Вычисление интервала справедливых цен для общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.6

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛА СПРАВЕДЛИВЫХ ЦЕН ДЛЯ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ КОКСА-РОССА-РУБИНШТЕЙНА

© 2006 г. Г.И. Белявский, Т.А. Гробер

For one of models discrete (B, S) - market the interval of the fair prices of hedging is calculated at the convex contingent claim. The model allows to describe a assets price evolution with any degree of accuracy.

Введение. В статье [1] исследуется дискретный (В, 8) - рынок. Там же предлагается способ вычисления верхней цены хеджирования, использующий идеологию динамического программирования, и показывается, что задача сводится к последовательности задач линейного программирования. В нашем исследовании получены явные формулы для верхней и нижней цены хеджирования и составляющих оптимального портфеля в одном частном случае дискретного рынка.

Модель. Рассматривается (В,8)-рынок (В-без-рисковый актив, 8-рисковый актив) на дискретном и конечном интервале времени.

Дисконтированная стоимость рискового актива

удовлетворяет уравнению: Бп = (1 + рп) • Бп-1,

п = 1,2,...,N ; рп £ {,^2,..,ак}, а^ < а^ <... < ак . Далее для Бп будем использовать обозначение Бп .

Фильтрация определяется следующим образом: р0 ^(А0^ Рп =<Г(рь Р2,..., Рп) и ^ = Р . Финансовое обязательство fN £ pN = Р

определяется равенством fN = fN (^), причем fN (•) - выпуклая функция.

Определение. Последовательность (х1, >>1) (*2,>2),-, (хп,Уп ), причем х < Х2 < ... < Хп , называется выпуклой, если для любых к и г, к < г , и любого к < I < г из равенств ¡ + и = 1 и ¡л • Хк + и • хг = х, следует у, < ¡л • Ук + и • уг.

Рассмотрим ряд свойств выпуклой последовательности.

Утверждение 1. Если последовательность выпуклая, то для , +1 < п и любого у < I или у > , +1

из равенства х у = Я • х, + (1 -А) • х,+1 следует У у У, + (1 -А) • Уг+1.

а) Пусть у < 1. Тогда из равенств ¡л + и = 1 и

Л • ху + и • х,+1 = х, следует у, < ¡л • у у + и • У,+1.

Отсюда и из равенства х,- =

1

И

И

Ч+1

вытекает

1 и

Уj > — У,---Ус+1-

И И

Положим X = —, И

тогда легко

что эквивалентно тому, что х- = X • Xj + (1 - X) • х,+i вытекает

из

равенства

У j > X • Уj +(1 -X) • Уj+1, где X = -

И

Утверждение 2. Если f (x)- выпуклая функция, то последовательность (xb f (xj)) (Х2, f (X2)), ..., (xn, f (xn)) является выпуклой.

Рассмотрим платежное обязательство

fN = fN (Sn ) = fN (SN-1 + ASN ) = fN (SN-1 + Pn ■ SN-1)-Определим последовательность

{a,f (Sn-1 + a • sN-i)}k=i.

Докажем, что она выпуклая. Для этого рассмотрим функцию f(Sn-i + ax), a = const, которая является выпуклой как суперпозиция выпуклой и линейной функций. Для завершения доказательства просто положим axi = • Sn-i .

Определим функцию (как выпуклую k

комбинацию): fN-1 (x) = £l(N-1) • fN (x + a,x).

г=1

Функции fN (x + a,x) - выпуклые, как суперпозиция выпуклой и линейной функций. Следовательно, fN-1(x) - выпуклая. По индукции нетрудно доказать, что все функции, определяемые

равенством

fn-1(х) =ЕX(n-1) • fn(х + atx),

i=1

п = 2,3,..., N , являются выпуклыми.

Рассмотрим портфель с потреблением, динамика капитала которого

п = 1,2,...,N ,

АХП,c = Yn ^n -^n,

где

Acn > 0

{Cn }

N

nin=0'

(c0 = 0) - процесс

потребления. Отсюда следует, что

Ги+хп > ,

YN + хп -1 > г ^ ).

Постановка задачи: требуется найти такой портфель с потреблением, у которого начальный

капитал X = ХП'С был бы минимальным.

проверить, что--= 1 - X .

И

б) Пусть j > ( + 1. Тогда из равенств /и + и = 1 и

xj =X• xi +(1 -X)• Xi+1 следует у,+1 у, У-,

Если мартингальная мера существует, рассматриваемая задача имеет решение [2]:

то

* *

Хпп 'c = sup*Ep(fN /Fn), n = 0,1,...,N ;

peP*

* * * АХn 'c =Yn • ASn - Acn (опциональное разложение),

и

и

о

х( -

п*

где Р -множество мартингальных мер, нагружающих все атомы разбиения.

