CC BY
18
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
УДК 519.2 DOI 10.23683/0321-3005-2019-2-4-9
КВАНТИЛЬНОЕ ХЕДЖИРОВАНИЕ НА НЕПОЛНОМ РЫНКЕ*
© 2019 г. Н.В. Данилова1, И.А. Землякова1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
QUANTILE HEDGING IN AN INCOMPLETE MARKET
N. V. Danilova1, I.A. Zemlyakova1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Данилова Наталья Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д 344090, Россия, e-mail: [email protected]
Землякова Ирина Александровна - ассистент, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: eizzzie@yandex. ru
Natalia V. Danilova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Mil-chakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: danilo-va198686@mail. ru
Irina A. Zemlyakova - Assistant, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: eizzzie@yandex. ru
Рассматривается один из самых актуальных методов снижения рисков на сегодняшний день - метод квантиль-ного хеджирования. Формулируется и решается задача квантильного хеджирования для неполного рынка в случае дискретного времени. Её решение определяется с помощью теории двойственности. В качестве примера рассматривается задача квантильного хеджирования для триномиальной модели. Предложен вычислительный эксперимент для данного вида задач, позволяющий рассчитать значения капитала для каждого момента времени. Рассмотрена особенность триномиальной модели, позволяющая сделать вывод о возможности сведения триномиальной модели к биномиальной. Числовой пример подтверждает полученные выводы для данной модели.
Ключевые слова: портфель, хеджирование, квантильное хеджирование, неполный рынок, мартингальная мера, экстремальная мартингальная мера, биномиальная модель, триномиальная модель.
One of the most relevant methods of risk reduction today - the method of quantile hedging is considered. The quantile hedging problem for an incomplete market in the case of discrete time is formulated and solved. The solution to this problem is determined using the theory of duality. As an example, the quantile hedging problem for the trinomial model is considered. A computational experiment for this type ofproblem, allowing to calculate the values of capital for each point in time, is proposed. The peculiarity of the trinomial model is considered and a conclusion about the possibility of reducing the trinomial model to the binomial one is obtained. A numerical example confirms the findings for this model.
Keywords: portfolio, hedging, quantile hedging, incomplete market, martingale measure, extreme martingale measure, binomial model, trinomial model.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 17-19-01038).
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
Введение
В настоящее время происходит значительное увеличение случаев неожиданных изменений рыночного поведения. Усложняется механизм оценки и снижения рисков.
В связи со сложившимися проблемами широкое распространение получили инструменты, предоставляющие возможность управления рыночными рисками. В данной статье рассматривается один из самых актуальных методов снижения рисков на сегодняшний день - метод хеджирования. Стратегия квантильного хеджирования максимизирует естественную вероятность успеха хеджирования при условии ограничения стоимости её реализации. На неполном финансовом рынке не все условия достижимы и эквивалентная мартингальная мера больше не уникальна. Таким образом, идеальный хедж в общем случае невозможен. Поэтому мы сталкиваемся с проблемой поиска стратегий, которые уменьшают риск недостачи при преследовании какой-либо инвестиционной цели настолько, насколько возможно. В статье для задач в случае неполного рынка предложен вычислительный метод их решения. При этом использован метод двойственности, применяемый, например, в [1]. Статья построена следующим образом. Формулируется задача и описывается метод ее решения. В качестве примера рассматривается триномиальная модель, для которой приводится решение задачи квантиль-ного хеджирования. Излагаются результаты вычислительного эксперимента. Подводятся итоги статьи. Намечается направление дальнейшего исследования.
Формулировка проблемы
Рассмотрим (б,5)-рынок на полном вероятностном пространстве с естественной фильтрацией. Процесс цен определяется уравнениями
Sn = S„-i(! + Pn), Pn e Г,Г = {а1,а2,аз}.
Капитал самофинансируемого портфеля -
N
XN = X0 + Yyгде у - предсказуемая после-
i=1
довательность; X0 - начальный капитал, X0 > 0
[2]. Пусть задано финансовое обязательство и требуется выбрать портфель таким образом, чтобы XN > f , где f - неотрицательная ограниченная случайная величина.
