Квантильное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках без трения. Ч. 1. Суперхеджирование Текст научной статьи по специальности «Математика»

У

правление в социально-экономических системах

УДК 519.2

КВАНТИЛЬНОЕ ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОНОВ ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА НА НЕПОЛНЫХ РЫНКАХ БЕЗ ТРЕНИЯ. Ч. 1. Суперкеджирование

О.В. Зверев, В.М. Хаметов

Рассмотрено решение задачи расчета европейского опциона с квантильным критерием на неполном рынке с дискретным временем. Обоснована методика расчета европейского опциона с квантильным критерием относительно любой меры из класса эквивалентных. Приведен иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: европейский опцион, квантильное хеджирование, суперхеджирующий портфель, неполный рынок, опциональное разложение.

ВВЕДЕНИЕ

Теории хеджирования опционов европейского типа на полных и неполных рынках без трения посвящено большое количество работ, например, [1—3] и др. Она обосновывает возможность достоверного исполнения (репликации) платежного обязательства. Одна из основных проблем этой теории заключается в том, что на неполном рынке эмитенту неизвестно распределение вероятностей последовательностей цен рисковых активов. По этой причине была разработана теория суперхеджирования (см., например, работы [1—3]), которая утверждает, что репликация платежного обязательства относительно любой вероятностной меры из класса эквивалентных мартингальных мер возможна, если использовать суперхеджирующие портфели. Предложен и обоснован минимаксный подход к решению задачи суперхеджирования и минимаксного хеджирования европейского опциона на неполном рынке без трения, приведены примеры, которые допускают явное решение этой задачи [4, 5]. Известно [1—5], что стоимость опциона на неполном рынке при использовании суперхеджирования или минимаксного хеджирования «высокая» поскольку совпадает с верхней границей спрэда опциона [2]. Отметим, если платежное обязательство исполняется с вероятностью, меньшей

единицы, то следует ожидать, что стоимость такого опциона уменьшится, поскольку владелец опциона берет «часть» рисков «на себя». Такая процедура хеджирования получила название квантильного хеджирования. Настоящая статья посвящена теории квантильного хеджирования на неполных рынках без трения и развивает идеи работ [4, 5].

Перейдем к обзору работ других авторов. В работах [6, 7] рассматривалась задача расчета европейского опциона на одномерном безарбитражном полном рынке без трения. Предложена процедура расчета опциона с квантильным критерием на полном биномиальном рынке [6], которая основана на использовании ^-представления [2] платежного обязательства и некоторого ограниченного мартингала. Для платежного обязательства такого, что цена опциона строго положительна, построено решение задачи квантильного хеджирования на полном рынке без трения [7].

В работах [3, 8—10] рассматривалась задача квантильного хеджирования в статической постановке. Показано, что она сводится к решению пары двойственных экстремальных задач. Для их формулировки нам потребуются обозначения: п — самофинансирующий портфель, SF — множество самофинансирующих портфелей, —

капитал портфеля п в момент времени N, Х0—

стоимость опциона, f — платежное обязательство, {ю е О: Х^) > [} — множество успешного хеджирования. Приведем формулировки этих экстремальных задач: прямая задача — максимизация вероятности успешного хеджирования при условии, что стоимость опциона не превосходит некоторой величины х0 > 0:

Р( х^ > я ^

тах

п е SF, < X

(1)

х0

двойственная задача — минимизация стоимости опциона при условии, что вероятность успешного хеджирования не меньше величины 1 — б, где любое б е (0, 1)

X

(п)

тт

(п)>

(2)

пе SF, Р(Х£' > /)> 1 - Е

Установлены условия существования решений указанных прямой и двойственной задач. Отметим, что доказательство существования их решения сводится к применению леммы Неймана — Пирсона [2].

В работах [11, 12], в предположении что рынок одномерный, неполный с горизонтом равным двум, а доходность рискового актива равномерно распределена, доказано, что задача квантильного хеджирования может быть сведена к задаче максимизации вероятности успешного хеджирования платежного обязательства при некоторых дополнительных ограничениях геометрического характера.

В работах [13, 14] описана процедура последовательного хеджирования для американского оп-циона-колл с конечным горизонтом для рынка Блэка — Шоулса. Известно [2], что в этом случае американский опцион эквивалентен опциону европейского типа с таким же горизонтом. Предложенная в работе [13] процедура хеджирования «похожа» на квантильное хеджирование.

Для одномерного полного рынка с горизонтом, равным единице, установлено, что задача кван-тильного хеджирования в некоторых случаях может быть сведена к задаче частично целочисленного программирования [15].

В настоящей работе, носящей теоретический характер, решается задача построения квантильного суперхеджирующего портфеля. Доказывается, что она может быть сведена к решению двух задач — задачи построения суперхеджирующего портфеля европейского опциона на многомерном неполном рынке без трения с заданным (исходным) платежным обязательством и задачи построения на том же рынке суперхеджирующего портфеля европейского опциона с платежным обязательством, равным индикатору множества дополнительного к множеству успешного хеджирования. Доказывается, что решение задачи квантильного суперхеджи-

рования совпадает с решением задачи минимаксного хеджирования европейского опциона с платежным обязательством, равным разности между (исходным) платежным обязательством и стоимости опциона для исходного платежного обязательства, умноженного на индикатор множества, дополнительного к множеству успешного хеджирования.

1. ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ МИНИМАКСНОГО ПОДХОДА. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ МИНИМАКСНОГО СУПЕРХЕДЖИРУЮЩЕГО ПОРТФЕЛЯ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА НА МНОГОМЕРНОМ НЕПОЛНОМ РЫНКЕ БЕЗ ТРЕНИЯ

1.1. Введем необходимые обозначения. Пусть на стохастическом базисе (О, ¥, (¥( )t е ^ , Р}, где

К0 = {0, 1, 2, ..., К}, а N < да — горизонт, задана ^-мерная (й < да) согласованная, случайная последовательность, обозначаемая (£, ¥{ )t е N, которая

описывает эволюцию стоимости й рисковых активов. Вероятностную меру Р называют базовой [2]. Известно [2], что любая согласованная последовательность (£, ¥{){е ^ является семимартингалом.

Без ограничения общности можно считать, что для любого ? е К0 ¥{ = , и < 1). Предполагаем, что имеется один безрисковый актив, доходность которого равна нулю, а его начальная стоимость равна единице. Такой набор активов называют (1, £(1), ..., £(</))-рынком [2].

Пусть ^: Я^ + 1) ^ Я1 — борелевская функция, обозначаемая fN(x0, ..., хПусть ^(£.) = ^х0, ..., ^ . _ ; ¥N — измеримую случайную ве-

личину fN(S.) называют платежным обязательством европейского опциона с моментом исполнения N [2].

Чтобы не загромождать формулировки приводимых далее утверждений условиями, связанными с интегрируемостью случайной величины fN(S.), мы предполагаем, что fN(x0, ..., х^ — ограниченная функция.

