CC BY
16
УДК 62-621 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-3-22-27
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
COMPUTING COMPLEX DEFINITION PARAMETERS OF HARMONIC SIGNALS IN THE POWER AND ENERGY SYSTEMS
© 2015 г. A.A. Михайлов, А.Д. Прасько, А.Е. Грошев
Михайлов Анатолий Александрович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Информационные и измерительные системы и технологии», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635) 25-52-14. Е-mail: Iimt-srstu@mail.ru
Прасько Александр Дмитриевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Теоретическая электротехника и электрооборудование», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635) 25-53-08. E-mail: Nvis65@mail.ru
Грошев Александр Евгеньевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Теоретическая электротехника и электрооборудование», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. Тел. (8635) 25-53-08. E-mail: Groshev.ae@ mail.ru
Mikhailov Anatoly Alexandrovich - Doctor of Technical Science, professor, department «Information Measuring Systems and Technologies», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635) 25-52-14. E-mail: Iimt-srstu@mail.ru
Prasko Alexandr Dmitriyevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Theoretical Electrical Engineering and Electrical Equipment», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635) 25-53-08. E-mail: Nvis65@mail.ru
Groshev Alexandr Evgenyevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Theoretical Electrical Engineering and Electrical Equipment», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. Ph. (8635) 25-53-08. E-mail: Groshev.ae@mail.ru
Работа посвящена разработке моделей и методов управления, диагностирования и прогнозирования технического состояния электрических, электронных и радиотехнических систем. Применение диагностирования и прогнозирования технического состояния позволит на ранней стадии обнаружить возникший дефект, контролировать его дальнейшее развитие и сделать прогноз времени отказа. В настоящее время измерение параметров электрических гармонических колебаний основано на использовании метода непосредственного измерения (непосредственного отчета или непосредственной оценки) для аналоговых измерительных приборов и применения различных операций цифрового кодирования для цифровых измерительных приборов. Данные методы и средства диагностирования не отвечают в полной мере современному уровню развития электро- и радиотехнических систем, так как с увеличением частоты измеряемого колебания точность измерения падает.
Ключевые слова: измерение частоты, фазы, амплитуды гармонических колебаний.
Work is devoted to development of models and methods of management, diagnosing and forecasting of technical condition of electric, electronic and radio engineering systems. Application of diagnosing and forecasting of technical condition will allow to find the arisen defect at an early stage, to control its further development and to make the forecast of time of refusal. Now measurement ofparameters of electric harmonic oscillations is based on use of a method of direct measurement (the direct report or a direct assessment) for analog measuring devices and application of various operations of digital coding for digital measuring devices [1]. These methods and diagnostic devices don't answer fully a modern level of development electro - and radio engineering systems as with increase in frequency of the measured fluctuation the accuracy of measurement falls.
Keywords: measurement of frequency, phase, amplitude of harmonic oscillations.
Введение пользовании метода непосредственного измерения
В настоящее время измерение параметров элек- (непосредственного отчета или непосредственной трических гармонических колебаний основано на ис- оценки) для аналоговых измерительных приборов и
применения различных операций цифрового кодирования для цифровых измерительных приборов [1].
Данные методы и средства диагностирования не отвечают в полной мере современному уровню развития электротехнических и электроэнергетических систем, так как с увеличением частоты измеряемого колебания точность измерения падает.
В связи с этим целью исследований являлись:
- разработка математического аппарата, реализация которого позволит осуществлять определение (измерение) частоты, фазы и амплитуды гармонических электрических колебаний, инвариантного к внешним воздействиям;
- синтез структуры устройства измерения амплитуды, частоты и фазы напряжения (тока).
Особенностью современного развития электротехнических устройств и измерительной техники является широкое внедрение цифровых систем. В связи с этим целесообразно операции по регулировке характеристик гармонических колебаний осуществлять с использованием математических методов.
Рассмотрим способ определения частоты гармонических колебаний на основе линейных операций, которые исключают искажения нелинейного характера.
Математические основы метода определения параметров гармонических колебаний в электрических цепях
Определение частоты гармонических колебаний
Сущность способа измерения частоты колебаний сводится к следующему. Как известно
UBX(t) = A0 sin rat,
(1)
dt
dt
Ап
К H(t) = |UBX(t)dt = J A0 sin rat = —0cos rat. (3)
ra
Разделив результат дифференцирования на результат интегрирования входного сигнала, получим [2]
К =
К fl(t)
к n(t) _ a
ra
A0ra cos rat 2 -;- = _ra .