Так как рынок неполный, то не всякое финансовое обязательство воспроизводимо. В связи с этим можно говорить о верхней цене хеджирования
V = sup EP f , причём супремум ищется по всем
мартингальным мерам. Поскольку существует та-
N
кой портфель, что XN = V + YyAS; > f , цена V
i=1
обеспечивает безрисковое поведение на рынке. Если цена V слишком высока и есть готовность рисковать, то можно применить другие виды хеджирования (заменить платёжное обязательство и строить портфель таким образом, чтобы
N
XN = C + Yh^^i > f', причём f' < f и, как след-i=1
ствие, C < V [3]).
Известно, что Q - конечное множество. Положим f ) = xjfa ^ x е [0Д].
Пусть Q - естественная мера, определяемая рынком. Рассмотрим естественную меру близости
f и f : Eq (f - f) = Y Qi (f (fa) - f(fa )) =
i
= YQf(fa)-YQf(fa)x.
i i
В результате возникает оптимизационная задача:
YQ,ffa,)x, ^ max
i x
sup Y P'f (fak < C, x, e[0,1] (1)
P*eU i
Множество U мартингальных мер на конечном вероятностном пространстве является выпуклым многогранником, и любая мартингальная мера выражается в виде выпуклой комбинации экстремальных мер: P* = YУ R . Отсюда задача (1) J
трансформируется в задачу
Y Qf(fa )x ^ max, YRJf(fa h < C, x, e[0,1] (2)
i x i
Введём обозначения: Ц = Qf fa), Mj = R ffafa),
где R — матрица всех возможных вероятностей. В них задача (2) примет вид
YL,x, ^ max, YМ{хг < C, x, е [0,1] (3)
i x i
Поскольку целевая функция ограничена сверху и множество допустимых решений непусто, задача (3) имеет решение. Поэтому и двойственная задача
min F(Л) = min max
Л>0 Л>0 0<x<1
(I, х) + CYЛJ (4)
_ ■> J _
также имеет решение. Анализ задачи (4) позволяет определить структуру решения внутренней задачи:
Г1, > 0,
x,
Л) =
0, t < 0,
любоечислоиз [0,1], tt = 0,
t, = L-Y*}m! •
P eü
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
В (4) F(л) - выпуклая недифференцируемая функция. Её минимум можно найти с помощью метода обобщённого градиентного спуска [4].
Определим экстремальные мартингальные меры. Любая мартингальная мера является продакт-мерой: P = P() х... х P(N) . Отсюда мартингальные меры получаются из неотрицательных решений системы линейных уравнений:
X ay1 = 0 для всех j, £ у/ = 1. (5)
i i
Допустимые базисные решения (5) имеют следующую структуру:
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
У (rj ,Sj )=1
0, i ф r,, i ф s,
i = r,
- a„
i = s.
для всех r и s
удовлетворяющих условию
a < 0 < a . В связи с этим множество экстре-
rj sj
мер U1 = {p: pj)(ai) = у(г,,Sj)} [5].
P1 (Pi = ai ) = -a2
P1 (Pi = a2 ) = -
= 4i,
P1(pi = a3 ) = 0, P2 (P2 = ц ) = ■
a - a,
= P2-
P2 (P2 = a2 ) = 0, P2 (P2 = a3 ) = -
a - a,
= q 2 .
Под траекторией обхода дерева будем понимать тройку (к1, К2, К3). Возможные траектории обхода дерева:
ю - -(0,i,2)^ ^N = = S0 (i + a2 )(i + Ц )2,
-(0,2,i)^ Sn = S0 (i+a2 )2 (i+a3),
ю3 - -(i,i,i)^ Sn = - S0 (i + ц )(i + a2 )(i + a3
ю4 - -(i,2,0)^ Sn = S0 (i + ai Xi + a2 )2,
ю - -(i,0,2)^ Sn - = S0 (i + ai Xi+«3 )2,
-(2,i,0)^ Sn = = S0 (i+ai )2 (i + «2),
Ю - -(2,0,i)^ Sn = = S (i + ai )2 (i+«3),
Ю8 - - (3,0,0) ^ Sn = S0 (i + «i )3,
ю9 - -(0,3,0)^ Sn = S0 (i + «2 )3,
Ю0 -(0,0,3)^ Sn = S0 (i + «3 )3.