Пусть на фильтрованном измеримом пространстве (О, ¥, (¥{){ е ^) заданы вероятностные

меры О, эквивалентные мере Р (О ~ Р). Множество таких вероятностных мер О обозначим через ^^ Без ограничения общности можно считать, что

Р е

Пусть = (у^} (е ^ — й-мерная ¥-предсказу-емая последовательность, которую назовем страте-

гией эмитента опциона, а у — управлением в момент времени ? е Л0. Отметим, что /-я (/ е {1, ..., компонента вектора управлений у в момент времени ? е Л0 имеет экономическую интерпретацию количества /-го рискового актива в момент времени ? е Л0 [2]. Множество таких стратегий обозначим через . Пусть и^ — любое подмножество

иД. Через Ц', где ..., ^ е N = {1, ..., Л},

и ^ > tk, обозначим сужение множества на tk

к

Ч

..., tl с Л1 и будем использовать обозначение у^ е

, где У'* = {У'*, ..., У',}.

1.2. Приведем обоснование минимаксного подхода к решению задачи хеджирования для случая экспоненциальной функции полезности.

N

Пусть ®(£.) = X (Ур А$), где АБ' = Б ( — ^

г = 1

а (•, -)-скалярное произведение в Я Очевидно, что ©(Б.) является FN-измеримой случайной величиной, экономический смысл которой — выручка, полученная эмитентом в результате управления

рисковыми активами. Пусть /(Б.) = ©(Б.) — также FN-измеримая случайная величина, экономический смысл которой — доход, полученный эмитентом в результате управления рисковыми активами.

Пусть ф: Я1 ^ Я+ — функция полезности эми/ \ ^ л — X

тента — экспоненциальная, ф(х) = 1 — е , и зависит от дохода, т. е. ф(/(Б.)) = ф(х)|х = ^ — полезность дохода эмитента.

Сформулируем наши предположения:

— эмитенту неизвестно распределение вероятностей последовательности цен рисковых активов,

— эмитент разумен в следующем смысле: а) он предполагает, что распределение цен рисковых активов минимизирует его ожидаемую полезность; б) он максимизирует ожидаемую полезность путем

выбора соответствующей стратегии ух

N

Определение 1 [4]. Стратегию уд назовем допустимой, если выполняется неравенство

sup E

Q

N

< да. ♦

exp I - % (у, А )j|F„ Множество допустимых стратегий обозначим

D

N

1 .

Предположения приводят нас к задаче EQ9(/(S.)) ^ sup inf .

N

У1 е < 2 ^м

Так как функция полезности экспоненциальная, то из выражения (3) следует

sup inf E>(/(S.)) = sup inf EQ(1- e

yN e < Q YN e < Q ^«N

}) =

= 1 — sup

inf EQ

exp S.) - % (Yi,A) i = 1

Y1 e < Q

Задача (3) эквивалентна минимаксной задаче

Q

exp ^/n( S.) - % (y i, A Si) i = 1

^ sup inf . (4)

yN e < Q

Известно [3], что каждой функции полезности ф(х) можно поставить в соответствие функцию риска y(x) следующим образом: y(x) = —ф(—x), поэтому задача (4) имеет следующую интерпретацию — эмитент разумен: а) он предполагает, что распределение вероятностей цен рисковых активов максимизирует его ожидаемый риск; б) выби-

N

рает такую стратегию Y1 которая минимизирует максимальный ожидаемый риск.

Выбор экспоненциальной функции полезности обусловлен возможностью применения к задаче (4) стохастического варианта метода динамического программирования. Отметим, что решение задачи (4) было получено в работе [4].

1.3. Для описания решения задачи (4) нам понадобятся следующие обозначения и определения из работы [4].

tl

Через Dt , где tk, ..., tr е N1, tr е N1, и tr > tk, обоз-

N

начим сужение множества D1 на t

tl с Л1.

Пару (О, 1) е х 1 назовем ^бистратеги-

ей, t е Л1, (О, уД) е х — бистратегией, а

1 е 1 — ^стратегией. Оценкой ^бистрате-

гии (О, уд 1) е х 1, t е Л1, назовем ^-из-меримую случайную величину, обозначаемую че-

п м

рез I' (Л0) и определяемую равенством

I

Q,Yt+1 (S0) = EQ

N

expШS.) - % (Yi,ASi)[|Ft

: t+ 1

где Е — условное математическое ожидание относительно меры О е и ст-алгебры Оценка

Q, YJ t

t-бистратегии It t+1 (S^) имеет экономический

смысл ожидаемого, относительно некоторой меры Q е риска эмитента, когда он применяет

i-стратегию у t Пусть {в

N + 1

t>te N

— F-предсказуемая, одномер-

ная последовательность, элемент р, которой интерпретируют как количество безрискового актива в момент времени ? е Л0. Последовательность пар

п = }(е щ называют портфелем [2]. Капиталом портфеля п [2] в момент времени ? е Л0 на (1, ..., £(^)-рынке называют Р,-измеримую,

случайную величину Х,П = р, + (Бр у,).

Портфель п называют самофинансирующим, если для любого ? е Л1, выполнены равенства Р-п. н.

Ар, + (^ _ 1,ДУ<) = 0,

Pt

t = о

во,

где Ау, = у — у - 1. Множество самофинансирующих портфелей обозначают SF.

Согласованную возрастающую последовательность С = { С,, }, е щ с С,= 0 = 0 называют потреблением [2]. Набор (п, С) называют портфелем с потреблением [2, 4]. Капитал портфеля с потреблением (п, С) в момент времени ? е Л0, обозначаемый

Х(п С), определим равенством Х/П' С) = ХП — С,.

Определение 2 [2]. Согласованная последовательность случайных величин ^ = }, е щ называется локальным мартингалом относительно меры Q, если ,|Ft - 1) = _ 1 0-п. н. При этом меру Q называют мартингальной. ♦

Множество мартингальных мер [2] обозначим через тщ.

Определение 3 [2]. (1, £(1), ..., £(й))-рынок назовем безарбитражным, если для каждого самофинансирующего портфеля п, капитал которого удовлетворяет условию: если из того, что для

любого ? е Л0 Р(ХП ^ 0 | Х0П = 0) = 1, следует, что

Р(ХЩ = 0 | Х0П = 0) = 1.

Замечание 1. Если п тЩ ф 0, то легко показать, аналогично работе [2], что (1, £(1), ..., рынок без трения будет безарбитражным.

Определение 4 [2]. Безарбитражный (1, £(1), ..., £(й))-рынок без трения называется неполным, если мощность множества п тщ больше единицы, т. е. п тщ\ > 1. Если п тщ\ = 1, то такой

(1, £(1), ..., £(й))-рынок без трения называют полным.

Определение 5 [2]. Самофинансирующий портфель с потреблением (п, C) на (1, S(1), ..., S(d))-рынке без трения в задаче расчета европейского опциона с платежным обязательством fN(S.) назовем суперхеджирующим, если в момент времени N выполняется неравенство fN(S.) < Xj^'C) P-п. н.

Определение 6 [2]. Суперхеджирующий портфель с потреблением (п, C) назовем совершенным, если

fj(S.) = Xjj'C) P-п. н.