(4)
cos at
Проведя операцию линеаризации сигнала ^вых1 путем извлечения квадратного корня
Квых2 = V Кинв = (
(5)
найдем коэффициент Квых2, пропорциональный значению собственно частоты входного сигнала.
Таким образом, преобразовав колебание в соответствии с математическими операциями (1) - (5), можем получить два различных напряжения КвыхЬ Квых2, величины которых соответственно пропорциональны квадрату частоты и собственно частоте входного синусоидального колебания.
Отличительным признаком предложенного способа определения частоты колебаний является то, что обработка сигнала осуществляется в соответствии с математическими операциями линейного характера, что предопределяет высокую точность и минимум искажений [3, 4].
Определение амплитуды гармонических колебаний
Для решения данной задачи используем подход, сущность которого основана на известной математической операции над тригонометрическими функциями гармонического характера:
sin2 х + cos2 х = 1.
(6)
где га - циклическая частота входного колебания; A0 - некоторый коэффициент, пропорциональный амплитуде входного колебания.
Проведем одновременно операцию дифференцирования и интегрирования по времени входного колебания (1):
„п.ч dU m(t) dA0 sin rat
К A(t) = —= —0-= A0ra cos rat; (2)
Рассмотрим основы метода определения амплитуды гармонических колебаний.
Умножив входной электрический сигнал, представляющий собой гармоническое колебание синусоидальной (косинусоидальной) формы
"вх (') = и0 sin,
где ю - циклическая частота входного сигнала; и0 -амплитуда входного сигнала [2], сам на себя, получим
u вЫх (t) = UosinatUosinat = U¿2 sin2 a t. (7)
Одновременно с этим, проведя линейные операции интегрирования и дифференцирования во времени входного сигнала, найдем
и"ых (t) = J ивх (t )dt = U 0 J sin a tdt = -—cos a t, (8)
2 •„ 2
ra
d iA_ duBx (t ) _ J J d sin rat
= U ft
иВых (t) =
dt
dt
= U 0ra cos rat. (9)
Перемножив напряжения, получаемые после интегрирования (8) и дифференцирования (9), имеем
Un
иВЫх (t) = иВЫх (t) иВЫх (t) = _U оracos rat—cos rat =
Здесь К есть некоторый коэффициент, пропорциональный квадрату частоты входного сигнала. После инвертирования полученного значения Квых1 = = Кинв = га2 имеем коэффициент КвыхЬ пропорциональный значению квадрата частоты входного сигнала.
= _U2 cos2 rat.
(10)
Если величину напряжения (10) вычесть из напряжения, полученного в выражении (7), то будем иметь выражение, аналогичное выражению (6) для сигнала, изменяющегося во времени, с учетом (6)
(t) = U02sin2rot + U02cos2rot =
= Uo2(sin2rot+cos2rat) = U02.
(11)
После извлечения корня квадратного из напряжения (11) получим амплитуду искомого напряжения.
" (12)
(t ) = ^ U 0 = Uo.
Таким образом, проведя математические операции (7) - (12) над электрическим сигналом, представляющим собой гармоническое колебание, можно выделить параметр его амплитуды без высокочастотной составляющей.
Математическую модель устройства определения амплитуды гармонического колебания можно представить выражением
:(t ) =
U (t) sin rotU (t) sin rot -
-U (t )J sin rotdtU (t)
d sin rot dt .
Определение фазы гармонических колебаний Известно тригонометрическое выражение (9)
J tg2 xdx = tgx - x,
(13)
в случае переменной х = at + ф, для которой dx = adt, выражение (13) имеет вид
roJ tg2(rot + 9)dt = tg(rot + ф) - (rot + ф). (14)
Для фазы ф = 0
roJ tg2 (rot)dt = tg(rot) - (rot).
