Определение амплитуды гармонических колебаний с использованием математических методов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СООБЩЕНИЯ

УДК 62-621 DOI: 10.17213/0321-2653-2014-6-143-145

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

© 2014 г. А.А. Михайлов, А.Д. Прасько, А.Е. Грошев

Михайлов Анатолий Александрович - д-р техн. наук, про- Mikhailov Anatoly Alexandrovich - Doctor of Technical Sci-фессор, кафедра «Информационные и измерительные сис- ence, professor, department «Information Measuring Systems темы и технологии», Южно-Российский государственный and Technologies», Platov South-Russian State Polytechnic политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. University (NPI). Ph. (8635) 25-52-14. Е-mail: Iimt-srstu Тел. (8635) 25-52-14. Е-mail: [email protected] @mail.ru

Прасько Александр Дмитриевич - доцент, кафедра «Теоре- Prasko Alexander Dmitriyevich - assistant professor, depart-тическая электротехника и электрооборудование», Южно- ment Theoretical Electrical Engineering and Electrical Equip-Российский государственный политехнический университет ment», Platov South-Russian State Polytechnic University (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. (8635) 25-53-08. Е-mail: (NPI). Ph. (8635) 25-53-08. Е-mail: [email protected] [email protected]

Грошев Александр Евгеньевич - доцент, кафедра «Теорети- Groshev Alexander Evgenyevich - assistant professor, depart-ческая электротехника и электрооборудование», Южно- ment Theoretical Electrical Engineering and Electrical Equip-Российский государственный политехнический университет ment», Platov South-Russian State Polytechnic University (НПИ) имени М.И. Платова. Тел.(8635)25-53-08. Е-mail: (NPI). Ph. (8635) 25-53-08. Е-mail: [email protected] [email protected]

Работа посвящена разработке моделей и методов диагностирования и прогнозирования технического состояния электрических, электронных и радиотехнических систем. Применение диагностирования и прогнозирования технического состояния позволит на ранней стадии обнаружить возникший дефект, контролировать его дальнейшее развитие и сделать прогноз времени отказа. В настоящее время измерение параметров электрических гармонических колебаний основано на использовании метода непосредственного измерения (непосредственного отчета или непосредственной оценки) для аналоговых измерительных приборов и применения различных операций цифрового кодирования для цифровых измерительных приборов. Данные методы и средства диагностирования не отвечают в полной мере современному уровню развития электро- и радиотехнических систем, так как с увеличением частоты измеряемого колебания точность измерения падает. Ключевые слова: амплитуда гармонических колебаний; интегратор; дифференциатор; амплитудно-модули-рованное колебание.

The article is devoted to development of models and methods of diagnostics and forecasting the operating conditions of electrical, electronic and radio-engineering systems. The application of diagnostics and forecasting of operating conditions at early stage will allow detecting an appeared defect, controlling its further expansion and forecasting the moment offailure. In the present measurement ofparameters of electric harmonic oscillations is based on use of a method of direct measurement (the direct report or a direct assessment) for analog measuring devices and application of various operations of digital coding for digital measuring devices. These methods and diagnostic devices don't answer fully a modern level of development electro - and radio engineering systems as with increase in frequency of the measured fluctuation the accuracy of measurement falls.

Keywords: amplitude of harmonic oscillations; integrator; differentiator; amplitude-modulated oscillation.

Введение Рассмотрим способ определения амплитуды

Целью проведенных исследований являлось: гар^ни^кж к°лебаний га °сн°ве отнетньк °шра-

- разработка математического аппарата, реализа- ций> которые жютогаот жкажнга жмжйшго ция которого позволит осуществлять определение характера.

(измерение) амплитуды гармонических электрических Математические основы способа определения

колебаний, инвариантного к изменению частоты амплитуды гармонических колебаний

входных колебаний;

- синтез структуры устройства измерения ампли- Для решения данной задачи используем подход, туды напряжения (тока), которую можно реализовать сущность которого основана на известной математи-как аппаратным, так и программным путем на базе ческой операции над тригонометрическими функция-цифровых устройств [1]. ми гармонического характера

sin х + cos X = 1 .