Определение 7 [4]. Совершенный суперхеджирующий портфель с потреблением (п*, C*), капитал которого в момент времени t е N0 равен

Xt , назовем минимальным, совершенным, суперхеджирующим портфелем с потреблением, если для любого другого совершенного суперхед-жирующего портфеля с потреблением (п, C) (т. е. (п*, C*) ф (п, C)), капитал которого в момент времени t е N0 равен Xt(n'C), для любого t е N0 справедливо неравенство P-п. н.

Xf'C *) < Xt(n' C).

1.4. Теперь мы можем привести утверждение работы [4], которое позволяет строить минимальный совершенный суперхеджирующий портфель с потреблением.

Приводимое далее утверждение, взятое из работы [4], дает условия существования минимального совершенного суперхеджирующего портфеля с потреблением. Обозначим

о N

V* = ess inf ess sup IQЬ +1 (SO), (5)

it +1 e Dt +1 N

Ft-измеримая случайная величина. Как и в теории игр [16], назовем Vt* верхним гарантированным значением в момент времени t е N0; Vt* имеет смысл минимаксного значения ожидаемого риска эмитента при условии, что проводились наблюдения до момента времени t е N0 за ценами рисковых активов.

Теорема 1. Пусть фильтрация {Ft} t e универсально полна [2], fN(S.) — Fj^-измеримая, ограниченная, случайная величина и |^N П mN| > 1. Тогда на

(1, S(1), ..., S^^m^ без трения относительно любой меры Q е существует минимальный совершенный суперхеджирующий портфель с потреблением (п*, C*) такой, что:

1) п* = {в*, у*Ье N — самофинансирующий портфель, где {у*}í е л1 — допустимая предсказуемая последовательность, определяемая равенствами

V* = еББ М" еББ БирЕ2[ Г/+ 1 е4^ +^|Fí]

м пм "> + 1 е + 1

Г, + 1 е <+ 1 2 Е«м

еББ БИрЕ'

г;+1^*+^+1 к

(6)

V* ' = л = ехр Ш Б.)},

+ (Б, у*);

С*)

2) для любых t е Л0 и О е капитал X = — С* суперхеджирующего портфеля с потреблением (п*, С*) равен О-п. н. 1пГ/ (т. е. Х'(п 'С > =

= 1пГ/), причем С* — потребление в любой момент времени t е Л1 Fí-измеримо и удовлетворяет рекуррентному соотношению О-п. н.

А С* = (у*,А^) - А 1п V* > 0,

С*

1'= о

= 0,

(8)

3) портфель с потреблением (п*, С *) является минимальным, совершенным, суперхеджирующим, т. е.

О-п. н. хГ' С*>|' = N = 4(Б.),

N

4) справедливо равенство .^Б.) = 1п V* + X (У*,

г = 1

АБг) — С* О-п. н.

Замечания 2. 1. Доказательство теоремы 1 почти дословно повторяет доказательство сформулированной в работе [4] теоремы 3. Здесь условие (у), фигурирующее в формулировке теоремы 3 из работы [4], заменено на условие |5N П ^| > 1. Поясним это: условие |5N П mN| > 1 гарантирует неполноту рассматриваемого (1, Б(1), ..., Б(^)-рынка без трения и поэтому является естественным. Из этого условия, в частности, следует, что существует мера О е П относительно которой для

любых t е Л0 и у е ^ кумулянта (t, 50-1, —у) =

= 1п Е2

е-("Л * И -

а {в*}'еNl удовлетворяет рекуррентному соотношению О-п. н.

А в* + (^ - 1, Ау*) = 0, (7)

причем в* | ' = 0 = 1пГ0*, а у0 = 0, при этом для любого t е Л0 капитал X' портфеля п* равен X' = в* + 1Ам

(ю) =

является ограниченной снизу и стремится к плюс бесконечности при |у| ^ да. Поэтому, условие (у) будет выполнено.

2. Из утверждения теоремы 1 следует, что относительно любой меры О е существует у^ е ^^ такое, что справедливо неравенство О-п. н.

4(5.) < 1пГ0 + £ (у*, А5г),

г = 1

из которого следует существование суперхеджиру-ющего портфеля.

1.5. Пусть А^ю) — любое FN-измеримое множество. Рассмотрим задачу расчета европейского опциона на (1, 5(1), ..., 5(^)-рынке с платежным обязательством вида 1А (ю), где

1, если ю е А

N

. Пусть выполнены ус-

м [ 0, если ю ^ AN

ловия теоремы 1. Тогда, в силу ограниченности платежного обязательства вида 1Ам (ю), выполнены все утверждения теоремы 1.

Чтобы избежать повторов в изложении материала, при построении минимального, совершенного, суперхеджирующего портфеля с потреблением с платежным обязательством 1Ам (ю) в формулировках утверждений теоремы 1 будем использовать следующее переобозначение: вместо символа «*» (звездочка вверху) будем использовать символ «1» (вверху), т. е.

V" =

еББ шГ еББ Бир Е2 х

2 е«м

М е ДМ

у, +1

, +1

N

ехр\ 1ам(ю) - X (У/>АБг

г = ' + 1

(9)

Следовательно:

1) V для любого t е Л0 удовлетворяет рекуррентному соотношению (6) с граничным условием

^ | ' = N = ехР{1Ам(ю)};

2) самофинансирующий портфель п" = = {в", у"}'е N1, где {у"}'е N1 — допустимая предсказуемая последовательность, определяется равенством

еББ шГ еББ Бир ЕV"

уе Д + 1 2 е«м

-(У,Л ^ + 1)

+1

= еББ Би

2 еям

Р Е

1 е^ +^ +V

(10)

X

е

а р, удовлетворяет рекуррентному соотношению ДР^ + (Б, + 1, Дуд) = 0, (11)

причем в) = 0 = 1п , а уд = 0;

3) потребление С, удовлетворяет рекуррентному соотношению

А Сд = (у), ДБ,) - Д1п У\, Сд|, = 0 = 0; (12)

4) платежное обязательство (ю) относительно любой меры Q е допускает представление

(ю) = 1п Уд + I (у), ДБ) - сЩ,

г = 1

причем для любого г е Л1 Д1п У, = (у,, ДБ) - Д С, .

Кроме того, справедлива

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 и уд удовлетворяет выражению (9). Тогда 1п У^ < 1.

Доказательство леммы 1 см. в Приложении.

2. КВАНТИЛЬНЫЙ СУПЕРХЕДЖИРУЮЩИЙ ПОРТФЕЛЬ УРОВНЯ 1 - а ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА

НА МНОГОМЕРНОМ НЕПОЛНОМ РЫНКЕ БЕЗ ТРЕНИЯ

2.1. Определим, что будем понимать под решением задачи расчета европейского опциона с кван-тильным критерием.

Определение 8 [2]. Будем говорить, что согласованный процесс {х,, }, е щ имеет ограниченную вариацию относительно меры Р, если N

I |Дх< ® Р-п. н.,

г = 1

Д

где Дх, = х, - х, - 1. ♦

Пусть Х, — капитал самофинансирующего портфеля п в момент времени г е Л0.