(15)
При этом выражение для разности фаз двух сигналов (14) и (15) имеет вид
го| tg2(юt + ф^ - ю| tg2 (го1^ = = tg(гot + ф) - tg(гot) -ф,
т.е.
k ф =
tg(rot +ф) - tg(rot)
го
-J tg2 (rot + ф) dt + J tg2 (rot )dt,
(16)
здесь ю - циклическая частота входного колебания, ю = const; А0 = const; ф(0 - фаза измеряемого колебания. Следует отметить, что в данном выражении выделяемая фаза ф(0 является управляемым информационным сообщением. Несущая частота модулированного сигнала в соответствии с требованиями модуляции должна быть, как минимум, на порядок больше изменения информационного сообщения. Поэтому входной сигнал Uвхф (t) при анализе можно рассмотреть в виде
U ВХф (t) = 4,sin(rot + ф),
(17)
где ф - фиксированное значение детектируемой фазы. Фиксированное значение детектируемой фазы в процессе ее детектирования исключает дополнительные динамические погрешности детектирования.
Проведем линейные операции над входным исследуемым колебанием синусоидальной формы (17) путем его одновременного дифференцирования, интегрирования и умножения самого на себя. При этом получим:
U дифф (t) = "
dU
ВХф
dt
= A0cos(rot + ф);
A
(18)
U*^« = J ^Хф (t)dt = -^cos(rot + ф); (19)
го
U.
умнф v
(t) = U ВХф (t )U ВХф (t) = Ao2sin2(rot + ф). (20)
ВХф
Перемножив выражение (18) на выражение (19), найдем
^умнф2« = идифф1«иинтф1« = -Л2со32М + ф). (21)
Разделив результат в выражении (20) на результат выражения (21), получим величину, пропорциональную квадрату тангенса аргумента входного сигнала
_ ^1(t) _ A) sin (rot + ф) _
U 2 (t) = 2 2
tg<p Uумнф2 (t) AW(rot + ф)
= -tg2 (rot + ф) (22)
При этом
Ur 2 (t) = -J tg2(rot + ф)dt.
J tg ф
(23)
где k = —.
го
Следовательно, выражение (16) позволяет выделить фазу неизвестного колебания путем сравнения с опорным колебанием.
Рассмотрим реализацию выражения (16), выберем в качестве исследуемого колебания гармоническое колебание
ивхф (1) = Ао sin(гo t + ф(0),
Разделив выражение для входного сигнала (17) на результат его дифференцирования - выражение (18), имеем
и (t) = ивхф(t) = А0^п(го г1 + ф) = tg(гot + ф) (24)
ф Uдиффl(t) roA0Cos(rot + ф)
го
Аналогичные операции можно проделать и с опорным сигналом. Отличие полученных выражений будет заключаться в отсутствии индексов ф, что соответствует опорному сигналу с нулевой фазой ф = 0.
Для получения результатов в окончательном виде в соответствии с выражением (16), соответствующими
u
u
2
слагаемыми, полученными в выражениях (23) и (24), как для исследуемого, так и для опорного сигнала, учтем инверсии этих сигналов, которые легко реализуются операцией вычитания, и получим
Шф (/) = ищ (/) - иЁф (/) - и ^ (/) - и ^ (/), (25)
где иф (/) - величина напряжения, пропорциональная
сдвигу фазы между исследуемым и опорным сигналами, соответствующая левой части выражения (16).
Таким образом, реализовав выражение (25), получим на выходе напряжение, пропорциональное изменению фазы. Причем коэффициент пропорциональности k определяется не только частотой детектируемого колебания, но и постоянными применяемых дифференциаторов и интеграторов. Данный коэффициент может быть учтен путем задания соответствующего коэффициента усиления вычитателя.
Синтез вычислительного комплекса как устройства для определения параметров гармонического колебания
Представленные алгоритмы выделения амплитуды, частоты и фазы гармонического колебания можно реализовать как аппаратным, так и программным путем на базе цифрового процессора.
Рассмотрим реализацию вычислительного комплекса (рис. 1) на базе линейных аналоговых устройств.