(1)

При наличии гармонических колебаний напряжения или тока синусоидальной (косинусоидальной) формы путем несложных математических операций можно выделить величину амплитуды напряжения (тока). Поэтому предлагаемый способ определения амплитуды гармонических колебаний назовем математическим.

Рассмотрим математические основы метода определения амплитуды гармонических колебаний.

Умножив входной электрический сигнал, представляющий собой гармоническое колебание синусоидальной (косинусоидальной) формы (входной сигнал) ивх (t) = U0 sinfflt, где ю - циклическая частота входного сигнала; U0 - амплитуда входного сигнала [2], сам на себя, получим

u вых (t) = U0sinrotU0sinrot = U0 sin2 ю t. (2)

Одновременно с этим, проведя линейные операции интегрирования и дифференцирования во времени входного сигнала, будем иметь:

^ых (t) = í Uвх(t)dt =

(t ) =

= U0 ísinю t dt =--0cosю t;

ю

duBx (t )_r r d sin rot

= U í

(3)

= U 0ю cos rat. (4)

dt dt Перемножив напряжения, получаемые после интегрирования (3) и дифференцирования (4), найдем

2

(t) = <х (t) <ь:х (t) =

Un

= -U0ra cos rat—cos rat = -U ¿^cos2 rat. (5) ra

Если величину напряжения (5) вычесть из напряжения, полученного в выражении (2), то будем иметь выражение, аналогичное выражению (1) для сигнала, изменяющегося во времени, с учетом (1)

<ых (t) = Uo2sin2rat + Uo2cos2rat =

= Uo2(sin2iBt+cos2(Bt) = U 0

(6)

После извлечения корня квадратного из полученного напряжения (6) получим амплитуду искомого напряжения.

«вых ^) = ^ = и0. (7)

Таким образом, проведя математические операции (2) ^ (7) над электрическим сигналом, представляющим собой гармоническое колебание синусоидальной (косинусоидальной) формы, можно выделить параметр его амплитуды без высокочастотной составляющей.

Представленный алгоритм выделения амплитуды гармонического колебания можно реализовать как аппаратным, так и программным путем на базе цифрового процессора.

Рассмотрим реализацию математического детектора на базе линейных аналоговых устройств.

Синтез структуры устройства определения амплитуды гармонического колебания

При поступлении входного сигнала с изменяющейся во времени амплитудой (в частности, ампли-тудно-модулированного колебания [2, 3]) ивх (t) = U (t) sin юt,

где U (t) - огибающая амплитуда гармонического

колебания, на первый умножитель, в котором происходит умножение входной синусоиды самой на себя, на выходе, получим

и вЫх (t) = U (t) sin(t U (t) sin(t = U (t)2 sin2 ю t.

На выходах идеального аналогового интегратора и дифференциатора, представляющих собой соответственно интегрирующие и дифференцирующие RC цепи, формируются напряжения, пропорциональные интегралу и дифференциалу от входного сигнала:

ивых (t) = íивх^)dt =

Mf 1 U (t)

= U(t)I sinю t dt =---— cosю t;

v n RC ю

d í\ du (t) dsinü^t „ ^ rr

Uвых (t) = —d^ = U (t= RdCdUою cos ю t .

Здесь величины RИCИ и RdCd представляют собой постоянные времени интегрирующей и дифференцирующей цепи соответственно. Они характеризуют внутренние параметры дифференциатора и интегратора. С целью уменьшения погрешности определения амплитуды постоянные времени интегрирующей и дифференцирующей цепи при практической реализации должны быть подобраны одинаковыми [4, 5].

Перемножив напряжения, найденные после дифференцирования и интегрирования, получим на выходе второго умножителя напряжение

иУы2х (t)= и^х (t) и!х (t) =

/ ч 1 U (t) = -RdCdU (t )ю cos ot--—cos ot =

КСи ю

= - RdC±U (t )2cos2 юt.

КСи

При условии равенства внутренних параметров дифференциатора и интегратора Rd = RJ1 = R и

Сd = Си = С, получим

ивых (t ) = U (t )2 cos2 юt.

