Исследование опциона продажи в случае квантильного хеджирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н. С. Демин, А.И. Трунов

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЦИОНА ПРОДАЖИ В СЛУЧАЕ КВАНТИЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ

Проводится исследование стоимости опциона, портфеля и капитала для Европейского опциона продажи в случае квантильно-го хеджирования и диффузионной модели финансового (В, 3)-рынка.

Используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. Ситуация усложняется тем, что изменения процентных ставок и доходностей на рынках стохастические, а математические модели этих изменений -случайные процессы. Поэтому основная задача участников финансовых рынков, определение цен финансовых инструментов, может быть решена только с привлечением вероятностных методов. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов, которые там происходят, требуют использования математических методов на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным объектом исследования которой являются различные модели рынка ценных бумаг [1, 2]. В данной работе проводится полное исследование неклассической задачи теории опционов -задачи хеджирования с заданной вероятностью выполнения платежного обязательства, для случая опциона продажи.

флуктуациях цен акций. В этой связи П. Самуэльсоном была предложена модель «геометрического», или «экономического», броуновского движения S=(St)t>0, согласно которой S является случайным процессом с [1, 2]:

(

Л

(4)

где Ш = (Ш,)^ - винеровский процесс, ст > 0, ц е Я. Используя формулу Ито [3], из (4) находим, что стохастический дифференциал для S , имеет вид

dSt = St (цЛ + стёШ{).

(5)

Из (5) следует

Постановка задачи

Рассмотрим модель финансового рынка как пары активов: безрискового (банковский счет) В и рискового (акции) S, представляемых своими ценами В, и St, , е [0,7]. В этом случае говорят о (В, S) - рынке с непрерывным временем [1, 2]. Активы В и S будем называть основными активами или основными ценными бумагами. Относительно банковского счета В предполагается, что В=(В)>0 - детерминированная функция, подчиняющаяся уравнению

dBt = гВ^, (1)

т.е.

В, = В0 ег, В0 > 0, г > 0, (2)

где г - процентная ставка (банковский процент). Для описания эволюции стоимости акции S=(St)t>0 будем предполагать, что все рассмотрения происходят на ви-неровском стохастическом базисе (О, ¥, Р = (¥) >а Р) [1-3]. Относительно винеровской меры Р процесс Ш = = (Ш(ю)),>о с Ш(ю) = ю, является стандартным вине-ровским процессом, «мартингальная» характеризация которого состоит в том, что для 0 <,' < , (Р-п.н.)

Е(Ш | ^, Е((Ш - )21 ^, - ,, (3)

т.е. процессы (Щ),>0 и (Ш,2 -,),>0 являются (относи-

тельно потока Р и меры Р) мартингалами. Введение в рассмотрение винеровского процесса обусловлено ролью случайного ингредиента, который определяет «хаотическую» структуру в реально наблюдаемых

St = S0 +| Su (цЛи + стdWu). (6)

0

Представим некоторого инвестора, имеющего начальный капитал Х0=х в момент времени ,=0, находящийся на банковском счете В и в акциях S в соответствии с портфелем л0=(р0, у0), где р0 - часть безрискового актива (сумма, находящаяся на банковском счете), у0 -часть рискового актива (сумма, вложенная в акции). Таким образом, получим начальный капитал Х0= =р0В0+у0^0. Аналогично пусть п,=(в,, у,) есть пара Ег измеримых процессов, описывающая состояние портфеля ценных бумаг инвестора в момент времени , > 0. Тогда текущий капитал X, представляется в виде

X, =в, В, +У, St. (7)

Задача. Найти капитал X,, соответствующий ему портфель л,=(Р,, у,) и начальное значение Х0 капитала, как стоимости вторичной ценной бумаги опциона, при котором обеспечивается выполнение платежного обязательства

Хг = Л (Sт), (8)

где /^т) - платежная функция с вероятностью Р(А)= = 1-е, 0 <е < 1 [2, 4].