Конструкция экстремальной мартингальной меры. В рассматриваемой модели О является конечным множеством. Предполагается, что исходная мера нагружает все атомы. В этой ситуации мера полностью определяется распределением вероятностей на О . Элементами О являются наборы

811 = (8ъ82,...,8н), 8, е{аь02,..,ак}.

Следовательно, мера определяется

распределением Рн (8м). Определим условное распределение равенством:

Рм (8м) = Рп (8п) • Рп (8М+1/8п), (1)

8Ш+1 = (8п+1,8п+2,...,8м ), 8" = (81,82,...,8п ).

В (1) Рп (8п)- маргинальное распределение вероятностей.

Условное математическое ожидание

Е(Х/Fn) - EPn(SM+1/Sn)(Х) .

Рассмотрим

задачу:

sup epn (fN / FN-О-

Pn ep

Применим (1) и в результате получим

Pn (8n ) - Pn-i (8N-1) • Pn-i (8n / 8N-1),

epn (fN / fn-i) - Epn-1 (8n / 8n-1)(fN)-

Таким sup Ep

Pn-i(8N / 8N-1)

образом,

требуется

наити

. (fN) при ограничении

Е

k(ASN ) - 0.

k

max ЕЛ, • fN(Sn-i(1 + a,)) г—1

при ограничениях

Е Л, • a, - 0,

г-1 k

Е Л, - 1,

г-1

Л, > 0.

Допустимое базисное решение. Воспользуемся следующим утверждением.

Утверждение 3. [1]. Для существования мартингальной меры, нагружающей все атомы, необходимо и достаточно, чтобы а1 < 0 < ак .

Выберем в качестве базисных переменных Х и Хг (I < г, а[ < 0, аг > 0). Тогда

Л/ -

(1 -a )ar +ßr,i ar — a/

Лг - —

(1 -ar,l )ak + ßr,l

ar — a/

ar,/ - ЕЛ,, ßr,/ - ЕЛ, •a, •

IФ r, l ,ФГ, l

Полагаем ßr l -arl - 0 (Л, - 0, , ф r , , ф l).

Тогда получаем, что Л* - -

ar — al

Лг - —

ar — al

Так как Хи > 0 и Х > 0, то это базисное решение является допустимым. Целевая функция:

F -Лг • frN +Л*1 • ft" +

N

+ Е

1ФГ,/

frN (al — a,) + f,N (ar — al) + f N (a, — ar) .

--л, .

Необходимое и достаточное условие экстремальности допустимого базисного решения:

/гН (а1 — а, ) + ЛМ (аг — а1) + /к1 (а, — аг ) < 0 (2)

аг — аI

что эквивалентно неравенству

г! ^ гМ а, — а1 , гм аг — а, М < !г -+ Л

ar — al

ar — al

Рассмотрим случай l < i < г . Для него имеем:

a, — al

ar — al

> 0,

ar— a > 0 at al + ar— a -1

ar — al

ar — al ar — al

a, — al ar — al

~ai -

ar — al

В силу выпуклости последовательности {а,, /м (%—1(1 + а, ))}к=1 неравенство (2)

выполняется.

Таким образом, если положить г = к, I = 1, то допустимое базисное решение

Pn—1(8n / 8V В результате возникает следующая задача линейного программирования

Л -

ak

Лк - —

ч

ak — a1 Отсюда

sup

Pn-18 /8"-')

ak — a1

является оптимальным.

N-К EPf—1(8n/8N-1)( fN ) -

= fN(Sn-1 (1 + a1))•Л* + fN(Sn-1 (1 + ak))•Л* .

При этом

Pf -1(8n / 8N-1) -

Л1,8N - a1 *

,8N - ak

0,(8f ф a1) л(8f ф ak). Обозначим через fN-1 (x) - fN (x(1 + a1)) • Л* + fN (x(1 + ak)) • Л , (3)

fN 1 (x) - выпуклая функция.

Определим последовательность функций

fN-k (x) = fN-k+1(x(1 + «1)) -A* + fN-k+1( x(1 + ak )) , к = 1,2,...,N .

Последовательность {fN-k (x) }N=1 состоит из

выпуклых функций.

Утверждение 4. Функции

fN-к (Sn-к )= sup Ep (fN (Sn )/ Fn-к).

