Исследование опциона купли в случае хеджирования с заданной вероятностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. of Political Economy. - 1973. - May/Jun. - P. 637-657.

2. Merton R. Theory of rational option pricing // Bell J. Economics and Management Science. - 1973. - V. 4. - P. 141-183.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: ФАЗИС, 1998. - 1010 с.

4. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39. - № 1. - С. 80-129.

5. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и её применения. - 1998. - Т. 43. - № 1. - С. 152-161.

6. Follmer H., Len K.P. Quantile hedging // Finance and Stochastic. -1999. - V. 3. - № 3. - P. 251-273.

7. Rubinstein M. Exotic options // Finance working paper. - 1991. -№ 220. - Inst. of Business and Economic research. University of California. Berkley.

8. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. - 2002. - № 15. - С. 53-57; № 16. - С. 60-64; № 17. -С. 68-73.

9. Демин Н.С., Лазатникова А.В. Исследование портфеля, капитала и стоимости опциона в случае стандартного Европейского опциона продажи с непрерывным временем // Вестник ТГУ. Приложение. - 2002. - №1(1). - С. 147-149.

Поступила 16.10.2006 г.

УДК 519.865

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЦИОНА КУПЛИ В СЛУЧАЕ ХЕДЖИРОВАНИЯ С ЗАДАННОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ

Н.С. Демин, А.И. Трунов

Томский государственный университет E-mail: anton.trunov@ngs.ru

Получены формулы, определяющие стоимость опциона, а также эволюцию во времени портфеля и капитала для Европейского опциона купли в случае хеджирования с заданной вероятностью (квантильного хеджирования) при непрерывном времени и диффузионной модели (B, S)-финансового рынка. Исследуются некоторые свойства решения.

1. Введение

2. Постановка задачи

Используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. Ситуация усложняется тем, что изменение процентных ставок и доходностей на рынках стохастические, а математические модели этих изменений -случайные процессы. Поэтому такая основная задача участников финансовых рынков, как определение цен финансовых инструментов, может быть решена только с привлечением вероятностных методов. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов, которые там происходят, требуют использования математических методов на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным объектом исследования которой являются различные модели рынка ценных бумаг [1, 2]. В данной работе проводится исследование неклассической задачи теории опционов - задачи хеджирования с заданной вероятностью выполнения платежного обязательства, для случая опциона купли, когда в отличие от стационарных опционов платежное обязательство выполняется не с вероятностью единица, а с вероятностью меньшей единицы, что более соответствует реалиям финансового рынка.

Рассмотрим модель финансового рынка, как пары активов: безрискового (банковский счет) B и рискового (акции) S, представляемых своими ценами Btи St, /е [0,7]. В этом случае говорят о (В, Ь) - рынке с непрерывным временем [1, 2]. Активы В и S будем называть основными активами или основными ценными бумагами. Относительно банковского счета В предполагается, что В=(Д)> - детерминированная функция, подчиняющаяся уравнению йВ^гВ^, т. е. В=В0еГ/, В0>0, г>0 где г - процентная ставка (банковский процент). Для описания эволюции стоимости акции S=(St)t>0 будем предполагать, что рассмотрение задачи происходит на винеровском стохастическом базисе (ОДГ=(^)>0,Р) [1, 3].

Введение в рассмотрение винеровского процесса обусловлено ролью случайного ингредиента, который определяет «хаотическую» структуру в реально наблюдаемых флуктуациях цен акций. В этой связи П. Самуэльсоном была предложена модель «геометрического», или «экономического», броуновского движения S=(St)t>0, согласно которой S является случайным процессом с

St = S0 exp

11 + °W

(1)

где №=(№,)<>0 - винеровский процесс, ст>0, цеЯ. Используя формулу Ито [3] из (1) находим, что стохастический дифференциал

Представим некоторого инвестора, имеющего начальный капитал Х0=х в момент времени ¿=0, находящийся на банковском счете В и в акциях £ в соответствии с портфелем п=(А,7о), где в0 - часть безрискового актива (сумма, находящаяся на банковском счете), у0 - часть рискового актива (сумма, вложенная в акции). Таким образом, получим начальный капитал Х0=Д,В0+7Д. Аналогично, пусть щ=(в„у) - есть пара, описывающая состояние портфеля ценных бумаг инвестора в момент времени ¿>0. Тогда текущий капитал Х=ДВ,+7Д.