Базовая теория рассматривает хеджирование с вероятностью единица, когда е=0 [1], и платежное обязательство выполняется на каждой траектории St. Подобная идеализация приводит к тому, что решение не зависит от такого существенного параметра, как пара-

метр роста ц, который определяет тенденцию измене-

ния цены рискового актива. Хеджирование с вероятностью меньше единицы (квантильное хеджирование) является более реалистичным. Общий подход к данной проблеме представлен в [4]. В [2] для рассматриваемой диффузионной модели (В, 5)-рынка решена задача нахождения справедливой цены стандартного опциона купли в случае хеджирования с заданной вероятностью. В данной работе проводится полное исследование задачи хеджирование с заданной вероятностью стандартного опциона продажи, когда находится не только формула для справедливой цены опциона, но также формулы, определяющие эволюцию во времени портфеля (хеджирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью Р(А).

Цена опциона

Рассмотрим задачу квантильного хеджирования стандартного опциона продажи (рШ-опциона) с функцией выплаты /т=(К-8т)+=тах(0, К-8Т) [1]. По теореме 6.1 из [2] имеем, что оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования совпадает с совершенным хеджем (с вероятностью единица) платежного обязательства Аа, где IА - индикатор множество А, которое имеет вид

. , йР

А = < ю:--------> сош! • т

1 йР*

(9)

где Р* - мартингальная мера, т.е. мера, относительно которой процесс 8**=8/В1: является мартингалом и существование которой обеспечивает разрешимость задачи на неарбитражных стратегиях хеджирования (стратегиях, не допускающих получения прибыли без риска). Используя то, что процесс плотности мартин-гальной меры Р* относительно Р есть [1, 2]:

ар;

йРТ

= ехр

где г; = +

ц-г

(10)

, - винеровский процесс относи-

н-г 1 Г н-г];

Н-г (

=(5/ ехр

| іп 5о+Н+г^ I;

> const •(( - 5Т)+

(11)

Необходимо рассмотреть отдельно два случая:

Ц-Г < 1- ц-г > 1.

ст

ст

Рис. 1. Структура множества хеджирования при

-< 1.

Н - г

Рис. 2. Структура множества хеджирования при -----> 1

Заштрихованные области на рис. 1, 2 являются областями решения неравенства (11) в зависимости от

значения выражения Н 2 Г . Отсюда становится видно, а

что в отличие от опциона купли в случае квантильного

хеджирования [2] для опциона продажи и при

<1

тельно меры Р*, с учетом вида платежной функции для опциона продажи и формулы (4) область успешного хеджирования А примет вид

> 1 структуры множеств хеджирования

д - г

и при —2~ с

идентичны. Таким образом, множество А для опциона продажи в обоих случаях может быть представлено следующим образом:

= \ БТ > 50 ехрI (г------)Т + Ьа | к

(12)

Тогда

Р(А) = Р ■< 5Т > 50 ехр

ГГ а2 л Л

г - — | Т + Ьа чч 2 ) /

>. (13)

Н

г

а

а

2

а

St = SoexPil X-y IT + ctWt r-

(14)

Тогда с учетом того, что функция экспоненты монотонно возрастает, (13) примет вид

= P iexp

ст

P( A) =

Л (

ц-------IT + ctWt

> ехр

rIT+bc

= P -¡lx-у ) T+ctWt >[ r - С- |T + bc} = (15)

b - T ''

P(A) = 1 - Ф

4т

(16)

bP =л/Тф-1(є)-

T -

(17)

Теорема 1. Пусть

yo(T,So) = lln K - (r - С. )T |/G>/f - (18)

So 2

P = Ke-

®(yo(T,So)) - Ф(-Г )

- So

Ф(Уo (T, So ) - gVT ) - Ф(-т - cVF )

(19)

Доказательство. Согласно [1]:

где ЕТ (£0) = Е {/т (Бт )| £0}. С учетом вида платежной функции и множества хеджирования

FT(So) = ^= Ï Soexpi^VTy + (r-C2)T Î] 1

V2^ bj^T II 2 JJ

e-y2/2dy =

yo(T,So)

(21)

=Æ X I.K - Soexp ry+(r - T)T

Тогда, подставив (21) в (2o), получим

-rT yo(T.So)

e-y2/2dy.