ивх = U(t) sinrat
АМПЛИТУДА
■ч ■
ЧАСТОТА
ч
ФАЗА
J
dt
X
í
X
ивых = U(t)
ивых= U2(t)
Рис. 2. Функциональная схема блока измерения амплитуды
На выходах идеального аналогового интегратора и дифференциатора, представляющих собой соответственно интегрирующие и дифференцирующие ЛС-цепи, формируются напряжения, пропорциональные интегралу и дифференциалу от входного сигнала
«виых (t) = J «вх(?)dt =
м, 1 U (t) = U (t)J sin ra t dt = —=—---— cos ra t;
RиCи ra
(t ) =
^вх (í)
dt
TT i \ d sin ra t n rr = U (t)---= RdCdU0ra cos ra t.
dt
Рис. 1. Структура вычислительного комплекса
Синтез блока измерения амплитуды гармонического колебания
Предлагаемый блок работает следующим образом. При поступлении входного сигнала с изменяющейся во времени амплитудой (в частности, ампли-тудно-модулированного колебания [2, 3])
ивх (t ) = и (t) sin rat,
где U (t) - огибающая амплитуда гармонического колебания, на первый умножитель, в котором происходит умножение входной синусоиды самой на себя, на выходе получим и^ (t) = U (t) sinratU (t) sinrat.
Здесь величины RHCH и RdCd представляют собой постоянные времени интегрирующей и дифференцирующей цепи соответственно. Они характеризуют внутренние параметры дифференциатора и интегратора. С целью уменьшения погрешности определения амплитуды постоянные времени интегрирующей и дифференцирующей цепи при практической реализации должны быть подобраны одинаковыми.
Перемножив напряжения, получаемые после дифференцирования и интегрирования, получим на выходе второго умножителя напряжение
(t) = <х (t) ulm (t) =
. . 1 U (t)
= -RdCdU (t )ra cos rat--cos rat =
КСи ra
= - RdC^u (t )2cos2 rat.
КСи
При условии равенства внутренних параметров дифференциатора и интегратора Rd = R„ = R и Cd = Си =
= С получим (t) = U(t)2 cos2 rat.
Если полученное на выходе первого умножителя напряжение вычесть в вычитателе из напряжения, образованного на выходе второго умножителя, получим, используя известное выражение (6), (11), напряжение
U ввых =U(t)2sin2rat + U(t)2cos2rat =
= U(t)2(sin2rat + cos2rat) = U(t)2.
d
и
После извлечения корня квадратного из полученного напряжения находим амплитуду искомого напряжения «вы (t)=VU (t )2 =U (t).
В этом алгоритме первое слагаемое выражения реализуется квадратором (умножением входного синусоидального сигнала самого на себя), а второе слагаемое реализуется путем дифференцирования и интегрирования синусоидального сигнала с последующим их перемножением.
Окончательно величина выходного напряжения, пропорциональная амплитуде входного гармонического колебания, формируется на выходе вычитателя первого и второго слагаемого. Для получения искомой величины огибающей входного колебания необходимо извлечь корень квадратный из полученного соотношения в устройстве извлечения корня.
Синтез блока измерения частоты гармонического колебания
Предлагаемый блок работает следующим образом. Сигнал ивх = А0 sin(rat), частота которого регу-
лируется предлагаемым устройством, подается одновременно на вход дифференциатора и на вход интегратора. После параллельного дифференцирования и интегрирования сигнал поступает на делитель, где после деления поступает на вход инвертора. В инверторе у сигнала частоты исчезает знак минус и затем
ю2 подается на устройство извлечения корня V.
Таким образом, на вход предлагаемого устройства подается сигнал Uвх = А0 sin(rat), а на выходе формируется в соответствии с приведенными выражениями сигнал ю.
Синтез блока измерения фазы гармонического колебания
Синтезируемый блок состоит из двух идентичных каналов, - канала синусоиды оцениваемой фазы (основной канал) и канала опорной синусоиды (опорный канал). Общим для обоих каналов является вычита-тель, выход которого является выходом блока измерения фазы гармонического колебания. Работу блока рассмотрим на примере основного канала (рис. 4).