Задача: Найти капитал X, соответствующий ему портфель щ=(в„у,) и начальное значение Х0=СТка-питала, как стоимости вторичной ценной бумаги опциона, при котором обеспечивается выполнение платежного обязательства ХТ=/Т(£Т), где /(£Т) -платежная функция, с вероятностью Р(Л)=1-е, 0<е<1 [2, 4].

Заметим, что в стандартной задаче хеджирования опционов выполнение платежного обязательства обеспечивается с вероятностью единица [1], т. е. на каждой траектории стохастического процесса £,, моделирующего эволюцию цены рискового актива.

3. Нахождение цены опциона

Рассмотрим задачу хеджирования с заданной вероятностью Р(Л) (квантильного хеджирования) стандартного опциона покупателя (са//-опциона) с функцией выплаты /Т=(£Т-К)+=шах(0,£Т-К) [1]. По теореме 6.1 из [2] имеем, что оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования совпадает с совершенным хеджем платежного обязательства /=/т1Л, где 1Л - индикатор множества (события) А, которое имеет вид

, . dP A = <rn:->const• fT

1 dP' T

(2)

Р* - мартингальная мера, т. е. мера, относительно которой процесс Х,=Х/В, является мартингалом. Используя то, что процесс плотности мартингаль-ной меры Р* относительно Р есть ([2], § 3.2)

^Р? I Ц- Г ТТГ* 1 Г

—- = ехр 1-—-+-1 —-

dPT

а

где W = W 11 -

v а

а

винеровскии процесс от-

носительно меры Pможем переписать (2) в следующем виде:

A = i exp I R-! w'T- if^--^ T\> const • (ST - K)+ \ =

а 2 V а

= \exp\R--1 In + | --а\ T + аW;

x exp

r - -

( ( а2Л W ln So +| - - — 1T

1 ( R--

T

= i ST"' exp

ч 2 V а Г (lnS0 +

R--

> const • (ST - K)+

/J Л Л

r + --а

> const • S -K) +1. (3)

Необходимо рассмотреть отдельно два случая: (^-г)/о2<1, (р-г)/а2>1.

Замечание 1. Далее всюду Ф-1(у) означает функцию, обратную функции Лапласа

Ф(у) = | ф(x)dx, ф(x) =

-да

Теорема 1. Пусть

yo(T,So) =

1 zx!

•J2m

e

i K а2 \ ln K - (--а )T

S„ 2

rJT. (4)

Тогда при (R-r)/o2<1 цена опциона определяется формулой

с — ^

; °0

ф\ -ауГ \-Ф(yo(T,So)-а^Т)

- Ke

где константа bC имеет вид

ф| _; \_ф(yo(TSo))

bC = ТТф-1(1 -е)-

R - -

а

Т.

(5)

(6)

Доказательство. Случаю (р-г)/а1<1 соответствует рис. 1, определяющий структуру множества хеджирования А.

Р^т )

А

Рис. 1. Структура множества хеджирования: (^-г)/ст2<1;

Заштрихованная область является областью решения неравенства (3). Таким образом, в этом случае множество (событие) А представляется в виде

A = {ST < d} = (WT* < b} = = \ST < So exp

(f а2 Л Л ---\T + Ьа

w 2 J ,

(7)

2

при ограничении (Е - усреднение по мере Р') Е(1л-/Т/ВТ)=х0 [2]. Из (7) имеем, что

С (( _2 Л м

Р(А) = Р С^г < £0 ехр

г-а\Т + Ьа

(8)

Так как согласно (1)

Бт = Боехр Ци-—\ Т + аЦГт то использование (9) в (8) дает, что

(9)

Р( А) = Р

£оехР

а

И- — \Т + аТ¥т

= Р

< !Бо ехр

(

2

а

ехр

< ехр

v а2

г--\ Т + Ьа

2 )

Л

/

И—— \ Т + а!¥т

(( а2 л Л г\Т + Ьа

= Р {гт) Т +а^Т <( г-у] Т + Ьа| =

= Р{а]¥Т <Ьа-(и-г)Т} =

= Р ^ < Ь\ Т \.

