т конгруэнции (т);

3) точка К тогда и только тогда является сдвоенным фокусом прямой т конгруэнции (т), когда поверхность (К) вырождается в линию;

4) касательная плоскость к поверхности (К) в точке К принажлежит пучку плоскостей, образованному касательной плоскостью к квадрике Q в точке Е3 и плоскостью коники F1 ;

5) плоскость коники F1 является касательной плоскостью поверхности (А) центров А этой коники;

6) индикатриса вектора ё3 расположена на конической поверхности;

7) касательная к координатной линии Ю2=0 на поверхности Q в точке Е3 параллельна касательной к соответствующей линии на поверхности (Е1) в точке Е1;

8) касательная плоскость к поверхности (Е |) в точке Е | параллельна плоскости (А, ё2, ё3);

9) на поверхностях (Е2), (Е2) касательные к координатной линии Ю2=0 соответственно в точках Е2, Е2 параллельны вектору ёх;

10) центр А коники F1 является фокусом прямых АЕ1 и АЕ2 соответствующих конгруэнций.

Докажем, например, свойства 1, 3.

1. Условия односторонних аффинных расслоений от прямолинейной конгруэнции (АЕ1) к конгруэнции плоскостей (А, ё2, ё3) и от прямолинейной конгруэнции (АЕ3 ) к конгруэнции плоскостей (А, ёх, ё2) имеют соответственно вид:

? 1 О 1 9 1^1

Ю2 ЛЮ2 + Ю,ЛЮ3 = 0, Ю ЛЮ2 +Ю лю3 = 0 ; (8)

Ю3 ЛЮ3 +Ю2 ЛЮ3 = 0, Ю ЛЮ3 +Ю ЛЮ3 = 0 . (9)

Условия (8) и (9) с учетом системы (7) приводятся к одному и тому же виду: Г1 =0.

1 2

3. Фокусы М , М прямой т конгруэнции (т) определяются формулами:

И1 = А + 2ё, М2 = А + 2ё + 3 + 4Г2 ё. (Ю)

2г1

Точка К тогда и только тогда является сдвоенным фокусом прямой т конгруэнции (т), когда

3

Г2 =-4 . (11) Касательная плоскость к поверхности (К) определяется точкой К и векторами

к = 3ё + 4гё -4ё3, К = (3 + 4г2)ё2 .

Поверхность (К) тогда и только тогда вырождается в линию, когда векторы K и K2 коллинеарны, т. е. когда выполняется условие (11).

Библиографический список

1. Хляпова Е.А. О парах конгруэнций фигур, порождённых центральной коникой и точкой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1975. Вып.6. С.212-221.

E. A. S c h e г b a k

ON CONGRUENCES OF EQUIPPED CONICS IN A 3 BELONGING TO A QUADRIC

Congruences P of equipped conics F = {F1 , F2 } are considered in a three-dimensional affine space, provided that a point F2 describes a quadric Q, to which all conics F1 of the congruence {F1 } belong. Necessary and sufficient conditions are proved that the coordinate plane {A, e1 , ek } (k = 2, 3) is a tangent plane to a surface A of centers of a conic F1 . Subclass P1 of congruences P is isolated possesing interesting geometric properties.

УДК 514.75

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ

ГИПЕРКВАДРИК Е.П. Ю р о в а

(Калининградский государственный университет)

В ^мерном аффинном пространстве Ап рассматривается ^-^-мерное многообразие Vn_l центральных невырожденных гиперквадрик. Введены и геометрически охарактеризованы четыре аффинные связности на Изучаются определяемые этими связностями поля векторов и ковекторов на гиперповерхности С центров гиперквадрик Q е Уп-1.

Данная статья является продолжением работ [1]-[3]; при этом используются обозначения и результаты последних. Индексы принимают следующие значения:

а,... = 1, п У= 1, п - 1.

Если начало А репера R={A, ег} помещено в центр гиперквадрики Q е Уп-1, а векторы ег лежат на гиперплоскости TQ, касательной к гиперповерх-