* r

peP (P)

Для k=1 утверждение доказано.

Предположим, что равенство справедливо для k=n.

Рассмотрим sup Ep (fN (SN)/ FN-n-1).

peP*(P)

a

r

ar — al

a

= a, .

r

N-1

Воспользуемся тем, что

Ep (fN (SN )/ FN-n-1) =

= Ep (Ep (fN (Sn )/ Fn-n)/ Fn —n—1 )

Ep (Г (Sn )/Fn-n-,) < fN-n (SN-n ).

В результате имеем: sup* Ep (fN (Sn )/ Fn-n-1) =

peP*

= sup Ev (f

*

pe P*

N-fe

(SN-n )/ FN—n—1) •

Рассмотрим распределение Р]^- п (SN п), для которого применим формулу, аналогичную формуле (1):

PN-п (^-п ) = PN-п-^-п-1) • PN-п-1^-п-п-1),

тогда условное математическое ожидание

Ер (^ п -п )/ ^-п-1) =

=E

P(Sn-n IS'"-n-')

N-n-1) (fN"n (Sn -n- 1(1 + SN -n

))).

suP EP(S

P(ÖN-n/SN-n+') P(S

,/S"

aN-n / о

(SN—n—1(

Y

имеет то же решение, что и приведенная выше.

X1, SN-n = a1

*

Xk ,SN-n = ak 0, (Sn-n * a1) Л (Sn-n * ak)

Yn(Sn-1)=

fn ((1 + ak) • Sn—1) - fn ((1 + aQ • Sn—1)

Sn-1(ak - a1)

Следствия 1 и 2 - очевидны, приведем доказательство следствия 3.

Рассмотрим задачу вычисления fn 1(Sn-1):

max Z X • fn (Sn-1(1 + a,)) (=1

£Л( •a, • Sn-1 = ° i=1

к

ZX = 1, i=1

при ограничениях

X > 0.

Поскольку последовательность

ai, fN - n (Sn—n—1(1 + ai ))]f=1 - выпуклая, то задача

N (1 + Sn-n)))

Двойственной является задача: min x

x + y- ai • Sn_1 > f" (Sn-1(l + ai)), i = 1,2,..., к .

*

Поскольку решением прямой задачи являются X,

* *

X, а остальные X =0, то в двойственной задаче оптимальное решение удовлетворяет системе уравнений: x* + Y*a1Sn_1 = fn (Sn-1(1 + a1)), x* +Y*ükSn_1 = fn (S"_1(1 + ак)), из которой * = fn ((1 + ük) • S"_ 1) _ fn ((1 + ü1) • S"_1)

Pn (SN-n /SN-n+1) =

Следовательно,

sup Ep (fN (Sn )/ Fn-k-1) =

peP*( P)

= fN~" (SN-n-1 (1 + a1)) 'Л* + fN~" (SN-n-1 (1 + ak )) ' 4 =

= fN-n-1(SN-n-1).

Следствие 1. Экстремальная мартингальная мера такова, что случайные величины S,S2,...,Sn -независимые и одинаково распределенные, причем

распределение на A определяется равенством:

*

X1,Sn = а1 P* (Sn) = | 4 А = ak .

0,(^n * a1) л (Sn Ф ak)

Отметим, что мера, определяемая распределением P (sn ) = П P (Sn), не принадлежит множеству мартингальных мер, нагружающих все атомы, однако является предельной точкой для этого множества. Следствие 2. Капитал оптимального портфеля

* nc = fn (Sn).

Следствие 3. Рисковая составляющая портфеля

^п-1(ак - а1)

Последнее доказывает следствие 3.

Вычисление ^ (Бп). При п = N ^ (Бп) равно

финансовому обязательству. Утверждение 5.

N-п .

Г Vп) = ^ C1N-п^ (^ (1 + а1)г (1 + ак ):Ы-п-1) X ,=0

X (А*) • (Хк)N-пЧ , п = 1,2,...,N -1. Пусть п = N -1 ^-1 (^-1) = ^ (^-1 (1 + а1)) • А* +

+ ^ (%-1(1 + ак)) •Ак,

что совпадает с (3). Докажем индуктивный переход.