Определение 9. Пару (п, х) назовем самофинансирующим портфелем с ограниченной вариацией,

— процесс ограниченной

1е N

где п е БР, {х,, }

вариации относительно меры Р. Капитал портфеля с ограниченной вариацией (п, х) в момент времени

г е Л0, обозначаемый как Х,(п'х) определим равенс-

твом

х.И>, X) — _ я,

{Х

V Л/-

Замечание 3. Поскольку последовательность

(п, х)

(Х,(П'х), ), е Що, то она является семимартингалом относительно любой меры Q е [2].

Определение 10. Решением задачи расчета европейского опциона с платежным обязательством /Щ(Б.) на неполном рынке без трения с квантиль-ным критерием уровня 1 — а, где а е (0, 1), относительно любой меры Q е назовем самофинансирующий портфель с ограниченной вариацией

, а а,

/ а а тт"(П ,х )

(п , х ), капитал которого Хщ

в момент време-

ни N удовлетворяет неравенству

Q(Х(Ща'%а) > /щ(Б.)) > 1 - а.

Портфель (па, ха) назовем квантильным суперхед-жирующим уровня 1 - а. ♦

Обозначим

с = 1пу*|, = 0 > 0.

Доказано (см. лемму 1 в работе [4]) неравенство с > 0.

2.2. Приведем условия, которые обеспечивают существование решения задачи расчета европейского опциона с квантильным критерием уровня 1 - а на многомерном неполном рынке без трения.

Пусть — ]-я компонента ^-мерного вектора Б, г е Л0.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть для каждого а е (0, 1) существуют (а) е Л+, 7 = 1, й, г е Л0, такие, что относительно любой меры Q е выполняется неравенство

( N й \

Q[ Л Л ^ ^ > ^ (а)}) > 1 - а.

Тогда существует решение задачи расчета европейского опциона с квантильным критерием уровня 1 - а, т. е. существуют:

1) па = {ра,УаЬе Що — самофинансирующий портфель, где {уа е Що — предсказуемая последовательность, элементы которой определяются равенством

Ъ = У*

)

с У ,:

где

У*

е определяются из равенства (6), а

уд е — из равенства (10); {ра}, е Що — последовательность, элементы которой определяются равенством ра = р* — срд, где р* удовлетворяет со-

7 },е Щ0 согласованна с фильтрацией Р,, т. е. отношению (7), а р) — соотношению (11);

2) для любых г е N и Q е Я„ капитал Х,П пор-

тфеля па имеет Q-п. н. вид Х/1 = ра + (Б,, уа);

3) процесс ограниченной вариации ха определяется равенством

ха = С* - сС), (13)

где С* удовлетворяет (8), а С, — (12);

^а ха)

4) для любых г е Л0 и Q е Ящ капитал Х, портфеля с ограниченной вариацией (па, ха) имеет

д ха) 1лпа а

Q-п. н. вид Х, = Х, — у , ;

5) портфель с ограниченной вариацией (па, ха) является квантильным суперхеджирующим портфелем уровня 1 - а, т. е. относительно любой меры Q е выполняется неравенство

Q(> /щ(Б.)) > 1 - а,

причем

Х

аа

(п , х )

= с(1 - 1п У)) > 0>

(14)

Доказательство теоремы 2 см. в Приложении.

Замечания 4. 1. В отличие от работ [8—10], в настоящей статье условия существования решения задачи расчета европейского опциона с квантиль-ным критерием относительно любой меры из класса эквивалентных легко проверяемые.

2. Существование (а) е Я+ таких, что относительно любой меры Q е выполняется нера-

( N ё

П Л {Б/ > х/ (а)} I > 1 -

а, вытекает

венство Q

,= 1 / = 11

из леммы Неймана — Пирсона, поскольку существует базовая мера Р.

3. ПРИМЕР РАСЧЕТА ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА НА ОДНОМЕРНОМ НЕПОЛНОМ РЫНКЕ С КВАНТИЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ

Для расчета европейского опциона на одномерном неполном рынке с квантильным критерием потребуется решить две задачи суперхеджирования европейского опциона на данном рынке.

3.1. Приведем решение задачи расчета европейского опциона с ограниченным платежным обязательством на одномерном неполном рынке.

3.1.1. Дадим описание неполного (1, Б )-рын-ка. Пусть (О, Р, (Р,), е N) — фильтрованное измеримое пространство. Пусть 0 < Б0 - Р0 — измеримая случайная величина, {р,}, е N — семейство

дискретных случайных величин, принимающих относительно меры Р три значения: а, 0, Ь, причем —1 < а < 0 < Ь < да. Экономический смысл р , — доходность рискового актива в момент времени г е Л1.

Пусть — множество вероятностных мер таких, что относительно любой меры Q е случайные величины Б0, р1, ..., рдт независимы в совокупности и одинаково распределены. Для удобства изложения приведенные условия обозначим через Очевидно, что ф 0. Заметим, если выполнены условия то вероятности Q(рt = а), Q(р , = 0), Q(р , = Ь) не зависят от г е Л1.

Обозначим

д1 = Q(рt = а), д2 = Q(р , = 0), qъ = Q(р , = Ь). Пусть эволюция стоимости рискового актива

{Б,

»¿е N

удовлетворяет рекуррентному соотно-

шению

Б = - 1(1 + Р^ = 0 = Б0 >

Очевидно, если выполнены условия то последовательность {Б,, }, е N относительно любой

меры Q е является однородной марковской.

Будем полагать, что стоимость безрискового актива В в момент времени г е Л0 удовлетворяет соотношению В, = 1.

Очевидно, что описанный (1, Б)-рынок без трения является неполным. Действительно, пусть любая Q е п и выполнены условия

Тогда д, I = 1, 3 , удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

ад1 + Ьд3 = 0,

д1 + д2 + дз = 1,

решение которой

д1 = (1 - д2)р*, д3 = (1 - д2)д*, (15)

где р*

Ь :, д* = гт-гЦ, любое д2 е [0, 1].

|а| + Ь' + Ь

Из решения (15) следует, что д2 е (0, 1) — любое. Поэтому рассматриваемый (1, Б)-рынок без трения является неполным.

3.1.2. Пусть на описанном в пп. 3.1.1 (1, Б)-рынке платежное обязательство имеет вид g (Б^),

где g: Я+ ^ Я1 — ограниченная функция. Приведем решение задачи расчета европейского опциона на неполном (1, Б )-рынке без трения с платежным обязательством g (Б^).

Пусть Vt* =

N

inf sup E

N

If 1 е

exp Ig(SJ

+ 1 е ДМ+ 1 2 е2М Из утверждения теоремы 1

— X (Ур АБг) И^

г = ' + 1 J _

следует, что верхнее гарантированное значение в момент времени t е Л1 удовлетворяет рекуррентному соотношению

V*-1 = inf sup EQ [ V/eySt - lPt|Ft -1 ],

(16)

' е Д 2 е

7'*|' = N = ехр {£( .