(10)

И - г,

Т |/>/Т = ф-1(1 -£),

Ь -

что и доказывает (6). В соответствии с Теоремой 1 из [1] имеем, что цена опциона купли определяется по формуле

Ст = е-гТ¥Т (£о), (11)

где /т(50)=Е *{///( ¿Г)^}. Тогда, с учетом вида платежной функции для опциона купли, получим

Рт (£о) =

1

Л-Л/Т

у/тП

| /т

Уо (Т А)

£оехр

а>/Ту +

+(г-аг)Т1

2ёу =

Боехр

+(г-аг)Т

>-К

е-у/ 2ёу, (12)

где у0(ТД) - решение уравнения

Б ехр{а4Ту + (г - } - К = о,

которое определяется по формуле (4). Подставив ТТ^) вида (12) в (11), получим с учетом (6), что

Ст = е"^ (Бо) =

е

-.12п

гТ

I

Уо (Т Бо)

( а^Ту + Л

Боехр' а2 -К

+(г -— )Т

V 2 )

,-У2/

ф> =

Бо -2у-а^Тг Ке-гТ I е 2 ёу--=

V2П уо(Т,Бо)

ъс/-!т

1

,-У2 / 2л,,-

ёу =

Уо (Т Бо)

= Бо

ф| -Т-а^Т |-Ф(Уо(Т,Бо)-аТ)

- Ке~

Ф|-Т \-Ф(Уо(ТЛ))

то есть пришли к (5). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть у0(ГД) определяется по формуле (4). Тогда при (/л-г)/о2>1 цена опциона определяется формулой

Ф| А,-а^Т^-Ф(Уо(Т,Бо)-ал/Т) +

С учетом того, что винеровский процесс имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией ¡, из (10) получаем

Р( А) = Ф^ Ь-О. т уу/т

где Р(/)=1-е есть вероятность успешного хеджирования, 0<е<1. Следовательно, для нахождения константы Ь=ЬС имеем условие

г - ч

^т °о

- Ке-

)-Ф( уо(т, Бо)) + Ф(-^ \

(13)

где константы Ь1 и Ь2 такие, что удовлетворяют условию

Р(А) = 1 -е = Ф|[ Ь1 -Ю-Т ]/у/Т

(14)

+Ф| | -Ь, +

И - г, а

тМ ТТ).

Доказательство. Случаю (и-г)/а2>1 соответствует следующий аналог, рис. 2.

^(Л ) А

ё2 5Т

Рис. 2. Структура множества хеджирования: (и-г)/ст2>1; Ф^^сопъ^—К)*; ф2(^Т)=^ТСи-г)/а2

В этом случае множество А имеет следующую структуру: Л^^ЩБ^й^ШТЩЩШ;^. Так как множества и ^Т<112} не пересекаются, то

Р(А) = Р{БТ < dl}+Р{БТ > й2} = _ 2

= Р{^т < ^ехр«г-^)Т + Ър)} +

(15)

+Р{БТ > Бо ехр((г -Ц^)Т + Ър)}.

С учетом (9) из (15) следует Р(А) = РЩТ <Ъ1 -^ррГТ] + РЩ >Ъ2-УрТ). (16)

Так как Щ имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией ,, то с учетом свойства Ф(х)+Ф(-х)=1, из (16) следует (14). Таким образом, получили, что константы Ь1 и Ь2 должны удовлетворять условию (14), но в явном виде они не находятся. Аналогично (12)

Рт (Бо) =

ъ,/ -1т

1

42П

I /т (Бо ехррл/Ту + Г^р-У) • е"2 йу +

— I /Т (БоехРру1Ту-

Г-а

}) • ^ 2 йу. (17)

Ъ,/ -Г

X, = Б,

-Ке

- г (Т-,)

Ф| у/Т--Ф( Уо(Т - ) -а^Т-)

Ъ

Ф

-Ф(Уо(Т -))

--а\[¥- I-

в* =-К И1 п

Вт

-Ф( Уо(Т ) -ру/г-г)

Ъ

ф

л/т-:

-Ф( уо(т ))

(18)

(19)

(20)

где у0(Т—Д) и Ьс определяются по формулам (4) и (6) с заменами Т—(Т-,) и S0—St.

Доказательство. По Теореме 1 из [1] имеем, что

X, = е~- (т> ^ -, (Б,), (21)

где ВТ_,^)=Е*{1Л-/^Т)^}. Тогда, подставив выражение (12) для функции Р^0) с заменами Т— (Т-) и S0—St в (21), получаем формулу, определяющую эволюцию текущего капитала

X, = е-г (т-') ^ -, (Б,) =

Ъс/-Т7 С рл/Т - г у + ] ^

Б, ехр<! р [-К

|+(г-^)(Т -,)[

е-(т ) 42ж

Уо (Т -, ,) Vт-,

- 2йу =

42П у

е 2 йу - Ке-

Ъс/-Т-

(Т -I

йу =

уо (Т -, )

Ф

^Ф (уо(Т - )-ру/т-)

-Ке

- Г (Т-,)

Ф

-Ф(уо(Т -))

что доказывает формулу (18).