Обозначим комбинации мартингальных мер через P(i'i,i2,i3), i = i...8, ii e{i,2}, /2 e {i,2},
/3 e{i,2},
23
где i, i2, i3 - номер применяемой мартин-
мальных м
Пример. Триномиальная модель
Не нарушая общности, будем считать, что Б„=1 для любого момента времени „; N — финальный момент времени; SN — стоимость рискового актива в финальный момент времени. Пусть N=3;
f = (SN — K)+ - европейский опцион call; K -
контрактная цена.
Стоимость sn = s (i+a f1 (1+a f2 (1+a f3,
+ + = 3 .
Рассмотрим два типа экстремальных мартин-гальных мер P1 и P2, которые порождают все экстремальные мартингальные меры в количестве 8 элементов. Зададим вероятности: a
= Pi,
гальной меры на первом, втором и третьем шаге соответственно. Всего их 23=8.
1. Р1 (1,1,1).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности:
-(i,2,0).
Событие Вероятность
(al, a2, a2 ) pqi
(a2 , al, «2 ) pqi
(a2 , ai ) pqi
(2Л0).
Событие Вероятность
(a2 , al, ai ) Pi2qi
(al, ai ) p2qi
(a2 , al, ai ) p2qi
(3,0,0).
Событие Вероятность
^^ al, «i) pi
(0,3,0).
Событие Вероятность
(a2 , «2 ) q3
2. P2 (i,i,2).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности:
a
S
- ar
aSl - ar
8
a
a
3
a
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2
©-(1,1,1). юб-(2,1,0) .
Событие Вероятность
^ a3 ) Р^Ъ
(ai, a3, a2 ) Р^Ъ
(a2, ai, a3 ) р^Ъ
(a2, a3, a1) Р^Ъ
(a3, ^ a2 ) р^Ъ
(a3, a2, a1) Р^Ъ
3. P3 (1,2,1).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности: ©8 -(3,0,0).
Событие Вероятность
(ai, ai, a1) р3
4. P4 (1,2,2).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности: © - (1,0,2).
Событие Вероятность
(a, a, a) Р1&
(a3, a, a) Р\<&
(a3, a, a) РА2
© -(2,0,1).
Событие Вероятность
(a, a, a) Р^
(a, a, a) Р12^2
(a, a, a) Р12^2
©8 -(3,0,0).
Событие Вероятность
a1) Р13
©10 -(0,0,3).
Событие Вероятность
(a, a, a)
5. P5 (2,1,1).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности: ©4 -(1,2,0).
Событие Вероятность
^ ^ a2) Р2^12
(a2 , ai, a2 ) Р2^12
(a2 , a2, a1 ) Р2^12
Событие Вероятность
(a2 , ai, a1 ) Р2Ч
(ai, ^ a1 ) Р^
(a2 , ai, a1 ) Р^
©8 -(3,0,0).
Событие Вероятность
(ai, a1) Р23
со9 -(0,3,0).
Событие Вероятность
^ a3, a2 ) q3
6. P6 (2,1,2).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности:
©з-(1,1,1).
Событие Вероятность
(ai,a2, a3) РзЧiЧз
(ai,aз, a2) РзЧiЧз
(a2, ai, a3 ) РзЧiЧз
(a2, a3, a1) РзЧiЧз
(a3, ai, a2 ) РзЧiЧз
(a3, a2, a1) РзЧiЧз
7. P7 (2,2,1).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности: © -(3,0,0).
Событие Вероятность
(ai, ^ a1) Р23
8. P8 (2,2,2).
Удовлетворяющие траектории и соответствующие им вероятности: © - (1,0,2).
Событие Вероятность
(a, a, a) Рг^2
(a, a, a) Рг^2
(a, a, a) Рг^2
-(2,0,1).
Событие Вероятность
(a, a, a) Р^
(a, a, a)
(a, a, a)
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
а% -(3,0,0).
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
Событие Вероятность
(а^ а^ a) Р3
6
-(0,0,3).