Сделаем пару замечаний:

— аналогично работе [5], легко установить, что при каждом t е Л0 верхнее гарантированное значение V/ является марковской случайной функцией; поэтому, в силу теоремы Бореля, существует функция V/: Л0 х Я+ ^ Я1, обозначаемая V/ (х), такая, что для любого t е Л0 функция V/ = = V* (х)|х = ^ = V* (Б');

— в данном случае ^ = Я1.

С учетом сделанных замечаний, из соотношения (16) следует, что V/ (Б') для любого t е Л0 удовлетворяет рекуррентному соотношению

V* = м 8ир Е2[ Г/+1(Б' + 1)е-1"^ +],

Те Д1 2 еЯм (17)

//( Б')|' = N = ехр {£( ЗД.

Так как р ' — дискретная случайная величина, принимающая три значения, то

V *+ 1 (St +1) e

-YSt Pt +

1 F

sup E Q e|n

sup _ {V/+1 (St(1 + a)) eyStla i1 +

0 < qi < 1, i = 1, 31

q1 + q2 + «з = 1J + V/+ 1 (S)q2 + V/+ 1 (S/1 + b)) e-YStb = = max{ Vt*+ 1 (St(1 + a)) e^'a , V/+1 (St),

V*+ 1 (St(1 + b)) e-Y St b }. (18)

С учетом выражения (18) соотношение (17) примет вид

ln V*( St) = inf, max {ln V/+1( S/1 + a)) + y S,| a,

ye R1

ln V/+1(St), ln V*+ 1 (St(1 + b)) - YStb},

ln V*( St )|t = n = g ( Sn) .

(19)

Обозначим

х, у) = шах{1пГ/+1 (х(1 + а)) + ух|а|, 1пГ/+ 1 (х), 1пГ/+1 (х(1 + Ь)) — ухЬ}. Очевидно, что для любых (t, х) функция х, у)

является верхней огибающей по у е Я1 набора функций в фигурных скобках последнего выражения. Поэтому для любых (^ х) функция х, у) является выпуклой, непрерывной, ограниченной снизу по у, причем

л, У)

Следовательно, для любых (t, х) существует у* такое, что справедливо равенство

Ш" 1 у^, х, у) = у^, х, у*).

Те Д1

Для любого t е Л1 найдем у*. Пусть х с Я1 —

множество таких у е Я1, которые удовлетворяют неравенствам

1п К/+ 1 (х( 1 + Ь)) - ухЬ > 1п Г/+ 1(х), Лп Г/+ 1 (х( 1 + а)) + ух|а| > 1п Г/+ 1 (х).

Очевидно, возможны два случая. 1. Пусть х ф 0. Отсюда следует, что существует у(+)1 е Я1 такое, что

1пГ/+ 1 (х(1 + а)) + у(/+)1 х|а| = = 1пГ/+ 1 (х(1 + Ь)) — у(/+)1 хЬ,

откуда

Y(1) = Yt + 1 =

1 ,ln )*+ 1 (x( 1 + b ) )

x( b + И) Vt*+ 1(x( 1 + a))'

В этом случае рекуррентное соотношение (19) примет вид

1п К/( х) = (1 - 4*) 1п Г/+ 1 (х (1 + а)) + + 4* 1п Г/+ 1 (х( 1 + Ь)), 1п = N = ,?( х),

где 4 * = |а|/(|а| + Ь).

2. Пусть х = 0. Тогда существуют единствен-

(2) (3) ные у)+1 и у) + 1 такие, что

1пГ/+1 (х(1 + а)) + у® х|а| = = 1пГ/+1 (х(1 + Ь)) — у(3+)1 хЬ = 1пГ/+ 1 (х), (20)

Q

(2) (3) откуда следует, что у} + 1 ф у) + 1 и

у?Л = 4,1п- -*+ - (х)

У* 1(х( 1 + а))

(3) = 11п-*+ 1 (х(! + Ь ) )

У , +1

хЬ У* 1( х) Очевидно, что для любого а е (0, 1)

Уа+ 1 = аУ((+1 + (1 - а) У((+)1,

что также снимает внешнюю нижнюю грань в соотношении (19). Пусть а = д*. Тогда

А А а

- ..(1) -

У*+ 1 У , + 1 У , + 1 |а = У, + 1

1 .1п_У*+ 1(1(1 + Ь)1

Б,( Ь + N) У,*+1( Б,( 1 + а))'

(21)

Очевидно, что у*+1, определяемая равенством (21), — единственно. Следовательно, соотношение (19) с учетом сделанных замечаний примет вид

1п У,*( Б,) = тах [ 1п У/+1 (Б,), р* 1п УД 1( Б,( 1 + а)) + + д* 1п У,*+ 1( Б,( 1 + Ь))], (22)

1п У,*( Б, )|, = N = g (БN).

Выражение (21) дает возможность построения суперхеджирующего портфеля и его капитала. Действительно, из условия самофинансируемости

следует, что количество безрискового актива р* в любой момент времени г е Л0 удовлетворяет рекуррентному соотношению

р* = р*-1 - Б, - 1ДУ*,

р*|, = 0 = р0 ,

(23)

п*

причем капитал Х портфеля п*

Х,п* = р* + (Б,, у*),

а р* = 1пУ* (Б0), у0 = 0.

В силу утверждения теоремы 1 относительно любой меры Q е и г е Л0 капитал портфеля с потреблением (п*, С*)

Х

(п*, С*)

= Х,п - С* = 1пУ,* (Б), (24)

причем

Х,(П*'С *)| , = N = 1п ^ (Б^ = g(БN),

а потребление {С*, }, е No, относительно любой меры Q е Q(А С,*+ 1 > 0|Р,) = 1 и удовлетворяет рекуррентному соотношению Q-п. н.

А С *

., = (у*, А Б,) - АХ, С *| = 0 = 0.

(п*, С*)

(25)

3.1.3. Рассмотрим частный случай, когда рекуррентное соотношение (22) допускает явное решение.

Пусть функция g(x) — выпуклая. Методом индукции назад легко установить, что для любого

г е Л0 функция 1пУ/ (х) является выпуклой. Следовательно, справедливо неравенство

1пУ/+ 1 (Б,) < р*1пУ, *+ 1 (Б,(1 + а)) + + д *1пУ,*+ 1 (Б,(1 + Ь)). Тогда соотношение (22) можно переписать в виде

1пУ/ (Б,) = р*1пУ, *+ 1 (Б,(1 + а)) + + д*1пУ/+1 (Б,(1 + Ь)), 1пУ/(Б,)|, = N = g(Бу). (26)

Уравнение (26) имеет явное решение (см. формулу (154) в работе [5])

1пУ/ (х) = ФN - ,(х) = 1' g(x(1 + а)' X

г=0

х (1 + Ь)"1 - ' - ') С^, (р*)'(д^ - ' - '. (27) Из выражений (21) и (27) следует, что

N

^ = ОТО) I ^ - '(1 + а)' *

X (1 + Ь^ ' ' + 1) - g(Бt - 1(1 + а)' + 1 X

х (1 + Ь^ - ' - ')] CN-, (р*)'(д*)N - ' - '. (28)

Из соотношений (23)—(28), следует, что для любого г е Л0:

— количество безрискового актива

1

р* = р

N

1 - уУу11 - 1(1 + а) *

X (1 + b)N , ' + 1) - g(Бt - 1(1 + а)' + 1 х х (1 + Ь)"1 - ' - ')] CN(р*)'(д- ' - ' +

+

(У + Р У- У )

У + | у

N -, + 1

I ВД - 2(1 + а)'(1 + Ь)

N - , - г + 2ч

'=0

g(Бt - 2(1 + а)' + 1(1 + Ь)N ' ' + 1)] х

^ 1 (р*)^- , - ' + 1, р* = 0 = р*0,

— капитал суперхеджирующего портфеля с потреблением О-п. н.