= P{Wt >bc-((x-r)T} =

= PiWr >b-1^ |Tr-

Замечание. Далее всюду Ф- (у) означает функцию,

У

обратную функции Лапласа Ф(у) = | ф(х) йх, где

—да

1 —

ф(х) = ~!= е 2 .

-\/2я

Так как винеровский процесс Wt имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией t, то из (15) получаем

Pt =

л/2П f-(K-

ь„/4т

Л

e-y / 2dy =

Ke

rt yo(if )

I— i e v2n h

- У /2

о yoU* ) b 2

So f --(y-cVT )

d'-ffc i

dy =

= Ke-

-S„

где Р(А)=1—е есть вероятность успешного хеджирования, 0 < е < 1. Следовательно, для нахождения константы Ъ=ЪР имеем условие

'^/2П ьр ¡-¡Т

Ф (,(ТЛ))-ф ]

Ф (А) - а^Т)-Ф | - а^Т

т.е. пришли к (19). Теорема доказана.

Капитал и портфель

Обозначим через п =(Р ,у ) минимальный хедж, где Р* - часть безрискового актива (сумма, находящаяся на банковском счете), а у* - часть рискового актива (сумма, вложенная в акции).

Теорема 2. Портфель п* = (Р*, у*) и капитал хр, соответствующий портфелю п*, определяются формулами

у* =-Ф (Уо(Т - ,,5,) - алТ=7) +

+Ф

л/т-7

- C'jT -t

Тогда справедливая (рациональная) цена опциона продажи Хо=РТ определяется формулой

К =

Ф (o(T -t,S, ) )-Ф [j=

(22)

(23)

XP = Ke

-r(T-t)

Ф( (T -t,S,})-Ф|^т=:7

-s.

ф(уі (T - t,St ) - cjr-t ) - Ф )= - <cjr-t j

(24)

где уо(Т-,,5,) определяется по формуле (18) с заменами Т^(Т—) и 5о^5(.

T

Доказательство. Согласно [1],

х; = хр = е—г (т—') ^,(5,),

С учетом вида функции уо(Т—,,5,) получаем

(25)

— Ф(уо(Т - ,,5) ) = —

дs у'о ’ 55

Г Л Уо (Т-,,і')

1

где Ет—, (5,) = Е { (Бт )| } . Тогда, согласно (21), (25), аналогично получению формулы для Рт

1

л/2л - е

( Уо(Т-1,5 ))2 д

| еПТ йх

л/2л

г(Т-,) Уо(Т-А)

2 —Уо(Т -,,5) =

д5

, - (Уо (Т-д))2

(3о)

хр =

/- 1 (К -

>/2п Ьг/-Т-І

Тогда

-5, ехр •{ ^^Т-7у + (г —-,)

е-У/ 2йу =

55 Ф( - (5)-ст^Т-і)

Ке

г (Т-,) Уо(Т- ,.5,)

| е-у2 / гйу —I е2 йУ =

-^т

V'-,

-(Уо (Т-и)-ст-Л^7)2

(31)

яст^ 2п(Т - ,)

= Ке-г (Т-'>

Ф (('-^,))-Ф [;;=

-5,

т.е. пришли к (24). По формулам (4.22), (4.23) из [3] имеем

Из (30), (31) с учетом вида функции уо(т-,,5,) следует, что

5 д? ф( у0(т—^—ъ'/т—)—

—Ке-г (т—, > д? Ф((т — ,,?) ) = о?

_ (Уо (Т-,,5)-стУТ-,)2

2 +

тЛ/2п(Т - ,)

У*= е-"'-' > 5),

д5

в* =^

В„

^Т-, (5,) - 5, (5,)

д5

В;

или

Р;-, (5,) - 5, (5,)

д5

р* = _х< у<5,

В,

Из (24), (25) следует

е—г (т—,) ^—, ( 5) =

= Ке—г (т—,>

(26)

(27)

(28)

Ке г(Т ,} (Уо(;-,.s)-^v;_7)2

+-------, = е 2

(32)

¿•ст^/ 2п(; -,) 1

( Уо(Т-и)Г

е2

стд/2п(; -,)

Ке-г (Т-,) Ке-г (Т-,)

= о.