Если полученное на выходе первого умножителя напряжение вычесть в вычитателе из напряжения, образованного на выходе второго умножителя, находим, используя известное из геометрии выражение (1), напряжение

U ввых = U(t)2sin2ff>t + U(t)2cos2ff>t =

= U(t)2(sin2ff>t + cos2ff>t) = U(t)2.

После извлечения корня квадратного из полученного напряжения находим амплитуду искомого напряжения:

и

( t ) = - и ( t ).

Таким образом, математическую модель устройства определения амплитуды гармонического колебания можно представить выражением

^ых ( t ) =

= . U(t)sinœtU(t)sinœt-U(t){sinœt dtU(t)

d sin œ t ' dt

Функциональная схема устройства, реализующая рассмотренный алгоритм, представлена на рисунке.

Функциональная схема устройства, реализующего выделение амплитуды колебания

В этом алгоритме первое слагаемое выражения реализуется квадратором (умножением входного синусоидального сигнала самого на себя), а второе слагаемое реализуется путем дифференцирования и интегрирования данного синусоидального сигнала с последующим их перемножением.

Окончательно величина выходного напряжения, пропорциональная амплитуде входного гармонического колебания, формируется на выходе вычитателя первого и второго слагаемого. Причем этот средне-квадратический сигнал может самостоятельно использоваться в различных измерительных, а также электро- или радиотехнических устройствах.

Для получения искомой величины огибающей входного колебания необходимо извлечь корень квадратный из полученного соотношения в устройстве извлечения корня. Таким образом, предложенный алгоритм и реализующее его устройство позволяют выделить огибающую амплитуды гармонического колебания.

Математические операции могут быть выполнены в вычислителе на базе микропроцессора, алгоритм функционирования которого реализует рассмотренную на рисунке структуру.

Входной электрический сигнал, представляющий собой гармоническое колебание синусоидальной (косину-соидальной) формы, в вычислитель может быть введен с помощью аналого-цифрового преобразователя [6].

Заключение

Применение линейных математических операций над гармоническими сигналами, которые исключают искажения нелинейного характера, позволило разработать метод и синтезировать устройство измерения амплитуды напряжения (тока), обладающее широкой универсальностью по частоте измеряемых (обрабатываемых) электрических колебаний.

Литература

1. Албин А.Н., Ушаков М.А. Электротехника. М., 2002. 431 с.

2. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Коржик В.И., Назаров М.В. Теория электрической связи: учебник для вузов / под ред. Д.Д. Кловского. М., 1998. 442 с.

3. Теплое Н.Л., Куделин Е.Н., Лежнюк О.П. Нелинейные радиотехнические устройства: учебник для вузов / под ред. Н.Л. Теплова. М., 1982. 352 с.

4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: М., 2000. 638 с.

5. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей: учебник для вузов: 5-е изд., пере-раб. М., 1989. 528 с.

6. Забродин Ю.С. Промышленная электроника: учебник для вузов. М., 1982. 496 с.

u

References

1. Albin A.N., Ushakov M.A. лElektrotehnika [Electrical Engineering]. Moscow, 2002, 431 p.

2. Zyuko A.G., Klovskij D.D., Korzhik V.I., Nazarov M.V. Teoriya ^elektricheskoj svyazi. Ucheb. dlya vuzov [Theory of telecommunications. Textbook. for institutions of higher education]. Moscow, 1998, 442 p.

3. Teplov N.L., Kudelin E.N., Lezhnyuk O.P. Nelinejnye radiotehnicheskie ustrojstva. Ucheb. dlya vuzov [Nonlinear electronic devices. Textbook. for high schools]. Moscow,1982, 352 p.

4. Bessonov L.A. Teoreticheskie osnovy ^elektrotehniki. Elektricheskie cepi [Theoretical foundations of electrical engineering. Electric circuit]. Moscow, 2000, 638 p.

5. Zeveke G.V., Ionkin P.A., Netushil A.V., Strahov S.V. Osnovy teorii cepej. Ucheb. dlya vuzov [Fundamentals of circuit theory. Textbook. for universities]. Moscow, 1989, 528 p.

6. Zabrodin Yu.S. Promyshlennaya лelektronika. Uchebnik dlya vuzov [Industrial electronics: textbook for universities]. Mos-cow,1982, 496 p.

Поступила в редакцию 29 сентября 2014 г.