X

(П*, С*)

= 1пг; (х) = Фл - '(х) =

N -'

х^

г=0

= X £(х(1 + а)г(1 + Ь)N- ' - г) С^-' (р*)г(4*)N - ' - г;

= 1 (Б' - 1), удовлетворяющая рекуррентному соотношению

V"-1 (Б'-1) = М Бир Е2[ V"(Б')е-1"*'- 1Р'|^-1 ],

У е Д1 2 е Шм (29)

= N = ехр { <"} };

— потребление С *, относительно любой меры О е SN, удовлетворяет рекуррентному соотношению (25), которое имеет вид

АС* = р

|а| + Ь

N -'

X ВД - 1(1 + а)г(1 + Ь)Nг +1) —

г=0

^ - 1(1 + а)г + 1(1 + Ь)N ' г)} х

х С^ -' (р*)г(4 *)

N - ' - г

X (1 + Ь^ ' г) 4-' (р*)г(4*)

— ^' «О^ - 1(1 + а)г х

г=0

N - ' - г

+

N -'-1

+ X ¿КЗ - 1(1 + а)г(1 + Ь)

г=0

N - ' - г - 1

х С^ -' (р*)г(4 *)

- ' - г - 1

С

' I ' = 0

) Х

= 0,

причем для любых t е Л0 и О е ^Хд^у справедливо равенство С* > 0 О-п. н., где — компакт в слабой топологии, а д^у — его граница.

3.1.4. В дальнейшем на (1, Б )-рынке без трения нам понадобится построить минимаксный супер-хеджирующий портфель европейского опциона с

платежным обязательством 1{<1} (ю), где 1 е Я+.

Решение данной задачи для неполных рынков без трения в литературе не описано.

Обозначим А" = {ю е О: Б^ю) > 1}, где 1 е Я+ — любое. Очевидно, что А" е Fд. Множество 1 таких, что О(А") > 0 для любого О е ^ обозначим через Г. Очевидно, что Г ф 0.

Пусть V" = тГ Бир Е

Ум е Дм 2 еШм У( + 1 е Д + 1 м

ехр{1{<"}

N

— X (у,-, АЭД

г = ' + 1

. Тогда, проводя рассуждения,

аналогичные проведенным в пп. 3.1.2, легко установить, что:

— существует функция V" : Л0 х Я+ ^ Я+, обозначаемая V" (х), такая, что 1 = Г/-1 (х)|х = _ 1 =

— для любого t е Л0 существует самофинансирующий портфель п" = {в", у"}'е No такой, что:

а) у ' такое, что справедливо равенство

тТ Бир Е

уе Д1 2 е Шм

- 1Р'.

V" (Б') е' '- ^' ^ - 1

= Бир

2 еШ,

ЕV" (Б')

причем

У'

1п

Л с -

е-У' -1 - 1_ Г'"( Б' -1 (1 + Ь)),

''- 1(Ь + |а|) 1( 1 + а))

(30)

б) в" удовлетворяет рекуррентному соотношению

в" = в"-1 - Б'-1 Ау", в"|'= 0 = в0.

(31)

Из утверждения теоремы 1 следует, что в0 =

= 1п V" (Б0), а у" = 0.

3.1.5. Следующее утверждение устанавливает явный вид решения рекуррентного соотношения (29).

Лемма 2. Решение рекуррентного соотношения (29) имеет вид

N -'

1п V" (х) = 1{х < "} + X (Р*) 1

г = 1

(1 + а)' 1 (1 + а)'

где 1

Д I 1, х < 1,

{х < "} | 0, х >1

(1 + а)' 1 (1 + а)'

1, хе

0, х г

_(1 + а)г Г (1 + а)г

_(1 + а)г-1 (1 + а)г

Доказательство леммы 2 см. в Приложении.

1

1

1

1

♦

1

1

3.1.6. Утверждения теоремы 1 и леммы 2 позволяют установить явный вид потребления, портфеля с потреблением, его капитала.

Из утверждений теоремы 1, леммы 2 и выражения (30) имеем:

— для любого г е Л0 количество рискового актива

(

)

У, +1

1

Б, (Ь + |а|)

1

I (р*)' х

' = 1

Л Л

+1

(1 + Ь)( 1 + а)'- 1 ' ( 1+4)(1+а)'] 1 (1 + а)' ' (1 + а)' + 1 ]7 7

- 1

гЪ < с* < гга

(32)

а количество безрискового актива р,) удовлетворяет рекуррентному соотношению

р^- = р11- Б,- 1Ау),

р)|, = 0 = р0 .

— потребление С, удовлетворяет рекуррентному соотношению

А С) = рА Ct У + |у|

I (р*)' х ' = 1

+1

I (1+А)(1+а/ 1 ' 1 (1 + Ь)( 1 + а)' ] I (1+а)' ' 1 (1+а)' + 1 ]77

- 1

) < с < )

ТТь < 1 < ТГа

1{ с* <)} 1 <)} +

+ I (р*)' 1

' = 1

^ (1) .

- I (р*)' 1

' = 1

(1 + а)' 1 * (1 + а)'

) .<с, , <—

> 0,

-ГГ 1 '

(1 + а) (1 + а)] 7

С/1,=0 = 0;

— капитал портфеля с потреблением

С

х, = 1п у; (Б,) =

N-t

= 1{С*<)} + I (р*)' 1

' = 1

(1 + а)' 1 * (1 + а)'

С

, = N = 1п (Б№) = 1 {< )}

причем Х,

3.2. Приведем решение задачи квантильного суперхеджирующего портфеля уровня 1 - а европейского опциона с платежным обязательством g(БN) на описанном в пп. 3.1.1 (1, Б )-рынке.

3.2.1. Пусть а е (0, 1) и для любой меры Q е ^лт

существует 1(а) е Я+ такие, что Q(БN > 1(а)) > 1- а. Из утверждения теоремы 2 следует, что портфель

па = {ра, та}, е N определяется равенствами

ра = р* - ср), Уа = у* - су), (33)

где у* и у, удовлетворяют соотношениям (21) и

(32), а р* и р^" — соотношениям (23) и (31) соответственно.

Из равенств (33) следует, что для любого г е Л0

капитал X, портфеля па выражается как X, =

* ^ (па ха)

= Хп - сХ,п , где с = 1пУ0* > 0, а капитал X,

портфеля с ограниченной вариацией (па, ха)

(а а)

Х(п ,х) = 1пУ/ - с 1пу).