По формулам (4.22), (4.23) из [1] имеем:

= е-г(Т-,) Щ-, (8)

Дальнейшие преобразования по выводу формулы (13) после подстановки (17) в (11) аналогичны преобразованиям по выводу формулы (5) и поэтому не приводятся. Теорема доказана.

4. Нахождение капитала и портфеля

Обозначим через ж=(в',у) - минимальный хедж (оптимальный портфель), где в' - часть безрискового актива (сумма, находящаяся на банковском счете), а у - часть рискового актива (сумма, вложенная в акции). Отрицательное значение в* либо у означает взятие соответствующего актива в долг.

Теорема 3. Для случая (/л-г)/р<1 капитал X, и портфель щ=(в,",у{) определяются формулами

в; =

В,

у, = е

д8

дs

-(Б,),

(Б,)

х, -г; б,

В

(22)

. (23)

Согласно (18), (21)

„-Г(т)

Ф

Рт(5) =

-а^Т-, ]-Ф(уо(Т-,,8))

-Ке

Г (т)

Ф

Тогда из (22) следует

-Ф( уо(Т - ,,8))

у; =д8 (е- г(Т-,)Рт-, (8))| б, =

Л| Ъс Ф с

у/Т-

-ф(уо(Т - ) -а^Т-,)

- 8 д8 Ф (уо(Т - ,,8)-а^Т-)| Б, +

+Ке-г(т-t) Ф(уо(Т-,,8))|б, . С учетом вида функции у0(Т—,,^) получаем

С уо (Т-,,8) - ^2 А

2= I е~йх

(24)

Iф( уо(т - ,8))=д8

1

\

-(уо (Т-,,8))2

V2п

д

■\[2л '

2 ^уо(Т-^ =

-( уо(Т-,,8 ))2

8^^/2п(Т -,)

2

(25)

у

1

Тогда

ф( Уо(т - и)) =

, - (Уо(Т-7У)-аЛ-7)г

а^ЛТ-7)

(26)

Из (25), (26) с учетом вида функции у0(Т—,,,$) следует, что

5-дФ(у0(Т -7,5)-а^/7~-7) -

-Ке-г(т-7) ф(уо(т - 7,5)) =

1

у]2л(Т - 7)'

а

Ке-Г (т-7 ) а^/ 2п(Т - 7)

(Уо (Т-7,5)-а#-7)2

СУо^Т-Т-О-аТ-V

л/2п(Т - 7)

а

(Уо (Т-7,5))2

-г (Т-7 ) ^„-г (Т -7 )

Ке~г (Т -7) Ке

- 0. (27)

Подстановка (27) в (24) приводит к (19). Из (18), (19), (23) следует

В[ф ^ "а7Т-7) -

-ф(ц(Т -1,5,)-ст#-7)] -

¡Г„-г (Т-7) ь

Ке -[ф(л==)-Ф(Уо(Т - 7, Б,))] -

В, ^^

- В ^) -

-Ф(Уо(Т -7, Б7) -ал/Т-7)] -

^7 - Б7

ф

г-а-Т-! |-

л/Т-7

-ф( Уо(Т - 7, Б7)-а>/Т"-7) +

л/Т-7'

-Ке

-г (Т-7 )

ф

Ь1

л/Т-7'

-ф(Уо(Т -7, Б)) +

+ф -

ТТ~-7

(28)

-ф( Уо(Т-7,57) -^л/Т-7) +

ь

+ф| -

ч/Т~-7

+ а

л/Т-7

Вт

ф

+Ф| -

Ь

-ф( Уо(Т - 7, Б7)) +

у/Т-.7

(29)

(30)

где у0(Т—,Д), Ь и ¿2 находятся по формулам (4), (14) с заменами Т^(Т-/) и

Доказательство данной теоремы проводиться аналогично доказательству Теоремы 3 с использованием вместо (12) формулы (17).