Событие Вероятность
(а, а, а)
дХъ
С помощью итерационного метода [6] вычисляем X : задаём значения вектора X0, решаем внутреннюю задачу и находим (X). Все остальные X определяются по формуле: X — КЧР, где Ь - шаг. При этом учитываем условие Х{> 0.
Шаг
h
удовлетворяет
условиям:
\PA + PB + Pc = 1,
[PaASa + PbASb + Pc ASc = 0,
где Pa , Pb , Pc
вероятности попадания в атомы A, B, C соответственно, PA > 0, PB > 0, Pc > 0.
Таким образом, найдены значения портфеля в (Ы-1)-й момент времени. Аналогично находим значения вплоть до Х0 - корня дерева.
Рассмотрим особенность триномиальной модели - некоторые ветви деревьев приводят к одним и тем же результатам на данном шаге. Схематически это можно показать на рисунке.
Для каждой траектории находим значения опциона в финальный момент времени:
/ {со, ) = (^ {со,)—К)+ .
Выбираем произвольную рыночную меру Q. Рассчитываем вероятности обхода дерева этой произвольной рыночной меры.
Находим Ь, = д,/(с,), М/ = Я,/(с,). Будем решать двойственную задачу (4) с помощью метода обобщённого градиентного спуска. Координаты обобщённого градиента имеют вид
дР = —2 М,х* + С.
2 Ь = 2 Ь2 . Алгоритм продолжаем до тех
пор, пока значения X и Xi 1 будут мало отличаться друг от друга V,. В итоге получаем искомый
^ *
вектор X и находим решение задачи - вектор х .
Зная вектор х , можем построить вектор значений капитала в конечный момент времени. Он будет иметь вид Хх = /(с )х*.
Зная значение капитала портфеля в конечный момент времени, можно восстановить значения капитала и для предыдущих моментов времени.
Пусть А, В, С - значения на атомах в момент времени Ы, х - в момент времени N-1. Найдём значение х, решив минимаксную задачу: х = тттах {А — уАБА , В — уАБв, С — уА^с }, где , А^в, А£с - приращения стоимости акций соответственно на атомах А, В, С; у — коэффициент. Для его нахождения переходим от поставленной выше задачи на минимакс к двойственной к ней задаче
Особенность триномиальной модели / Trinomial model feature
В дальнейшем это приведёт к получению нескольких одинаковых значений стоимости акций и капитала в г-й день. Будем сортировать значения, полученные на г-м шаге, начиная с корня дерева, чтобы избежать таких повторений. При рассмотрении вычислительного примера выясняется, что значения на одной ветке для стоимости акций и капитала становятся равными нулю уже с момента времени г=1.
Поэтому можно сделать предположение, что в задаче квантильного хеджирования для неполного рынка рассмотрение триномиальной модели излишне - вместо неё можно рассматривать биномиальную модель.
Вычислительный эксперимент
Пусть N = 3 ; = 5 - начальное значение стоимости акции; K = 5 - контрактная цена; C = 6 -премия. Доля изменения атома при переходе в следующий слой:
a: [-0,3; 0,5; 0,8]; p: [0,625; 0,375; 0]; q: [0,727; 0,273]; r: [0; 0,454; 0,546].
Стоимость акций во все моменты времени (отсортированные значения - повторения были убраны): 0: 5;
1: 3,5; 7,5; 9,0;
2: 2,45; 5,25; 6,3; 11,25; 13,5; 16,2;
3: 1,715; 3,675; 4,41; 7,875; 9,45; 11,34; 16,875;
20,25; 24,3; 29,16.
Множество значений опциона в финальный момент времени f (юг) (отсортированные значения):
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
0,0; 1,675; 2,41; 5,875; 7,45; 9,34; 14,875; 18,25; 22,3; 27,16.
Матрица всех возможных вероятностей обхода (R):
/0,244 0,438 0,0 0,264 0,0 0,0 0,053 0,0 0,0 0
0,244 0,438 0,321 0,264 0,384 0,141 0,053 0,114 0,084 0,02
0,244 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0 0 0
0,244 0,0 0,321 0,0 0,0 0,141 0 0,0 0,0 0,02
0,384 0,594 0,0 0,306 0,0 0,0 0,053 0,0 0,0 0
0,384 0,594 0,432 0,306 0,444 0,162 0,053 0,114 0,084 0,02
0,384 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0 0 0
1 0,384 0,432 0,432 0,162 0,324 0,162 0,02 0,06 0,06 0,02
Вероятности обхода для произвольной рыночной меры (Q):
0,037; 0,028; 0,046; 0,021; 0,035; 0,058; 0,016; 0,026; 0,043; 0,073. step = 401 lambda1:
0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,3687228863809219; 0,0; 0,0. lambda2:
0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,36373535520885203; 0,0; 0,0.