(34)

Из формулы (34) и леммы 1 следует, что начальный капитал

Х0(^'^) = Х^ = 1пУ0* - с1п У) = с(1 - 1п У)) =

N

= с

= с

1 - 1{с0<)} - I (р*)' 1

0 ' = 1

.< <-

-.—1 -

(1 + а)'- 1 (1 + а)' I 7

N

с0'?! ^Щ7 < Со <

(1 + а)' 1 (1 + а)' I 7

Из теоремы 2 следует, что портфель па, определяемый равенствами (33), является квантильным суперхеджирующим уровня 1 - а, т. е.

Q(Х?"^) > g(БЩ)) > 1 - а.

Таким образом, мы построили квантильный су-перхеджирующий портфеля уровня 1 - а.

3.2.2. Рассмотрим частный случай, когда функция g(x) выпуклая. Тогда из результатов п. 3.2, а также из соотношений (28), (30) и леммы 2, относительно любой меры Q е , имеем:

1

\ а * к

а) Yt = Y* - cYt = х (1 + b)N- t - " '

1

N%t [g(St_1(1 + a)i x

i = 0

St-1 (b + |a|) ) - g(St _ 1(1 + a)' + 1(1 + b)N " t " ')] x

x C^t (р*)г(4*)N t г' - c

N-t

% (p*y x i = 0

x 1

7 < S ,< -

(1+b)(1+a/- 1 ' 1 (1 + b)( 1 + a)'

- 1

rh < St-1 < 17a

N-t

+ % (Р*У 1 i = 0

< 1 < _L

(1 + a)'

(1 + a)'

б) ва в любой момент времени t е Л0 удовлетворяет рекуррентному соотношению

гва = ва-1- Б'- 1АУ?,

^=0 = ва;

в) с = 1пГ0 (¿0) = X да + а)г(1 + Ь)N - г) х

i = 1

x cN (p*y(q*)N г;

(na xa) (П* C*) г) капитал портфеля (34) Xt = Xt —

( x CN-t - cX ' ) = ln V/ (St) — cln (St) = % g(St(1 + a)

i = 0

x

x (1 + b)N - i) CN-, (р*)(4*)N - t - г — С

1{ st <k} +

N-t

+ % (Р*У 1

i = 0

k - < S, < - 1

(1 + a)'

-1-

(1 + a)'

и Q( X^'^) > g(SN)) > 1 — a.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим полученные результаты.

• Вычислена оценка верхней границы спрэда европейского опциона с квантильным критерием на неполном рынке без трения (см. выражение (14)).

• Доказано, что стоимость квантильного супер-хеджирующего портфеля уровня 1 — а меньше стоимости минимального суперхеджирующего портфеля с тем же платежным обязательством

на величину с1п У0 (см. (14)), где с — стоимость минимального суперхеджирующего портфеля.

• Получено явное решение задачи расчета опциона с платежным обязательством, являющимся индикатором любого борелевского множества (см. лемму 2).

• Рассчитан европейский опцион с квантильным критерием, когда носитель любой меры О е сосредоточен в трех точках: а, 0, Ь.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 1. Из определения У^ (см. выражение (9)) имеем:

Vt = inf sup E

N N yf e D^ Q e*,

N

expi Ь(ш)- 2 (Y*AS) \\F0

i = 1

Отсюда следует, что для любого у е + 1 справедливо неравенство Р-п. н.

V0 < sup E

Q e*n

N

expi Ь(Ш)- 2 \\F0

i = 1

Очевидно, что стратегия у = 0 — допустима. Поэтому, если положить yt = 0 для любого t е N0, то справедливо неравенство

V0^ = sup EQexp{ 1a,(ш)}. Q e

Поскольку логарифм является непрерывной монотонной функцией и для любой меры Q е Q(AN) < 1, то из этого неравенства получим

ln Vq < ln sup E^exp{1A (ш)} = sup lnEQexp{1A (ш)} =

Q e*n s

Q E*n

= sup lnEQ[e Ь (ш) + (ш)} =

Q

An

= вир 1пЕ е|(е - 1)1% (ш) - 1} =

е е«ж

= вир 1п{(е - 1)0(А^) + 1} < 1п{(е - 1) + 1} = 1.

е

Следовательно, 1п Уд < 1

Лемма 1 доказана. ♦

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим два

платежных обязательства^ З.) и (ш), где Ам = О\ AN,

_ Д Г N ё Л

а множество AN(ш) = <! ш е О: .П1 Д {Зр > Ар }1. Из

теоремы 1 следует, что, относительно любой меры 0 е платежные обязательства ^З.) и (ш) допускают, соответственно, представления

№) = 1пу* + £ (У*, ДЗ) - С*,

I = 1

(ш) = 1п Уд + £ (^ , АЗ,) - CN 0-п. н.

I = 1

Определим портфель па = (Р^, у^ }, Е щ следующим

образом

ра = в* - срх, Уа = у* - сУх, (35)

где у* и у, определяются, соответственно, выражениями (6) и (10), а р* и р} соответственно выражениями (7)

па

и (11). Тогда для любого ( е N капитал X, портфеля па, относительно любой меры 0 е

хпа = ра + (з, Уа).

С учетом равенств (35)

хпа = ра + (з, Уа) = в* - с р^ + (з, у* - с у^) =

= х; - сх;

(36)

где X и X — капиталы, соответственно, портфелей п* = (р*,у*}, е щ и п = (р^}, Е щ0 в момент времени ? е

Из теоремы 1 следует, что для любого ? е N капитал

(п* С*) (п* С*)

X (X ) портфеля с потреблением (п*, С*) ((их, С х)) допускает, относительно любой меры 0 е представление

Дп*. С*)

X ' = 1п к; = X; - с* (х ' = 1п к; =

(п*) ,

= X - с;),

(37)

где ( С*},Ещ (( С,},Ещ) — возрастающая последовательность определяемая соотношением (8) ((12)). Капитал (36) с учетом представления (37) можно переписать в виде 0-п. н.

хпа = X;* - сх,п* = х(п*С*) - сх(п*СХ) + С* - с С). Отсюда следует, что:

\ а а ^ а ^Х

а) X = (X,},е щ, где х, = С* - сС, , — согласованная с фильтрацией (}, е щ последовательность, имею-

а

щая ограниченную вариацию, причем х0 = 0;

б) пара (па, ха) является портфелем с ограниченной вариацией.

Следовательно, для любого ( е N определена Т,-из-меримая случайная величина

^(па,Ха) А (п*. С*) (п*. С*) _ па а

х = х - сх, = х - X , . (38) — капитал портфеля с ограниченной вариацией

аа

(п , X ).

Проверим, что построенный портфель па самофинансирующий, т. е. для любого ( е N выполняется равенство 0-п. н.

Действительно, из равенств (35):

Ара + (з - 1, ^а) = ра - ра-1 + (з - 1, ^а) -

- (з - 1, АУа-1) = р* - с рх - (р*-1 - с рХ-1) + + (з - р у* - сУХ ) - - l, У*-1 - сух- 1 ) = = Ар* + (з- 1, Ау*) - с(АрХ + (з, - 1, аух )). Учитывая в последнем равенстве, что портфели п* и их — самофинасирующие, получаем равенство (39). Покажем, что портфель с ограниченной вариацией

аа

(п , X ) является искомым квантильным суперхеджиру-ющим. Из формулы (38) следует, что капитал портфеля (па, X"1) в момент времени N 0-п. н.

