CC BY
9
Библиографический список
1. Щербаков Р.Н., Малаховский В.С. Краткий курс аналитической геометрии. Томск, 1964. 382 с.
2. Малаховская С.В. Конгруэнции линейчатых квадрик с невырождающими-ся фокальными многообразиями высших порядков // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982. Вып. 13. С. 60 - 64.
3. Шмелева С.В. Об одном классе конгруэнций квадрик в Рз с четырехкратной фокальной поверхностью // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1991. Вып. 22. С. 127 - 132.
4. Малаховский В.С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Калининград, 1986. 72 с.
S. V. S h m e l e v a
ON ONE CLASS OF CONGRUENCES OF RULED QUADRICS WITH A FOCAL TETRAHEDRON
A class T of congruences of nondegenerated ruled quadrics Q whose four focal points A0, Ai, A2, A3 form self-polar tetrahedron of a third genus of a quadric Q in which AoAi, A3Ai (i=i,2) are rectilinear generatrixes, where Ao is a point of the second order and a focal surface (A3) degenerated into a line is investigated in a three- dimensional projective space P3. It is proved, that focal surfaces (Ao), (Ai), (A2) are one and the same quadric and focal surfaces of a rectilinear congruence (A0A3) are degenerated into lines, whose tangents passes through focuses Fi and F2 of a ray A1A2 of a rectilinear congruence (A1A2) one of which describes a line as well.
УДК 514.75
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КОНГРУЭНЦИЙ ОСНАЩЕННЫХ КОНИК В А3
Е.А. Щ е р б а к
(Калининградский государственный университет)
Продолжаются исследования [1] конгруэнций К оснащенных коник F = {Fi, F2}, где F1— центральная коника, а F2 — точка, неинцидентная плоскости коники Fi. Получены новые геометрические свойства конгруэнций К, в том числе необходимое и достаточное условие того, что точка А — фокус луча [A, ea ] конгруэнции (A, ea ) (a = 1, 2, 3).
Отнесем конгруэнцию К к реперу Я = {А, еа }, начало А которого совмещено с центром коники Е1, концы Е1 векторов е1 ( 1, | = 1, 2) расположены на конике так, что е1 и е2 сопряжены относительно Е1, причем вектор е2 параллелен касательной плоскости поверхности ^2) в точке Е2, а конец Ез вектора ез помещен в точку Е2. Уравнения коники и система уравнений Пфаффа конгруэнции К имеют соответственно вид:
(х1)2 + (х2)2 - 1 = 0, х3 = 0; (1)
юа = Г1а О1, Ю1а = Г1ал О1, юз3 = Гз31 О1, (2)
где главные формы О1=юз1 приняты за независимые формы конгруэнции К. Условие параллельности вектора е2 касательной плоскости поверхности (Е2) в точке записывается в виде:
(Г11 + Гз11) (Г2з + Гз2з) - (Г21 + Гз21) (Г1з + Гз1з) = 0. (3)
Анализируя систему уравнений ( 2 ) с учетом ( 3 ), приходим к выводу, что конгруэнция К существует и определяется с произволом девяти функций двух аргументов.
Координаты фокальных точек коники конгруэнции ^1) находятся из уравнений ( 1 ) и уравнения:
((х1)2 Г111+х1 х2 (Г211+ Г112)+ (х2)2Г212+х1Г11+х2Г12) (х1Г12з+х2Г22з+Г2з)--((х1)2 Г121+х1 х2 (Г221+Г122)+(х2)2Г222+х1Г21+х2Г22) (х^Ц^х2^^^) = 0. ( 4 ) Теорема 1.Точка Е| тогда и только тогда является фокальной точкой коники конгруэнции ^1), когда формы Пфаффа ю" + ю" и ю|з + юз линейно зависимы (по | — не суммировать).
Доказательство. Из ( 4 ) следует, что Е| является фокальной точкой коники конгруэнции ^1) тогда и только тогда, когда
+ Г" + Г2з) - + Г" (" + Г1з) = 0. (5)
Условие линейной зависимости форм Пфаффа ю" + ю" и Ю|з + юз имеет вид: (ю""+ю") л (ю|з+юз) = 0 или
+ Г" (Г|2з + Г2з) - + Г21) (Г|1з + Г1з) = 0. (6)
Cравнивая ( 5 ) и ( 6 ), убеждаемся в справедливости теоремы.
В дальнейшем будем считать, что а, Р, у — попарно различны, принимают значения 1, 2, з и по ним не производится суммирование.
Теорема 2.Если координатная плоскость [А, еа, ер], является касательной плоскостью поверхности (А), то аффинное расслоение от прямолинейной конгруэнции (А, еу) к конгруэнции касательных плоскостей поверхности (А) существует тогда и только тогда, когда форма Пфаффа ю/ есть полный дифференциал некоторой функции.
Доказательство. Если плоскость [А, еа, ер] является касательной плоскостью поверхности (А), то
ют= 0. (7)
Замыкание ( 7 ) дает:
юа л юау + юв л юрт = 0. (8)
Условие аффинного расслоения от прямолинейной конгруэнции (А, ey) к конгруэнции касательных плоскостей [А, ea, ep] поверхности (А) c учетом (7) и (8), имеет вид:
Ш/* Л ®aY+ ЮуР Л ®pY = 0. (9)
Форма Пфаффа ю/ тогда и только тогда является полным дифференциалом некоторой функции, когда Бю/ = 0 или выполняется равенство ( 9 ), откуда следует утверждение теоремы.
Теорема 3.Точка А тогда и только тогда является фокусом луча [А, ea] конгруэнции (А, ea), когда формы Пфаффа юв и юг линейно зависимы.
Доказательство. Точка А является фокусом луча [А, ea] конгруэнции (А, ea) тогда и только тогда, когда Г1вГ2г - Г2вГ1г = 0 или юв л юу = 0, а это и означает линейную зависимость форм юв и юу.
Библиографический список
1. Щербак Е.А. О конгруэнциях пар фигур, порожденных коникой и точкой в Аз // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1986.С. 110 - 114.
E. A. S c h e r b a k
ON SOME PROPERTIES OF CONGRUENCES OF EQUIPPED CONICS IN A3
Investigation of congruences K equipped conics F={F1, F2} are continued, where F1 is a central conic and F2 is a point, not incident to a plane of the conic F1. New geometric properties of the congruence K are obtained.
УДК 514.76
ОСНАЩЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ ГОЛОНОМНОГО И НЕГОЛОНОМНОГО ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Ю.И. Ш е в ч е н к о
(Калининградский государственный университет)
Под центропроективным многообразием понимается результат проективиза-ции дифференцируемого многообразия, при которой касательные линейные пространства всех порядков превращаются в центропроективные пространства тех же размерностей. При этом различаются голономные и неголономные цен-тропроективные многообразия, полученные из соответствующих дифференци-