Г (^п-1(1 + а1)) =

N-n • Дт -1 ЛГ

= X (^п-1(1 + al)1+1(1 + ак)N-n-1) X

i=0

N—n—i

х (Xy • (Xk)

fn (Sn-1(1 + ak )) =

N-n -Дт ,T

= Z C,N-nfN(Sn-1(1 + a^ (1 + ak)N-n—I+1) х

i=0

N-n-i

х (X)' • (X)

fn-1(Sn-1) =

= fN (Sn—1 (1 + aO) X + fN (Sn-1 (1 + ak)) •Xfe =

N—n

-- Z i=0

ZClN—nfN(Sn—1(1 + o1)'+1(1 + ak)N—n—i)• (XX)' • {Xk)N—n—i +

, /-М/о /1 , \1 /1 , \М—п—1+1\ I о*\, / о* \М—п—1_

+ / (5п—1(1 + а1) (1 + ак) )• (Х) • (Хк) -

м—п. 1 ,, . ,

- 2 С^—п 2 С]/М (^п—1(1 + а!)г+] (1 + ак)М—п—'+1—]) х

,=0 у=0

х (Х* У+] • (Хк)м—п—1+1— ] -

М—п 1 .. , ..

- 2 2С'Ы—пС{/М(^п—1(1 + ау)'+] (1 + ак)м—п+1—(,+])) х ,=0 ]=0

х (Х*)г+] • (Хк)м—п+1—(г+]) =

м—п+1тт(М—п,т) . ,,

= 2 2 С^СГ/11^^)т (1+ак)М—п+т)х т=0 ,=тах(0,т—1)

/ 1 * \ т / ч * ч М — п + 1 — т х (Х1 ) (Хк ) =

N—п+1

= 2 /М (V1(1 + а1)т (1 + ак )М—п+т) х

т=0

тт( N—п,т) * т * м - п +1 - т , т - ,

х (Х1) • (Хк) • 2 См—пС1 •

1=тах(0,т—1) тт( N—п,т)

Поскольку СЦ—п+1 = 2 СМ—пСГ , то

г=тах(0,т—1)

Г—1^п—1)-

М—п+1

- 2 СМ—п+1./ (^п—1(1 + а1) (1 + ак) ) х

т=0

/ о*\т / о* \М—п+1— т

х (Х1) • (Хк) , и утверждение доказано.

Таким образом, верхняя цена хеджирования

С * =

_ г-М/о п I \т/1 . лМ—тл г1*\т г 1*\М—т

- 2См/ (^0(1 + а{) (1 + ак) )• Х) • (Хк) ,

т=0

что совпадает с известной формулой Кокса-Росса-Рубинштейна [2] при Хк - р*, Х* = д* , ак = Ь , а1 = а .

Для того чтобы найти нижнюю цену хеджирования С* , необходимо рассмотреть портфель с инвестициями, динамика капитала которого имеет вид:

АХП'с =Гп •А$п + Асп, п = 1,2,...,М .

Отсюда следует, что уп • АБп + ХП—1 < ХП'с. Постановка задачи: требуется найти такой портфель с инвестициями, у которого начальный капитал

был бы максимальным. Начальный капитал х = ХП'с . Пусть а, Ф 0, , = 1,2...,к .

Проведя аналогичные рассуждения и используя свойство выпуклой последовательности

(утверждение 1), получим

Yn(Sn-l)=

где

pn ((1 + ad) • Sn-i) -pn ((1 + ad-1) • Sn-i)

Sn-1(ad - ad-1)

N-n . ,, pn (Sn) = 2 CN-nP (Sn (1 + ae )' (1 + ad) i=0

N - n-i

) X

N - n -i

X (Me)' • (ßd)

PN (Sn ) = fN (SN ), ad = min{a' : a' > 0},

Md-1 =-

ad

ad - ad-1

Md =■

■'d-1

ad - ad-1

C^

N

- 2Cf (So(1+ad-1)m(1+ad )N -m ) • (Md-1)m • (ßd )N

m=0

Если существует такое j , что a .■ = 0 , то

Yn (Sn-1) =

Yn OVO =

fN ((1 + aj+1) • Sn-1)

Sn-1aj+1

или

fN ((1 + aj-1) • Sn-1) и C = ,N(

Sn-1aj-1

и Cd = fN (S0).

С помощью полученных формул можно найти интервал справедливых цен для модели, позволяющей описывать эволюцию стоимости рискового актива с любой степенью точности. Для того чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать а1 -минимальное значение процентных ставок, ак -максимальное значение процентных ставок, ад—1 -максимальное среди отрицательных значений процентных ставок, ад - минимальное среди положительных значений процентных ставок.

Литература

1. Мельников А.В., Феоктистов К.М. //Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 2. С. 28-40.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1, 2. М., 1998.

Ростовский государственный строительный университет

27мая 2005 г.