аа

хГ = /(?.) - с (ш). Отсюда следует, что 0-п. н. справедливы равенства

{ш е О: X,

N

- /(У.) > 0} = {ш е О: - с ь (ш) > 0} =

= {ш е О: (ш) < 0} = {ш е О: (ш) = 0} =

Г N й

= |ш е О: П1 .П1 {^ > (а)}

Поэтому, относительно любой меры 0 е в силу условия теоремы и последнего выражения имеем

хщ - /(?.) > 0 ^ =

Г N й 1

= 0(1 уП 1 {^ > ^ (а)}| > 1 - а.

Из формулы (38) и утверждения теоремы 1 следует, что начальный капитал

^(па,ха) ^(п*. С*) (п*. С*) , „X,

X) = X) - сх0 = с(1 - 1п V, ). Таким образом, с учетом леммы 1 получаем

аа

х0(п 'х ) = с(1 - 1пК0х) > 0. Теорема 2 доказана.

Доказательство леммы 2. Проводя рассужце-ния, аналогичные проведенным в п. 3.1, и учитывая соотношения (29) и (30), легко показать, что 1п Vх (з) удовлетворяет рекуррентному соотношению

1п Vх (3,) = тах[1п у.х+1 (з,),

Р*1п Vх.1 (з,(1 + а)) + 4*1п Кх+1 (з,(1 + Ь))],

1п ^ (^ = N = Ч<хж!. (40)

Докажем, что решение рекуррентного соотношения (40) имеет вид

1п Vх (X) = 1{х < ,, + I (р*)' 1

Ара + (з, - 1, АУа)=0.

(39)

г = 1

.(41)

(1 + а)' 1 (1 + а)'.

*

Доказательство проведем методом индукции «назад».

Очевидно, что ln VN (x) = 1{x < ;

N-t

Положим ln VT (x)=1{x<X) + Z (p*)'1

i = 1

(1 + a)' 1 (1 + a)'

T N-t + 1

Покажем, что ln Vt_ 1 (x) = 1{x < X) + Z (P*)' x

i = 1

x 1 f ■. Из соотношения (40) следует

(1 + a)' 1 (1 + a)'

Замечание 5. Методом индукции назад легко пока-

X

зать, что 1п V, (я), удовлетворяющий соотношению (40), обладает следующими свойствами:

1) для любого I е N функция 1п V, (х) монотонно убывающая по х;

2) для любого х е справедливо неравенство 1п Vх (х) > 1п У,х+1 (х).

ЛИТЕРАТУРА

ln Vt-1 (x) = max

1{x < X) + NZt (P*)'1 i = 1

1 - < x <-—-,'

(1 + a)' 1 (1 + a)'.

+ q*

N-t

{x(1 + a) < X) + Z (Р*)'1 i = 1

X -< x( 1 + a) < - X

(1 + a)

i — 1"

(1 + a)'

N-t

{x(1 + b) < X)

+ Z (p*)' 1

i = 1

1 -< x( 1 + b)<- 1

(1 + a)'

(1 + a)'

= max

1{x < X) + NZ' (P*)'1 i = 1

1 - < x < -JL_.'

(1 + a)' 1 (1 + a)'

N-t

+ Z (p*)' 1

<X < J--- \ i = 1

1 + a I

N-t

1r + Z (p*)'1

Г<гЫ ' =1

(1 + a) (1 + a)'

г +1

+

(1 + a)' '(1 + A) (1 + a)'(1 + A)

.(42)

Поскольку для любого г е N и у > г справедливо неравенство

(Р*)'' = (Р*)'(Р* + 4*) = (Р*)'' + 1 + 4*(Р*)'' > (Р*)'' + 1 + 4*(Р*У',

У > г,

то правую часть выражения (42) можно записать в виде 1п Vх-! (х) = 1.я < ,, + (Р*)' 1

i = 1

(1 + a)' 1 (1 + a)'

+ (P*)N - ' + 11

„ .N-t .. .N-t +1 (1 + a) (1 + a)

N- (t- 1) = 1{x < X) + Z (P*)' 1

t = 1

(1 + a)' 1 (1 + a)'

Таким образом, основной шаг индукции доказан. Равенство (32) следует из выражений (30) и (41). Лемма 2 доказана.

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — 576 с.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики (теория). — Т. 2. — М.: Фазис, 1998. — 1017 с.

3. Фельмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. — М.: МЦНМО, 2008. — 496 с.

4. Зверев О.В., Хаметов В.М. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках (дискретное время) // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2011. — Т. 18, вып. 1. — С. 26—54.

5. Зверев О.В., Хаметов В.М. Минимаксное хеджирование опционов европейского типа на неполных рынках (дискретное время) // Там же. Вып. 2. — С. 193—204.

6. Зверев О.В. Расчет Европейского опциона на полном биномиальном (b, £)-рынке с квантильным критерием // Тез. докл. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ. — М., 2007. — С. 31.

7. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.М. Математика финансовых обязательств. — М.: ГУВШЭ, 2001. — 260 с.

8. Föllmer H., Leukert P. Quantile hedging // Finance and Sto-chastics. — 1999. — Vol. 3. — P. 251—273.

9. Föllmer H., Leukert P. Efficient hedging: cost versus shortfall risk // Finance and Stochastics. — 2000. — Vol. 4. — Р. 117—146.

10. Leung T., Song Q., Jie Yang Outperformance portfolio optimization via the equivalence of pure and randomized hypothesis testing // Finance Stoch. — 2013. — Vol. 17. — P. 839—870.

11. Григорьев П.В., Кан Ю.С. Оптимальное управление по квантильному критерию портфелем ценных бумаг // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 2. — С. 179—197.

12. Бунто Т.В., Кан Ю.С. Оптимальное управление по кван-тильному критерию портфелем ценных бумаг с ненулевой вероятностью разорения // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 5. — C. 114—136.

13. Губерниев В.А., Кибзун А.И. Последовательное хеджирование опционной позиции: анализ и модернизация // Автоматика и телемеханика. — 1999. — Т. 1. — С. 113—125.

14. Кибзун А.И, Соболь В.Р. Модернизация стратегии последовательного хеджирования опционной позиции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, № 2. — С. 179—192.

15. Кибзун А.И, Наумов А.В., Норкин В.И. О сведении задачи квантильной оптимизации с дискретным распределением к задаче смешанного целочисленного программирования // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 6. — С. 66—86.

16. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. — М.: Физматлит, 1984. — 496 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

А.С. Манделем.

Зверев Олег Владимирович — инженер,

® (49643) 9-21-78, И [email protected],

Хаметов Владимир Минирович — д-р физ.-мат. наук, профессор,

® (495) 467-28-03, И [email protected],

Национальный исследовательский университет —

Высшая школа экономики, г. Москва.

*

1

*