На шаге с номером 401 получили, что разница между lambda меньше заданного е. Формируем массив: tstar list:
0,0; -0,32; -0,273; -0,539; -0,959; -0,016; -0,053; -0,293; 0,268; 1,782.
По указанной выше формуле вычисляем решение внутренней задачи (x*): 0,5; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 1,0; 1,0.
Находим капитал в конечный момент времени: 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 22,3; 27,16.
Исходя из этих значений (они отсортированные), восстановим полную картину для значений капитала. Для этого сначала рассчитаем прирост стоимости акции AS . Разница между текущим значением стоимости акции и значением в предыдущий день (delthaS): 0: 0;
1: -1,5; 2,5; 4,0;
2: -1,05; 1,75; 2,8; -2,25; 3,75; 6,0; -2,7; 4,5; 7,2; 3: -0,735; 1,225; 1,96; -1,575; 2,625; 4,2; -1,89; 3,15; 5,04;
-1,575; 2,625; 4,2; -3,375; 5,625; 9,0; -4,05; 6,75; 10,8; -1,89; 3,15; 5,04; -4,05; 6,75; 10,8; -4,86; 8,1; 12,96.
Стоимость портфеля в; последний день: 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 22,3; 27,16. Значения портфеля (XP) (полный вариант): 0: 10,878;
1: 0,0; 15,145; 26,563;
2: 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 24,656; 0,0; 0,0; 36,037; 3: 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 22,3; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 0,0; 27,16.
Таким образом, явно видим, что одна ветвь дерева полностью обнулена и нет смысла её рассматривать, т.е. триномиальная модель сводится к биномиальной.
Заключение
Рассмотрена задача квантильного хеджирования для неполного рынка. Получено её решение с применением теории двойственности. В качестве примера эта задача решена для триномиальной модели. Приведены результаты вычислительного эксперимента. Дальнейшие исследования будут направлены на применение полученного решения при рассмотрении других моделей.
Литература
1. Rudloff B. A generalized Neyman-Pearson lemma for hedge problems in incomplete markets // Workshop "Stochastische Analysis", 27.09.2004-29.09.2004, P. 241249.
2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998. Т. 1. 489 с.
3. Follmer H., Leukert P. Quantile Hedging // Finance and Stochastics. 1999. Vol. 3, № 3. P. 251-273.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
5. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Квантильное хеджирование на мультиномиальном рынке // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2013. Т. 20. URL: http://www.tvp.ru/conferen/vsppm14 /org003.pdf (дата обращения: 03.04.2019).
6. Пирумов У.Г. Численные методы: учеб. пособие. М.: МАИ, 1998. 544 с.
References
1. Rudloff B. A generalized Neyman-Pearson lemma for hedge problems in incomplete markets. Workshop "Stochastische Analysis", 27.09.2004-29.09.2004, pp. 241-249.
2. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki [Fundamentals of stochastic financial mathematics]. Moscow: Fazis, 1998, vol. 1, 489 p.
3. Follmer H., Leukert P. Quantile Hedging. Finance and Stochastics. 1999, vol. 3, No. 3, pp. 251-273.
4. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow: Nauka, 1978, 512 p.
5. Belyavskii G.I., Danilova N.V. Kvantil'noe khedzhirovanie na mul'tinomial'nom rynke [Quantile hedging in the multinomial market]. Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki. 2013, vol. 20. Available at: http://www.tvp.ru/conferen/vsppm14/org003.pdf (accessed 03.04.2019).
6. Pirumov U.G. Chislennye metody [Numerical methods]. Tutorial. Moscow: MAI, 1998, 544 p.
Поступила в редакцию / Received
15 апреля 2019 г. /April 15, 2019