В результате (22) следует из (29). Подставив (22), (24) в (28), получим

в* = х— 1,=

В,

Ке

- г(Т-,)

Ф

Ф (Уо(; - ^))-Ф (о(Т -(,5) - а^Т -,)- Ф))Ьр— - Т -,

Тогда, согласно (26),

У* =д? (е-Г (т—0 ^ —, (5))| 5

Ф(Уо(; - ,,5,)) - ф(^т= )

(Ф(Уо(Т -,,5,)- ал/Т-Т)-

-Ф^-ал/Т-?) ^ +

+В (ф( Уо(Т -,, 5,)-стТТ"-, )-

Ф

((Т -(,5) - ал/Т -,)- Ф[-)=-<3\1 Т -,^

Ке

- г (Т - ,)

+Ке-г (Т} д- Ф ^Уо(Т-,,5)

5 Ф (' - /,5) - ^^T'-7 ^5, .

в,

К

Вт

Ф( Уо(Т -,, 5,)) -Ф(-Тр=)

Ф (Уо(Т -,, 5,)) -Ф(^Т=>

т.е. пришли к формуле (23). Теорема доказана.

1

2

гТ

Свойства решения

Утверждение. В случае стационарного опциона продажи решение задачи определяется формулами [5]:

Рт = Ке-гт Ф

1п (К/Б0)- (г -а2/2)Т

тТТ

ґ

-^0Ф

1п (ВД)- (г + ст72)Т

Л

V

/

У, =-Ф

а^Т

ґ1п(К/Б,) - (г +а2/2)(Т - ,) Т

V

а у! Т - ,

% К _

р, =—Ф Вт

X, = Ке-г (т-,)Ф

1п(К/Б,) - (г -а2/2)(Т - ,)

а-

■ТТ-7

г

1п(К/Б,) - (г -а2/2)(Т - 7)

V

а

л/Т-7

-Б, Ф

^ 1п(К/Б,) - (г +аУ2)(Т - 7)Т а>/Т -7

(33)

(34)

(35)

(36)

т.е. пришли к (34)-(36). Так как РТС = X0С , то (33) следует из (36). Следствие доказано.

Представляют интерес зависимости стоимости опциона от параметров ц и е, отсутствующих в решении задачи совершенного хеджирования (33). Эти зависимости определяются величинами Р/ = ёРТ/ё ц и РТ = ёРт/ё е .

Теорема 3. Коэффициенты чувствительности РЦ и РТ определяются формулами

Рц =

1 т

- у Ке-Т ф[ іг

Рг =

'‘(є))

V

Б0ф[ -Ь= -ал/Т |-Ке "ф1

Ь

ІТ

(38)

(39)

/

Следствие. В случае е=0 формулы (19), (22)-(24) переходят в формулы (33)-(36), т.е. несовершенное хеджирование переходит в совершенное.

Доказательство. В случае, когда е=0, Р(А)=1-е=1, где Р(А) есть вероятность успешного хеджирования. Таким образом, действительно переходим к совершенному виду хеджирования. Рассмотрим, как ведут себя при е = 0 формулы (19), (22)-(24).

При е=0

Доказательство. Из формулы (17) следует, что

<7т]=ё -ст7Т) = #.

ё ц ё ц ст

Продифференцировав формулу (18), получим

ёУо (т, ^) = ё (Уо (т, ^0 )-стТ)

ё ц

ё ц

= 0.

ьр =л/Тф-1(0)

ц-г

Т = -го.