Следствие. Пусть Ст, X, вв означают соответствующие величины при е=0, когда достигается совершенное хеджирование. Тогда

( - 5оф(стл/Т-Уо(Т,Бо))- Ке^ф(-У0(Т,Б0)\ (31)

- Б7 ф (а ¿Г-7 - Уо (Т - 7, Б )) -

- Кег (Т-7 )ф (-Уо(Т -7, Б,)),

7;-Ф(^^/T— - Уо(Т - 7, Б 7)),

в'--Кф(-Уо(Т-7,Б,))•

Вт

(32)

(33)

(34)

- г (Т-7) Ь

--ЕеВ— [ф(^=7} "ф(Уо(т - 7,Б7))] ---к 7}-ф(Уо(Т-7Л ))],

то есть пришли к (20). Теорема доказана.

Теорема 4. Для случая (^-г)/о2>1 капитал X, и портфель п*=(Д*,7/*) определяются формулами

Доказательство. Рассматриваем случай (^-г)/о2<1. Так как Ф-1(1)=<», то из (6) следует, что ЬС=<х> при е=0. Так как Ф(<»)=1, то согласно (5)

(Ст -5о[1 -ф(Уо(Т,Бо)-а^/т)]-

- Ке-гТ [1 -ф (Уо(Т,Бо))]. (35)

Так как Ф(х)+Ф(-х)=1, то (31) следует из (35). Формулы (32)-(34) следуют из (18)—(20) аналогичным образом.

Рассмотрим теперь случай (/л-г)/о2>1. Тогда при е=0 с учетом свойства функции Ф(х) из (14) следует, что

ф(( ь.-а т )-Ф(( Ь2-а т ).

т. е. Ь1=Ь2=Ь.

Следовательно, согласно (13),

с - ч

^т °0

- Ке-

ф\-Ь= -а4Т |-ф(Уо(Т,Бо)-алТ) +

+ф1 +а4т

ф| ]-ф( Уо(Т. Бо))+ф(-;Т)

(36)

2

2

+

1

Тогда формула (31), с учетом свойства Ф(х)+Ф(—х)=1, следует из (36) очевидным образом, и аналогичным образом формулы (32)—(34) следуют из (28)-(30). Следствие доказано.

Замечание 2. В случае е=0, когда квантильное хеджирование переходит в совершенное хеджирование (с вероятностью единица), результаты Теорем 1-4 переходят в результаты Теоремы 2 из [1], так как формулы (31)-(34) представляют собой формулы (4.26), (4.29)-(4.31) из [1].

5. Коэффициенты чувствительности

Представляют интерес зависимости цены опциона от параметров /л и е, отсутствующих в решении задачи совершенного хеджирования [1]. Эти зависимости определяются величинами С/=йСт/й/ и Се=йСт/йе.

Теорема 5. Для случая (/л—г)/а2<1 коэффициенты чувствительности С/ и Се определяются формулами

с / =

т а

С% = V2п •

( Ф-'(1-е))2

К^т*\-%г I-

- ¿>1 -ф

(37)

(38)

Доказательство. Согласно (4) и (6) йу0(Г, Б0) й (у0( Т, 50)-стл/Т)

й /

й/л

_ 0,

ё<Ьт

й /

й/

Тогда, с учетом формулы (5) и обозначения для функции >(х) (см. Замечание 1)

С/ _ йСт _ о С _ ¿0

-Ке~

1

-

Ж

а

Л

¿0е

•\[22п

11 Ьс__ 2

11 Ьс_ - 2^

Ж

а

Л

- Ке

- 1(Ьс_

гТе

Ж

а

5>|-Ьт -а^)-Ке-гт >{Ьт

т. е. пришли к формуле (37). Используя правило дифференцирования обратных функций

й X))

йх

йф(ф-\х))

йх

получим, что й(Ф-'(1 -е)) __

йе

йФ(Ф-1('-е))

йе

' "2(Ф-' ('-е))2 —, е2

42%

Тогда из формулы (6) следует, что

йЬС/йе _ -V 2п Те2 ( ^ Таким образом

Се _ йСт _ о

Ст _ ¿0

-1 ( (Ф-' (1-е))2

-е 2 ^ 1 е 2

-Ке-

-1( (Ф-' (1-е))2

-е 2 ^ е-2-

_42ке

(Ф-'('-е))2

-11 Ьс_

1 Ке~гте 2{^ -

1

-1 (

0

(Ф-' (1-е))2

т. е. пришли к формуле (38). Теорема доказана.