Квых1 =ra2
Синусоида оцениваемой фазы _
Рис. 3. Функциональная схема блока измерения частоты
Основной канал
A0sin(o>t + ф)
d/ dt
Опорная синусоида
d/dt
/
Инв
Инв
X
х т / „
A0sin(o>t) i
Выч
Выход
X
Опорный канал
Рис. 4. Функциональная схема блока измерения фазы 26
т
х
/
х
/
Предлагаемый блок работает следующим образом. Входное синусоидальное колебание с изменяющейся фазой (17) одновременно поступает на вход первого умножителя, где происходит умножение синусоидального колебания само на себя (20), а также вход интегратора и дифференциатора. Затем выходные напряжения интегратора (18) и дифференциатора (19) перемножаются на втором умножителе (21). Взяв отношение в первом делителе напряжения с выхода первого умножителя, задержанное напряжение задержки сигнала к напряжению с выхода второго умножителя, получим напряжение, пропорциональное квадрату тангенса от аргумента входного сигнала (22), которое после интегрирования на втором интеграторе поступает на первый вход сумматора. Одновременно на второй вход сумматора после инвертирования подается напряжение с входа второго делителя напряжения, полученное путем отношения входного сигнала к напряжению с выхода дифференциатора. Просуммированное на сумматоре напряжение является выходным напряжением соответствующего канала обработки сигнала.
Аналогично в канале опорного сигнала формируется выходное напряжение опорного сигнала ^^шю!
Вычтя из напряжения на выходе основного канала напряжение на выходе опорного канала, получаем на выходе вычитателя напряжение, величина которого пропорциональна фазовому сдвигу между исследуемым и опорным колебанием.
Заключение
Применение линейных математических операций над гармоническими сигналами, которые исключают искажения нелинейного характера, позволило разработать методы анализа параметров гармонических колебаний и синтезировать устройство измерения амплитуды, частоты и фазы напряжения (тока), обладающее широкой универсальностью по частоте измеряемых (обрабатываемых) электрических колебаний
[5, 6].
Литература
1. Михайлов А.А., Грошев А.Е., Прасько А.Д. Определение амплитуды гармонических колебаний с использованием математических методов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. региона. Техн. науки. 2014. № 6. С. 143 - 145.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1973. 832 с.
3. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Коржик В.И., Назаров М.В. Теория электрической связи. учебник для вузов / под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио и связь, 1998. 442 с.
4. Теплов Н.Л., Куделин Е.Н., Лежнюк О.П. Нелинейные радиотехнические устройства: учебник для вузов / под ред. Н.Л. Теплова. М.: Воениздат, 1982. 352 с.
5. Устройство управления фазой колебаний / А.А. Михайлов, С.А. Якушенко, Е.Ю. Якушенко, А.Д. Прасько, Г.Ю. Прасько, Н.Н. Михайлова. Пат. 2273950 РФ, МКИ Н03Н11/16.-Заявл. 19.11.03; опубл. 10.04.06. Бюл. 10.
6. Способ фазовой модуляции колебаний / А.А. Михайлов, Н.Н. Михайлова, Г.Е. Журбин. Пат. 2300837 РФ, МКИ H03D3/02. Заявл. 14.04.04; опубл. 10.06.07, Бюл. 16.
References
1. Mihajlov A.A., Groshev A.E., Pras'ko A.D. Opredelenie amplitudy garmonicheskih kolebanij s ispol'zovaniem matematicheskih metodov [Determination of amplitude of harmonic oscillations with use of mathematical methods]. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskij region. Tehnicheskie nauki, 2014, no. 6, pp. 143-145
2. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike (dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov) [Reference book on mathematics (for scientists and engineers)]. Moscow, V-71, Nauka Publ., 1973, 832 p.
3. Zyuko A.G., Klovskij D.D., Korzhik V.I., Nazarov M.V. Teoriya 'elektricheskoj svyazi. Uchebnik dlya vuzov [Theory of electric communication. The textbook for higher education institutions]. Moscow, Radio i svyaz', 1998, 442 p.
4. Teplov N.L., Kudelin E.N., Lezhnyuk O.P. Nelinejnye radiotehnicheskie ustrojstva. Uchebnik dlya vuzov [Nonlinear radio engineering devices. The textbook for higher education institutions]. Moscow, Voenizdat, 1982, 352 p.
5. Mihajlov A.A. Yakushenko S.A., Yakushenko E.Yu., Pras'ko A.D., Pras'ko G.Yu., Mihajlova N.N Ustrojstvo upravleniya fazoj kolebanij Control unit phase of fluctuations. Pat. 2273950 RF, 2006.
6. Mihajlov A. A., Mihajlova N.N., Zhurbin G.E. Sposob fazovoj modulyacii kolebanij [Way of phase modulation of fluctuations]. Pat. 2300837 RF, 2007.
Поступила в редакцию 28 мая 2015 г.