(37)

Тогда, с учетом (19) и обозначения для функции ф(х) (см. Замечание), получаем, что

Тогда ФI ,Ьр ] = 0,Ф( Ьр— -а>/Т-, 1 = 0. Та-

ч^Г-7 | ’ [у/Т-і

ким образом, согласно (22)-(24),

ХР = Ке-г (Т-'5 Ф( У0(Т -,, Б,)) --Б, Ф( У0 (Т - ,, Б0) -ау[Т-Ґ) =

= Ке-г (Т-,)Ф

Рц = ^ = Ке-ёц

(

-50

-Ш-^Т I у/т

' 1п( К/ Б,) -(г -а72)(Т - ,) ^ =:т_ -І Т -Я -Ь^Т Б0е 2^ 1 - Ке-гТе ^ 1

ал/Т -, а . _

(

-Б, Ф

л

1п(К/Б,) -(г +а2/2)(Т - ,) ал/ Т -,

У* =-Ф(У0(Т -,,Б,) -аТТ-,) = ^ 1п(К/Б,) - (г +а2/2)(Т - ,)Т

а

Б0ф| ~Ь= - |-Ке-гТ Ф^

т.е. пришли к формуле (38).

Используя правило дифференцирования обратных

= -Ф

а

УІТ-Ґ

функций

ё (/-‘(X) )

ёх

К

р;=— Ф(У0(Т -,д ))=

ё/ (/-‘(х))

ёх

получим, что

=К Ф

Вт

Т I1п(К/Б,) - (г -а72)(Т - ,) Т ё (Ф-І(є)) ёффф ‘(є)) -і (-‘(є)) е 2

[ ал/ Т-, і ’ ё є ё є

db К4'))2

^ = >/Tе-^.

d є

Таким образом:

dP

p; = dp_ = Ке-rT

T d є

- So

(ф-1( є))

-e

2\-JT

= e

-I f bL-

S0e 2^

- Ke-

1 f bL

2 №

(Ф- 1(є))

= e

S„9[ bp - <>#)-Ke-'T Ф^-bt

Представляют также интерес зависимости стоимости опциона от параметров Б0 и К, определяющих начальную цену рискового актива и оговариваемую цену исполнения опциона. Эти зависимости определяются величинами Р/° = ёРт/ёБ0 и Р? = ёРт /ёК .

Теорема 4. Коэффициенты чувствительности Р/0 и

PT определяются формулами

PS = ф ((T, S0) - WT) - Кe-rTф( (T, S0))

ф

(>'о(т, So) -^VT )-Ф^-Ьг -^VT j

(40)

PTK = e

ф^((г, So)) -ф (^^br) фКо^А))-К фЫ^- Ö^T)

(41)

т.е. пришли к формуле (39). Теорема доказана.

Численные исследования коэффициентов чувствительности РЦ и РТ показали, что оба они отрицательные. Этот факт говорит о том, что с ростом параметров ц и е цена опциона будет убывать. Действительно, с ростом параметра е вероятность успешного хеджирования Р(А)=1-е будет уменьшаться, что приводит к увеличению риска для покупателя опциона, а за увеличение риска необходимо платить меньше. С ростом параметра ц происходит увеличение в среднем цены рискового актива Бь что увеличивает риск для покупателя опциона продажи. Соответственно за возросший риск следует меньше платить.

Доказательство. Доказательство следует непосредственно из определения Р/° и РТ с учетом (19). Численные исследования коэффициентов чувствительности Р/° и РТ показали, что Р/° < 0, т.е. с ростом начальной цены рискового актива 50 риск невыполнения платежного обязательства опциона продажи увеличивается; РТ > 0, т.е. с ростом оговариваемой цены исполнения опциона стоимость опциона увеличивается.

В дальнейшем планируется провести аналитическое исследование данных коэффициентов чувствительно -сти, а также исследованы коэффициенты чувствительности по волатильности ст.

ЛИТЕРАТУРА

0

1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типа: II Непрерыв-

ное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39, вып. 1. С. 80-129.

2. МельниковА.В., Волков С.Н., НечаевМ.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

3. Скороход А.В., Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1975.

4. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применения. 1998. Т. 43, вып. 1. С. 152-161.

5. Демин Н.С., Лазатникова А.В. Исследование портфеля, капитала и стоимости опциона в случае стандартного Европейского опциона прода-

жи с непрерывным временем // Вестник Томского государственного университета. 2002. Приложение № 1(1). С. 147-149.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 15 июля 2006 г.