6. Заключение

1. В случае совершенного хеджирования, согласно (31)—(34), решение обладает существенным недостатком, т. к. не зависит от параметра изменчивости / , характеризующего тенденцию в изменении цены рискового актива: если /=0, то цена в среднем флуктуирует возле начального значения £0, т. е. процесс ^ ведет себя как мартингал; если />0, то цена в среднем возрастает, т. е. процесс ^ ведет себя как субмартингал; если /<0, то цена в среднем убывает, т. е. процесс ^ ведет себя как супермантин-гал. Полученное решение задачи хеджирования с заданной вероятностью снимает этот недостаток, т. к. содержит зависимость от /л через ЬС, Ь1 и Ь2.

2. Численные исследования показали, что С/>0 и Се<0, т. е. с ростом параметра /л цена опциона купли будет возрастать, а с ростом параметра е — убывать. Действительно, с ростом / происходит увеличение в среднем цены рискового актива $, что уменьшает риск для покупателя опциона купли, а за меньший риск следует больше платить. С ростом е вероятность успешного хеджирования Р(А)=1—е уменьшается, что приводит к увеличению риска, а за возросший риск следует меньше платить.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типа. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39. - № 1. - С. 80-129.

2. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 260 с.

3. Скороход А.В., Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1975.

4. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применения. - 1998. - Т. 43. - № 1. - С. 152-161.

Поступила 26.10.2006 г.

УДК 539.371

ТЕОРИИ «МАЛЫХ» И «БОЛЬШИХ» ИСКРИВЛЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ В ОБЩЕМ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

А.В. Анфилофьев

Томский политехнический институт E-mail: zvm@tpu.ru

Анализируются теории «малых» и «больших» перемещений при изгибе стержней с оценкой и определением назначения их разделяющих допущений. Формируется общее математическое обеспечение на базе выражений кривизны линии в параметрической форме. Краевая задача определения геометрии искривления стержня представляется двумя задачами: «восстановление линии» по функции кривизны и начальным условиям, затем «спрямление линии» - определение длины дуги кривой по условиям на конце.

1. Введение

Механика деформируемых тел призвана устанавливать функциональные связи между параметрами, характеризующими их состояния, и внешними воздействиями. Её задачи сводятся, в основном, к установлению изменений геометрии тел.

Для большинства конструкций требование жесткости ограничивает величину изменений формы и размеров, образующих их элементов, и соответственно представлениям о «малом» и «большом» сформировано два подхода в определении геометрии деформирования. Различают короткие (жёсткие) стержни, у которых физический ресурс упругости материалов исчерпывается при «малых» изменениях форм и размеров, и длинные (гибкие), допускающие «большие» изменения в геометрии при том же ресурсе упругости.

Для определения «малых» изменений сформирован ряд «руководящих правил и принципов» (несущественное изменение формы, правило относительной жесткости, принцип неизменности начальных размеров), образующих понятийный аппарат теории «малых перемещений» или «малых деформаций», методы и приемы которой составляют основное содержание инженерного курса «Сопротивление материалов». В этой теории по виду функциональной связи между нагрузкой и «характерным перемещением» возникает деление систем на линейные и нелинейные, появляются и терминологические тонкости: слабо искривлённая ось стержней называется упругой линией или упругой кривой, «точная форма упругой оси» называется эластикой [1].

Подход к задаче определения геометрии деформирования систем с длинными (гибкими) стержнями характерен убеждением, что к решению её «нельзя применить обычную теорию сопротивления материалов. Необходимо построить совершенно иную прикладную теорию изгиба, справедливую для сколь угодно больших упругих перемещений и коренным образом отличающуюся от обычной теории, начиная с основных положений и понятий» [2].

Основные уравнения механики деформируемых тел любой формы «давно сведены к определяющим уравнениям» [3] и к настоящему времени «теория больших перемещений, отличающаяся от обычной теории» существует [2], имеются отдельные исследования [1, 4], которые отличает сложность преобразований, сводящих решение к специальным функциям без видимой физической связи их переменных с определяемыми параметрами эластики.

Замечено [3], что «механика деформируемых тел состоит не только из уравнений, а также из определений точного физического смысла всех входящих в эти уравнения параметров и функций и самих уравнений». Очевидно, по причине отсутствия этих определений специальная теория без общих основ и видимых связей с обычной теорией не стала инструментом инженера. В инженерном образовании доминирует приближённая «теория малых перемещений», а результаты решения отдельных задач по специальной теории используются для подтверждения результатов приближённой теории и демонстрации нелинейного поведения некоторых систем при «малых» изменениях [5].